連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

1、第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析§2-1 引 言線性連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析，就是一個建立和求解線性微分方程的過程。一、 建立數(shù)學(xué)模型主要應(yīng)用電路分析課程中建立在KCL和KVL基礎(chǔ)上的各種方法。線性時不變系統(tǒng)的微分方程的一般形式可以為：二、 求解（時域解）1、 時域法將響應(yīng)分為通解和特解兩部分：1） 通解：通過方程左邊部分對應(yīng)的特征方程所得到的特征頻率，解得的系統(tǒng)的自然響應(yīng)（或自由響應(yīng)）；2） 特解：由激勵項得到系統(tǒng)的受迫響應(yīng)；3） 代入初始條件，確定通解和特解中的待定系數(shù)。經(jīng)典解法在激勵信號形式簡單時求解比較簡單，但是激勵信號形式比較復(fù)雜時求解就不容易，這時候很難確定特解的形式。2、

2、卷積法（或近代時域法，算子法）這種方法將響應(yīng)分為兩個部分，分別求解：1） 零輸入響應(yīng)：系統(tǒng)在沒有輸入激勵的情況下，僅僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)；2） 零狀態(tài)響應(yīng): 狀態(tài)為零（沒有初始儲能）的條件下，僅僅由輸入信號引起的響應(yīng)。l 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可以用經(jīng)典法求解，在其中只有自然響應(yīng)部分；l 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)也可以用經(jīng)典法求解，但是用卷積積分法更加方便。借助于計算機數(shù)值計算，可以求出任意信號激勵下的響應(yīng)（數(shù)值解）。l 卷積法要求激勵信號是一個有始信號，否則無法確定初始狀態(tài)。l 零輸入響應(yīng)與自然響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)與受迫響應(yīng)之間并不相等，具體對比見§2-9 經(jīng)典法在高等數(shù)學(xué)中已有詳細(xì)介紹。本

3、課程中重點介紹近代時域法。§2-2 系統(tǒng)微分方程的算子表示一、 算子通過微分算子可以簡化微分方程的表示。微分算子：令，積分算子：l 利用算子可以將電路中的電感和電容的伏安特性記為： 即可以將電感和電容記成阻值為和的電阻，即感抗和容抗。l 利用算子可以將線性時不變系統(tǒng)的微分方程：表示為：按照代數(shù)運算法則，提取公因子，可以將上式簡化為：或進一步簡化為：定義：則： 注意上面只是微分方程的一種簡單記法，并不代表能進行這樣的計算。二、 算子運算法則1、 ，其中m,n為任意常數(shù)。2、 ,其中m,n同為任意正整數(shù)（或負(fù)整數(shù)）。3、 ，但是：1） 不一定等于x 微分和積分的次序不能交換：，但是：即，

4、2） 如果,不一定能夠推出，只能得到，即等式兩邊的公共因子不能抵消?？梢?，大部分代數(shù)運算法則可以使用，但是有一些不能用。§2-3 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)是下列齊次方程的解：對它有兩種解法：1） 經(jīng)典解法2） 等效源法（或初始條件法）一、 經(jīng)典解法用經(jīng)典法求解零輸入響應(yīng)由如下兩步構(gòu)成：1、 確定系統(tǒng)的自然頻率：令D(p)=0，將p看成一個代數(shù)量，解得其n個特征根。2、 確定零輸入響應(yīng)的形式解：1） 如果D(p)=0俱為單根時，則可以確定其形式解為：其中為待定常數(shù)。2） 如果D(p)=0有重根時，假設(shè)是一個k重根， 即，則形式解為：3、 根據(jù)初始條件，確定待定系數(shù)：一般的初始條件為已

5、知零時刻的響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)，代入形式解中就可以確定待定系數(shù)。當(dāng)D(p)=0俱為單根時：由上面的n個方程就可以確定n個待定系數(shù)?；蛘哂洖榫仃囆问剑浩渌问降某跏紬l件，以及特征方程中有重根的情況下的待定系數(shù)也可以用相似的方法和過程解出。舉例：例1 已知系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子及未加激勵時的初始條件是：，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)并指出其自然頻率。解:，。所以, 零輸入響應(yīng)的形式為:求、：，解得：,得，自然頻率分別為：。二、 等效源法 這種方法將初始條件看成是一個在t=0的瞬間加上的激勵源（階躍或沖激），然后將系統(tǒng)的初始條件歸為零，從而將求解零輸入響應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為求解零狀態(tài)響應(yīng)的問題。這在后面求解零狀態(tài)響應(yīng)中一并處理

6、。等效源法將在時域解法中用得不是很多，本課程將在Ch5中介紹其原理。小結(jié)： 系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的時域求解方法就是經(jīng)典的齊次微分方程的解法。習(xí)題：. 2.3(1)-圖P2-3(a); .2.4(3)。* 以下內(nèi)容涉及到系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程，為了敘述的清楚起見，我們這里先簡單了解其求解的基本思路。系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程求解零狀態(tài)響應(yīng)的基本思想：1） 將任意信號分解為一系列“標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一”的子信號之和（或積分）；2） 求線性系統(tǒng)對各個子信號的響應(yīng)；3） 將各子信號的響應(yīng)相疊加，從而得到系統(tǒng)對激勵信號的響應(yīng)。這其中利用到了線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性。 為了求解線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，必須解決以下幾個問題：1

7、） 選取什么樣的子信號？2） 如何將信號分解為子信號的和或積分？3） 如何求系統(tǒng)對子信號的響應(yīng)？4） 如何求得最后的響應(yīng)？ 在下面的各節(jié)中，我們將就上面的問題一一進行討論。其中，§2-4介紹了時域分解法中使用的子信號；§2-5介紹如何將任意信號分解為子信號之和；§2-6介紹如何求子信號的響應(yīng)；§2-7§2-9介紹如何通過疊加，從而求出系統(tǒng)的響應(yīng)。§2-4 奇異函數(shù)本節(jié)解決的是時域法中子信號選取問題。子信號的選取對系統(tǒng)分析至關(guān)重要。為了利于分析，要求子信號具有：1） 完備性：任意函數(shù)（或絕大部分函數(shù)）都可以分解為該子信號的和，沒有（或幾

8、乎沒有）例外；2） 簡單性：容易求得系統(tǒng)對該子信號的響應(yīng)；3） 相似性：不同子信號的響應(yīng)具有內(nèi)在聯(lián)系，可以類推。 奇異函數(shù)是一種理想化的函數(shù)，這些函數(shù)或其各階導(dǎo)數(shù)具有一個或多個間斷點，在這些間斷點上的導(dǎo)數(shù)無法用一般方法確定。常用的有階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。1、 階躍函數(shù) 其中t1>0。任意函數(shù)乘以以后，其t<0部分等于零，成為有始函數(shù)。Ø 在很多文獻中，用u(t)表示階躍函數(shù)。 2、 沖激函數(shù)沖激函數(shù)的圖形表示方法：位置，強度。其中t1>0。沖激函數(shù)有很多種定義方法。常見的有兩種：1） 定義為的導(dǎo)數(shù)：l 顯然，該函數(shù)只在t=0處為非零值，其它各處都為零；l 和互為微分和

9、積分 的幾個特性：l ；時。l 沖激函數(shù)是一個偶函數(shù)l ， 或：l 或：該特性被稱為沖激函數(shù)的取樣特性2） 定義為分配函數(shù)這是沖激函數(shù)的另外一種定義方法，它通過該函數(shù)對另外一個函數(shù)的作用來定義這個函數(shù)，利用上面的沖激函數(shù)的抽樣特性作為沖激函數(shù)的定義，即：對于任意的函數(shù)f(t),使?jié)M足公式性質(zhì)的函數(shù)被稱為沖激函數(shù)。參見本章附錄。這種定義在數(shù)學(xué)上比較嚴(yán)格，但是難于理解。沖激函數(shù)的推廣：沖激偶舉例：例1 計算。解：由于，則有： 例2計算。解：由于，則有：。例3計算。解：。例4計算；解：。例5計算。解：原式=2+1=3§2-5 信號的時域分解在近代時域法中使用的子信號是階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。本

10、節(jié)討論如何將信號分解為沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的和（或積分）。一、 任意有始函數(shù)表示為階躍信號的和（積分） 任意信號近似表示為階躍函數(shù)的子信號為：總和為： 令，則： l 這里，因為在t=0時發(fā)生狀態(tài)的跳變，所以必須對t=0左右的狀態(tài)加以區(qū)分，這就引出了兩個特殊的時刻：起始狀態(tài)；初始狀態(tài)；l 如果f(t)在t=0處連續(xù)可導(dǎo)，上式可以簡化為： l 這種分析方法在六十年代應(yīng)用比較廣泛，其時沖激函數(shù)沒有得到應(yīng)用。由于它需要計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，比較麻煩，現(xiàn)在，沖激函數(shù)應(yīng)用以后，這種分解方法就很少應(yīng)用了。二、 任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)之和（積分）將任意函數(shù)近似表示為一系列矩性脈沖函數(shù)之和，定義：則：求和，可得：令，則

11、 l 這個公式實際上可以直接從沖激函數(shù)的定義或性質(zhì)中推導(dǎo)出，但是上面的推導(dǎo)更利于觀察其含義。l 這種分解不僅可以用于有始信號，也可以用于一般信號，這時候公式可以改寫成為： 這個公式更具有普遍性。l 公式中的積分上限也可以從t改為，這樣不會影響結(jié)果。這時候公式為：習(xí)題：.2.5（1）；2.7(1)(4)。*§2-6 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)一、 定義階躍響應(yīng)：系統(tǒng)對階躍信號的零狀態(tài)響應(yīng)；沖激響應(yīng)：系統(tǒng)對沖激信號的零狀態(tài)響應(yīng)；l 一般用表示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，表示階躍響應(yīng)；l 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)之間有對應(yīng)關(guān)系： 或 所以兩者只要知道其一就可以了。l 如前所述，現(xiàn)在很少將信號分解為階躍信號，所

12、以一般沒有必要求階躍響應(yīng)，只要求沖激響應(yīng)就可以了。二、 系統(tǒng)沖激響應(yīng)的求解方法根據(jù)前面對信號的分解，有： 信號可以分解為多個沖激信號的積分。如果知道信號對的響應(yīng)，利用線性移不變系統(tǒng)的線性和移不變特性，就可以得到系統(tǒng)對任意子信號的響應(yīng)，從而就可以得到系統(tǒng)對整個信號的響應(yīng)。求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法有：1） 系統(tǒng)方程法：根據(jù)微分方程求解。書上P46頁介紹了這種方法。2） 系數(shù)平衡法：比較等式兩邊相同函數(shù)的系數(shù)，得到解答。書中的例題(2-3、2-4、2-5)中都使用了這種方法。3） 初始條件法：將沖激激勵轉(zhuǎn)化成時刻的初始條件，然后利用零輸入響應(yīng)的求解方法求解。例題2-4中介紹了這種算法。4） LT變換法

13、：利用拉普拉斯變換求解。這種方法最簡單。在后面Ch5中介紹。本節(jié)中重點介紹系統(tǒng)方程法。三、沖激響應(yīng)的系統(tǒng)方程求解方法系統(tǒng)方程法(或Heaviside 部分分式分解方法)1、 一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的求解用算子表示的形式為：， ，微分方程兩邊同時乘以，可以得到：=>=>=>=>=> (注意：零狀態(tài)，)或者簡單記為：2、 一般情況下，系統(tǒng)的特征根（D(p)=0的根）無重根 一般使用Heaviside部分分式分解法，它將復(fù)雜系統(tǒng)變?yōu)樵S多個簡單系統(tǒng)的和。 1） m<n時借助于代數(shù)運算，通過部分分式求解，可以得到：由此可以得到： 2） 當(dāng)m=n時，可以將H(p)分解為：其

14、中，是的系數(shù)。3） 當(dāng)m>n時，可以將H(p)分解為：則：3、 一般情況下，系統(tǒng)的特征根（D(p)=0的根）有重根假設(shè)m<n，且可以證明：則： 有關(guān)m=n和m>n的情況，也可以通過相似的過程得到。例：P53，例題2-3。 §2-7 卷積積分本節(jié)討論如何通過沖激響應(yīng)或階躍響應(yīng)求解系統(tǒng)對信號的響應(yīng)。一、 通過階躍響應(yīng)求解杜阿美積分由§2-5節(jié)推導(dǎo)得到的公式：此時，其激勵信號e(t)可以分解為一系列階躍函數(shù)的積分：而系統(tǒng)對階躍信號的響應(yīng)：=> 時不變性=> 齊次性=> 疊加性=> 所以： 杜阿美積分 可見，如果得到了系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，通過杜

15、阿美積分，就可以計算出系統(tǒng)對任意連續(xù)可導(dǎo)的激勵信號e(t)的響應(yīng)。l 如果激勵信號在t=0處可導(dǎo)，則上式為：l 通過變化積分變量，可以得到杜阿美積分的另外一種形式為： l 因為需要計算信號的導(dǎo)數(shù)，需要激勵信號連續(xù)可導(dǎo)，所以這種方法目前不常用。二、 通過沖激響應(yīng)求解卷積積分由§2-5節(jié)推導(dǎo)得到的公式：此時，其激勵信號e(t)可以分解為一系列沖激函數(shù)的積分：系統(tǒng)對沖激信號的響應(yīng)：=> 時不變性=> 齊次性=> 疊加性所以： 卷積積分可見，如果得到了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，通過卷積積分，就可以計算出系統(tǒng)對任意信號e(t)的響應(yīng)。與杜阿美積分相比，這里并不需要信號連續(xù)可導(dǎo)，所以其實

16、用性大大優(yōu)于杜阿美積分。l 通過變化積分變量，同樣可以得到卷積積分的另外一種形式為： l 以上公式的應(yīng)用條件是：有始信號作用于因果系統(tǒng)。卷積積分有另外一種更加通用的形式是：該公式的積分限在“有始信號作用于因果系統(tǒng)”時，與原公式的積分限等價。我們定義一種特殊的函數(shù)與函數(shù)之間的計算：卷積：則卷積積分可以表示為：習(xí)題：2.15；2.16（2）、（4）。*§2-8 卷積及其性質(zhì)一、 卷積計算的幾何解法卷積積分的計算從幾何上可以分為四個步驟：反褶>平移>相乘>疊加（積分） 例題見P61-62。二、 卷積計算的解析法根據(jù)卷積的定義求解。例題見P62。三、 卷積積分表P60頁四、

17、 卷積的性質(zhì)卷積的計算不少類似于函數(shù)的乘法計算。它的很多性質(zhì)與乘法運算性質(zhì)相同，但是也有一些不同。通過這些性質(zhì)，可以方便卷積的計算。1、 與乘法運算相同的性質(zhì)：1）交換律：2）分配律： 3）結(jié)合律：2、 與乘法運算不同的性質(zhì)：卷積的微積分1） 微分：2） 積分：對上述兩邊求導(dǎo)數(shù)，得到：3） 多重微積分：3、 函數(shù)延時后的卷積假設(shè)： 則：五、 幾個特殊函數(shù)的卷積：1、 或：2、(見微分性質(zhì)) 或推廣：3、六、 卷積積分的計算卷積積分的計算就是一般的定積分的計算。但是工程上遇到的卷積計算可能比較復(fù)雜。一般可以借助于圖形幫助確定積分函數(shù)和積分邊界。例：P69-71，例題2-9。習(xí)題: . 2.19;

18、 2.20（1）、（4）。*§2-9 線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解法一、 近代時域法求解步驟1、 求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子H(p)2、 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)求解方法：經(jīng)典法，等效源法l 如果系統(tǒng)的初始條件為零，則本步可以省略。3、 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)1） 求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)；2） 通過卷積積分，求系統(tǒng)對激勵信號的響應(yīng)；如果積分難于計算，可以通過計算機數(shù)值積分計算。4、 將零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)相疊加，得到總響應(yīng)。二、 系統(tǒng)對指數(shù)激勵信號的響應(yīng)若系統(tǒng)的特征方程無重根時，系統(tǒng)的全響應(yīng)為： 若系統(tǒng)的特征方程有重根時，上式系統(tǒng)全響應(yīng)的有關(guān)項則為：l 響應(yīng)信號按照其數(shù)學(xué)特性可以分為自然響應(yīng)和受迫響應(yīng)，也可以按照

19、物理特性分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。其中零輸入響應(yīng)與自然響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)與受迫響應(yīng)從表面上看相似，但是它們并不相同;1） 零輸入響應(yīng)是自然響應(yīng)的一部分，但是自然響應(yīng)還包括了零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)的一部分；2） 受迫響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)的一部分，但零狀態(tài)響應(yīng)還包括自然響應(yīng)的一部分；3） 總之，信號的響應(yīng)包括三部分：（1） 既是零輸入，又是自然響應(yīng);（2） 既是零狀態(tài)，又有自然響應(yīng);（3） 既是零狀態(tài)，又有受迫響應(yīng)。l 系統(tǒng)響應(yīng)又有另外一種分法：1） 瞬態(tài)響應(yīng)：隨時間增長而趨于零的部分；2） 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：隨時間增長而不趨向零的部分。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，自然響應(yīng)必定屬于瞬態(tài)響應(yīng)，受迫響應(yīng)則可能為瞬態(tài)響應(yīng)，也可是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，具體情況視激勵信號的形式而定。如果激勵信號的指數(shù)s與系統(tǒng)的某個特征根相同，即，則卷積項為： 例1：電路如圖所示，已知，C=2F，電路的初始狀態(tài)，求激勵為時，以為輸出的全響應(yīng)。解：電路在節(jié)點處滿足KCL約束，即：，而： ；。將兩個支路電流代入KCL表達式，則該電路系統(tǒng)的方程為：，此方程為一階常系數(shù)非齊次微分方程，對應(yīng)的齊次方程為：，其特征方程為：特征根為：，零輸入響應(yīng)為：。