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文檔簡介

1、競賽專題講座18類比、歸納、猜想 數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣,通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎(chǔ)上,獲得對有關(guān)問題的結(jié)論或解決方法的猜想,然后再設(shè)法證明或否定猜想,進而達到解決問題的目的類比、歸納是獲得猜想的兩個重要的方法所謂類比,就是由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì),推斷它們在其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。類比是一種主觀的不充分的似真推理,因此,要確認其猜想的正確性,還須經(jīng)過嚴格的邏輯論證運用類比法解決問題,其基本過程可用框圖表示如下: 可見,運用類比法的關(guān)鍵是尋找一個合適的類比對象按尋找類比對象的角度不同,類比法常分為以下三個類型 (1)降維類比將三維空間的對象降

2、到二維(或一維)空間中的對象,此種類比方法即為降維類比【例1】如圖,過四面體V-ABC的底面上任一點O分別作OA1VA,OB1VB,OC1VC,A1,B1,C1分別是所作直線與側(cè)面交點 求證:+為定值分析 考慮平面上的類似命題:“過ABC(底)邊 AB上任一點O分別作OA1AC,OB1BC,分別交BC、AC于A1、B1,求證+為定值”這一命題利用相似三角形性質(zhì)很容易推出其為定值1另外,過A、O分別作BC垂線,過B、O分別作AC垂線,則用面積法也不難證明定值為1于是類比到空間圍形,也可用兩種方法證明其定值為1證明:如圖,設(shè)平面OA1 VABCM,平面OB1 VBACN,平面OC1 VCAB=L,

3、則有MOA1MAV,NOB1NBV,LOC1 LCV得+=+。在底面ABC中,由于AM、BN、CL交于一點O,用面積法易證得:+=1。+=1。【例2】以棱長為1的正四面體的各棱為直徑作球,S是所作六個球的交集證明S中沒有一對點的距離大于【分析】考慮平面上的類比命題:“邊長為1的正三角形,以各邊為直徑作圓,S是所作三個圓的交集”,通過探索S的類似性質(zhì),以尋求本題的論證思路如圖,易知S包含于以正三角形重心為圓心,以為半徑的圓內(nèi)因此S內(nèi)任意兩點的距離不大于以此方法即可獲得解本題的思路證明:如圖,正四面體 ABCD中,M、N分別為BC、AD的中點,G為BCD的中心,MNAGO顯然O是正四面體ABCD的

4、中心易知OG=·AG=,并且可以推得以O(shè)為球心、OG為半徑的球內(nèi)任意兩點間的距離不大于,其球O必包含S現(xiàn)證明如下根據(jù)對稱性,不妨考察空間區(qū)域四面體OMCG設(shè)P為四面體OMCG內(nèi)任一點,且P不在球O內(nèi),現(xiàn)證P亦不在S內(nèi)若球O交OC于T點。TON中,ON=,OT=,cosTON=cos(-TOM)=-。由余弦定理:TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=,TN=。又在 RtAGD中,N是AD的中點,GN=。由GN= NT, OGOT, ON=ON,得 GONTON。TONGON,且均為鈍角于是顯然在GOC內(nèi),不屬于球O的任何點P,均有PON>TON,即有PN&g

5、t;TN=,P點在 N為球心,AD為直徑的球外,P點不屬于區(qū)域S由此可見,球O包含六個球的交集S,即S中不存在兩點,使其距離大于(2)結(jié)構(gòu)類比某些待解決的問題沒有現(xiàn)成的類比物,但可通過觀察,憑借結(jié)構(gòu)上的相似性等尋找類比問題,然后可通過適當?shù)拇鷵Q,將原問題轉(zhuǎn)化為類比問題來解決【例3】任給7個實數(shù)xk(k=1,2,7)證明其中有兩個數(shù)xi,xj,滿足不等式0·【分析】若任給7個實數(shù)中有某兩個相等,結(jié)論顯然成立若7個實數(shù)互不相等,則難以下手但仔細觀察可發(fā)現(xiàn):與兩角差的正切公式在結(jié)構(gòu)上極為相似,故可選后者為類比物,并通過適當?shù)拇鷵Q將其轉(zhuǎn)化為類比問題作代換:xk=tgk(k l,2,7),證明

6、必存在i,j,滿足不等式0tg(i-j)·證明:令xk=tgk(k l,2,7),k(-,),則原命題轉(zhuǎn)化為:證明存在兩個實數(shù)i,j(-,),滿足0tg(i-j)·由抽屜原則知,k中必有 4個在0,)中或在(-,0)中,不妨設(shè)有4個在0,)中注意到tg00,tg=,而在0,)內(nèi),tgx是增函數(shù),故只需證明存在i,j,使0<i-j <即可。為此將0,)分成三個小區(qū)間:0,、(,、(,)。又由抽屜原則知,4個k中至少有2個比如i,j同屬于某一區(qū)間,不妨設(shè)i>j,則0i-j ,故0tg(i-j)·這樣,與相應(yīng)的xi=tgi、xj=tgj,便有0

7、3;(3)簡化類比 簡化類比,就是將原命題類比到比原命題簡單的類比命題,通過類比命題解決思路和方法的啟發(fā),尋求原命題的解決思路與方法比如可先將多元問題類比為少元問題,高次問題類比到低次問題,普遍問題類比為特殊問題等 【例4】已知xi0(i1,2,n),且xl+x2+xn=1。求證:1+ 【分析】我們可先把它類比為一簡單的類比題:“已知xl0,x20,且xl+x2 =1,求證1+”本類比題的證明思路為:2xl+x2l,021,則1xl+x2+22,即1(+)22,1+這一證明過程中用到了基本不等式和配方法這正是要尋找的證明原命題的思路和方法證明:由基本不等式有02xi+xj,則02(n-1)(

8、xl+x2+xn)=n-11xl+x2+xn +2n,即1(+)2n1+所謂歸納,是指通過對特例的分析來引出普遍結(jié)論的一種推理形式它由推理的前提和結(jié)論兩部分構(gòu)成:前提是若干已知的個別事實,是個別或特殊的判斷、陳述,結(jié)論是從前提中通過推理而獲得的猜想,是普遍性的陳述、判斷其思維模式是:設(shè)Mi(i1,2,n)是要研究對象M的特例或子集,若Mi(i1,2,n)具有性質(zhì)P,則由此猜想M也可能具有性質(zhì)P如果M,這時的歸納法稱為完全歸納法由于它窮盡了被研究對象的一切特例,因而結(jié)論是正確可靠的完全歸納法可以作為論證的方法,它又稱為枚舉歸納法 如果是M的真子集,這時的歸納法稱為不完全歸納法由于不完全歸納法沒有

9、窮盡全部被研究的對象,得出的結(jié)論只能算猜想,結(jié)論的正確與否有待進一步證明或舉反例本節(jié)主要介紹如何運用不完全歸納法獲得猜想,對于完全歸納法,將在以后結(jié)合有關(guān)內(nèi)容(如分類法)進行講解 【例5】證明:任何面積等于1的凸四邊形的周長及兩條對角線的長度之和不小于4十【分析】四邊形的周長和對角線的長度和混在一起令人棘手,我們可以從特例考察起:先考慮面積為1的正方形,其周長恰為4,對角錢之和為2即其次考察面積為1的菱形,若兩對角線長記為l1、l2,那么菱形面積S=l1·l2,知l1+ l22=2=,菱形周長: l42=4。由此,可以猜想:對一般的凸四邊形也可將其周長和對角線長度和分開考慮【證明】設(shè)

10、ABCD為任意一個面積為1的凸四邊形,其有關(guān)線段及角標如圖則SABCD= (eg+gf+fh+he)sin (e+f)(g+h),e+f+g+h2,即對角線長度之和不小于abcd4,即周長不小于4綜上所述,結(jié)論得證,【例 6】在一直線上從左到右依次排列著 1988個點P1,P2,P1988,且Pk是線段Pk-1Pk+1的k等分點中最靠近Pk+1的那個點(2k1988),P1P2=1,P1987 P1988=l求證:2l<3-1984?!痉治觥勘绢}初看復(fù)雜,難以入手不妨先從特殊值出發(fā),通過特殊值的計算,以便分析、歸納出一般性的規(guī)律當k=1時,P1P2=1(已知);當k= 2時, P2是P1P3的中點,故P2P3= P1P2= 1;當k=3時, P3是P2P4的三等分點中最靠近的那

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