人口預(yù)測與數(shù)據(jù)擬合

1、人口預(yù)測與數(shù)據(jù)擬合1、摘要：隨著人口的增加，人們越來越認(rèn)識到資源的有限性，人口與資源之間的矛盾日漸 突出，人口問題已成為世界上最被關(guān)注的問題之一。問題給出了 179A2000年間美國的人口數(shù)據(jù)，通過分析近兩百年的美國人口統(tǒng) 計數(shù)據(jù)表，得知每10年的人口數(shù)和人口增長率的變化。預(yù)測美國未來的人口。首先，人口增長率是變化值。對于問題(1)假設(shè)了人口上限因此我們選擇建立Logistic 模型(模型1)其次，根據(jù)表中的人口數(shù)據(jù)，進(jìn)行曲線擬合(模型2)，通過Matlab進(jìn)行人口預(yù)測關(guān)鍵詞：預(yù)測模型人口增長率Logistic2、實驗問題：1970 年到1980年間美國人口數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示年份179018

2、0018101820183018401850186018701880統(tǒng)計3.95.37.29.612.917.1 123.231.438.650.21年份1890190019101920193019401950196019701980統(tǒng)計62.072.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別用不同次數(shù)的多項式擬合美國人口數(shù)量增長的近似曲線圖。(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，建立符合 Malthus模型的美國人口數(shù)量增長曲線模型。(3)設(shè)美國人口總體容量為4.5億，試用Logistic 模型建立美國人口增長曲線模 型。(4)分別用上述三種方

3、法預(yù)測2000年，2005年，2015年，2020年美國人口數(shù)量， 并對不同方法的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較分析。3、實驗問題的分析：根據(jù)以上問題的提出我們可以通過兩種模型來進(jìn)行求解，Malthus模型和Logistic 模型來預(yù)測美國人口數(shù)量和統(tǒng)計的結(jié)果的差別。Malthus模型：1798年，英國統(tǒng)計學(xué)家Malthus在在進(jìn)行大量統(tǒng)計的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了一種關(guān)于生物種的繁殖規(guī)律， 就是一種個體數(shù)量的增長率與該時刻種群的個體數(shù)量成正比。有效地控制人口的增 長，認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，做出較準(zhǔn)確的預(yù)報，是有效控制人口 增長的前提。整個模型的過程中應(yīng)當(dāng)包括：人口增長的變化規(guī)律；人口數(shù)量的死亡的變化規(guī)

4、律； 人口平均生育的變化規(guī)律；統(tǒng)計人口是的過程等。人口預(yù)測是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題，影響人口增長除了人口數(shù)與可利用資源外，還 與醫(yī)藥衛(wèi)生條件的改善，人們生育觀念的變化等因素有關(guān).可以采取幾套不同的 假設(shè)，做出不同的預(yù)測方案，進(jìn)行比較。人口預(yù)測可按預(yù)測期長短分為短期預(yù)測 (5年以下)、中期預(yù)測(520年)和長期 預(yù)測(2050年)。在參數(shù)的確定和結(jié)果討論方面，必須對中短期和長期預(yù)測這兩種情 況分開討論。中短期預(yù)測中所用的各項參數(shù)以實際調(diào)查所得數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，根據(jù)以往變 動趨勢可較準(zhǔn)確加以估計，推算結(jié)果容易接近實際，現(xiàn)實意義較大。4、實驗?zāi)Ｐ偷募僭O(shè)：(1)、人口數(shù)量在某一年內(nèi)增長的速度較快，在哪一年內(nèi)不記

5、人口的死亡人數(shù)， 和種種影響人口增長的因素。(2)、假設(shè)美國人口上限為5億，根據(jù)表中給出的人口增長率，進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚?建立微分方程模型；(3)、利用(2)中的模型計算各年人口，與實際人口數(shù)量比較，計算模型的 計算誤差；(4)、利用(2)中的模型預(yù)測美國 2010,2020,2030,2040,2050 年的人口；(5)、假設(shè)人口增長率服從1.1,1.3上的均勻分布，結(jié)合(2)中建立微分方程模型，預(yù)測美國2010,2020,2030,2040,2050 年的人口 .5、模型的建立：模型1圖1為1790-2000年的人口數(shù)據(jù)，人口增長率r為每10年的取值。首先對人口增長率進(jìn)行處理求出其他年份相對

6、于 1790年的增長率Rrt I .rtR =-n n 其中t1=1800年. t21=2000年(1<n021)。例如1810年相對于1790年的增長率為 (3.11+2.99)/2=3.05其他年份同理可得如圖2;對增長率R求平均直為Rx=2.64%真型1為阻滯增長模型 假設(shè)人口增長率r(x)是t時人口 x(t)的函數(shù)，r(x)應(yīng)該是x 的減函數(shù)。一個簡單的假設(shè)是假設(shè) r(x)為x的線性函數(shù)r(x)=r-s*x , s>0.最大人口 數(shù)量Xm=500當(dāng)x=Xm寸增長率為零。在線性化假設(shè)前提下可以得到r(x) = r (1 -x / Xm),(公式 1) 其中的r我們?nèi)≈扒蟮玫?/p>

7、平均增長率r=0.0264 , Xm=500。在公式1假設(shè)下，模型 可修改為fdxx、(公式2)rx(1)dtxmi,x(0) Xo上述方程改為Logistic 模型X(t) = Xm/1+( Xm/Xo-1) e rt (公式 3)e取2.718, t為3t,求出每10年的rt值帶入方程算出各年的人口數(shù)以及和實際值的誤差見圖3。2010 年的 R*t=5.808 ,預(yù)測人口為 362.32;2020 年的 R*t=6.072 ,預(yù)測人口為 387.59;2030 年的 R*t=6.336 ,預(yù)測人口為 408.16;2040 年的 R*t=6.6,預(yù)測人口為 427.35;2050年的 R*

8、t=6.864 ,預(yù)測人口為 442.48;觀察預(yù)測結(jié)果1930年以前只有1800 1810 1820誤差較小，其它年份誤差正負(fù)都稍微 偏大，1940年以后預(yù)測值逐年大于實際值，說明在給定最大人口數(shù)后增長率選擇不適 當(dāng)，與給定的最大人口數(shù)不匹配，有待改進(jìn)。12 fad啟i a w譽(yù)工t 1 耳 4 4 f J 1E23A SI.93AR1 cDE1年份人口（百萬）平均R*七討舁值1T903. 9ISuO5. 3264E. OS-O. 2412107. 20. ESSG. 60. 618209. 60. 792包 540. 161瀉1 2 91. 0561 1 .口污-1. SV124017,

9、11. 3214. 3-2. S J1E35O23. 21. 5S418. 444. 76136031.41. 34323. S-7. G1 S703S. 62. 1 1230. 5-S. L1S3050. 22. 5T630-11.2189062+ 92. 6449. 95-12. 951 900T5* 07. S5O45Z,74-1. Z6191092. 03. 16fc7B. G2-IS. 3S1920106. S3. 43297.8. 651930123. 23. 696120. 19-3. 011 04 口13 1.73,。呂1 45. 77I a. riT1950150. 7d.

10、22417<l. 2223. 521960179. 34. 4日GZOO, 120. 81 90204. 0。.752Z38. 134. 119SD226. 55. C1B270. 2743. 7 71S902EL. 4E- 2S303. 0351 . G31200Q_I281. 4544333. 33 151 . 勺3 II圖（1）"""年份人口 ；自力）人二普長率r儲17903, 92.0518005. 33. 1 11810V. 2a. gg18209. G2. 971S3O12. 92.專工1S4UJ_7. 13. U11S5O23. 23. ne1

11、803L旦2. 451SYU3日.62.4m18宮門50. 22. 4213906& 92. 051900764 01. 911口92. 01.661920±05. 51. 46193013. 2L. 02140131. 71. 041501E0. 71. FS19&O1 7 9. 31.49170204. 01. IBigsu775. 5I. U51 99021.41 .0勺2000231. 41. 161工 xx 工, , *> _ c*-圖（2）圖（3）模型2（1）根據(jù)表中的人口數(shù)據(jù)，進(jìn)行曲線擬合，建立數(shù)學(xué)模型；（2）利用（1）中的模型計算各年人口，與實際

12、人口數(shù)量比較，計算模型的計算誤差；（3）利用（1） 中的模型預(yù)測美國2010,2020,2030,2040,2050年的人口；利用MATLA進(jìn)行曲線擬合，首先在平面上繪出已知數(shù)據(jù)的分布圖，通過直觀觀察，猜測人口隨時間的變化規(guī)律，再用函數(shù)擬合的方法確定其中的未知參數(shù)，從而估 計出2010 2020 2030 2040 2050年的美國人口。利用MATLA肺出美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)的連線圖如圖4。圖4美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)連線圖圖5建模方法1的擬合效果圖由圖4可以發(fā)現(xiàn)美國人口的變化規(guī)律曲線近似為一條指數(shù)函數(shù)曲線，因此我們假設(shè)美國的人口滿足函數(shù)關(guān)系x=f(t),f(t)=ea+bt, a, b為待定常數(shù)，根據(jù)最

13、小二乘擬n合的原理，a, b是函數(shù)E(a,b) (f(t) xj2的最小值點(diǎn)。其中Xi是ti時刻美國的 i 1人口數(shù)。利用MATLA呻的曲線擬合程序“ curvefit "，編制的程序如下: 首先創(chuàng)建指數(shù)函數(shù)的函數(shù) M文件用最小二乘擬合求上述函數(shù)中待定常數(shù)，以及檢驗擬合效果的圖形繪制程序m-function, fun1.mfunction f=fun1(a,t)f=exp(a(1)*x + a(2);t=1790:10:2000;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 .92 106.5 123.2 131.7

14、150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4;plot(t,x, '*' ,t,x);a0=0.001,1;a=curvefit( 'fun1' ,a0,t,x)ti=1790:5:2050;xi=fun1(a,ti);hold onplot(ti,xi);t1=2010;x1=fun1(a,t1)hold off在MATLABr令窗口運(yùn)行該程序，輸出結(jié)果 a = 0.0148 -23.8311; x1 =358.48因止匕，參數(shù)a=0.0148, b=-23.8307 ,擬合函數(shù)在2010處的函數(shù)值f(2010)=358.48 。通過作圖

15、，我們來看看擬合的誤差如何，見圖5。從圖中可看出，擬合曲線與原數(shù)據(jù)還是比較吻合，因此，預(yù)測美國在2010年的人口數(shù)為358.48百萬。同理2020年預(yù)測人口為413.33; 2030年預(yù)測人口為452.57;2040年預(yù)測人口為475.89; 2050年預(yù)測人口為494.18。圖6為誤差值觀察誤差和圖像，模型2對過去的統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合得較好，但也存在問題，即人口是呈 指數(shù)規(guī)律無止境地增長，此時人口的自然增長率隨人口的增長而增長，這不可能。一 般說來，當(dāng)人口較少時增長得越來越快，即增長率在變大；人口增長到一定數(shù)量以后， 增長就會慢下來，即增長率變小這是因為，自然資源、環(huán)境條件等因素不允許人口無 限制

16、地增長，它們對人口的增長起著阻滯作用，而且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大。而且人口最終會飽和，趨于某一個常數(shù)xm這里通過Matlab對模型1中的公式3進(jìn)行一次計算擬合：function f=fun3(a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-(t-1790)*a(2);x=1790:10:2000;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 .92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4;plot(x,y,'*',x,y)

17、;a0=0.001,1;a=curvefit('fun3',a0,x,y)xi=1790:5:2050;yi=fun3(a,xi);hold onplot(xi,yi);x1=2010;y1=fun3(a,x1)hold offABCD年囪人口百萬】曲線掃合誤差孤1790LS005. 3E. 4S3. 318107. 2352. i n18209- 69. 842. 5 183C12. 914. 5g 二12-7 11840IT. 117. 452. 1185C23, 224. 33 OI86031. 432. 22. 6 J1870_3S- 639. 7GJ31880SO.

18、250- 3_n0. 2 J1E9C962. 7-o. 3 nr 1300T6. 074. 4二-211092. 0S9_ 3_-2. 9 1120106. 5102. 3 _J一3. 9，1930123. 2120. 4T. 3 11340131. 7131. 2 二-O 4，1950150. 7ISO. S-0. 31960179. 3177. 31 1197020U. 0203. 6-0. 2 11980226. 57 O-0- 3，1990251. 02SS- 口22C00281. 42月571. 5圖(6)將r (即a(2)的初值取為小于1的數(shù)，比如取a=200, 0.1時，得到a

19、=311.95 0.0280, y1 =267.19,即(2)中的 r=0.0280, xm=311.95, 2010 年美國 的人口預(yù)計為267.19。這個結(jié)果還比較合理，當(dāng)tm時，靜增長率趨于零，人口數(shù)趨 于311.95百萬人，即極限人口 xm=311.95o擬合效果見圖7,這種效果比之前情形好。從圖7看出，在前一段吻合得比較好，但在最上面，若擬合曲線更接近原始數(shù)據(jù)， 對將來人口的預(yù)測應(yīng)該更好。因此略加修改將擬合準(zhǔn)則改為：n21min E(a) (f (ti)為)2 w (f(t。 Xi )2i 1i n 1其中w為右端幾個點(diǎn)的誤差權(quán)重，在此處應(yīng)該取為大于1的數(shù)，這樣會使右邊的擬合誤差減小

20、，相應(yīng)的，其他點(diǎn)的誤差會有所增加。如何才能使這些誤差的增減恰當(dāng) 呢？可以通過調(diào)整w和n的具體取值，比較他們?nèi)「鞣N不同值時的擬合效果，從而確 定出一個合適的數(shù)值。圖7function f=fun5(a)n=16;w=2;x=1790:10:2000;x1=x(1:n);x2=x(n+1:21);y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4;y1=y(1:n);y2=y(n+1:21);f=fun3(a,x1),w*fun3(a,x2)-y1,w*y2;主程序：t=1790:10:2000;