第8章有限元法的前后處理

1、精選課件8 有限元法的前后處理8-1 引言有限元法分成以下幾步：（1）計算模型的幾何剖分、數據生成和數據準備；（2）計算分析；（3）計算結果的分析、整理和圖形顯示。有限元發(fā)展初期，（1）、（3）都是由人工來做。有統計資料表明，（1）的工作量為45%，（3）的工作量為50%，而（2）只占到5%。精選課件以（1）為例，首先按比例畫到坐標紙上，然后按一定的順序編號，再整理出如下信息，以供有限元分析之用：*節(jié)點信息節(jié)點編號和節(jié)點坐標；*單元信息單元編號和單元中節(jié)點號的排列順序；*材料信息計算模型的材料性質（彈性模量，泊松比，比熱，導熱系數等）；*載荷信息計算模型所受的負載信息（集中力，體積力，表面力，

2、溫度，壓力等）；*約束信息初始條件和邊界條件。精選課件最后還要將這些數據一一輸入計算機。以上工作乏味而且容易出錯。有限元分析的前處理就是使計算機部分或全部完成計算模型的幾何剖分、數據生成和數據輸入，有限元的后處理則是將有限元計算結果由計算機整理成易于閱讀或分析的數值或圖形形式。8-2 有限元分析的前處理技術有限元法的前處理主要有以下內容：（1）計算模型的幾何表示；（2）模型網格的自動分劃（或剖分）；（3）剛度矩陣的帶寬優(yōu)化；（4）模型網格圖的計算機繪制。精選課件一 計算模型的幾何表示1 對于設計階段的零部件進行有限元分析，如果采用計算機輔助設計，則模型的幾何表示可采用計算機造型系統中的幾何表示

3、。常用的有表面模型和立體模型。2 對于已有的零部件做有限元分析，既可以將其輸入到計算機中，采用第一種辦法表示其幾何形狀，也可以根據零件的幾何形狀來決定其表示法。常用的有整體表示法和分塊表示法。（1）整體表示法：用點表示線，用線表示面，用面表示體。（2）分塊表示法：把整體看成是由簡單個體的組合，而簡單個體則可用多邊形和多面體表示。精選課件二 有限元網格的自動剖分有限元網格的自動剖分與計算模型的幾何表示方法有密切的關系。整體表示的幾何模型，適宜于采用整體剖分要用到較多的數學知識。下面討論分塊表示幾何模型時常用的一種分塊剖分法。以二維問題為例。圖示的二維區(qū)域可以看成是A,B,C三個部分組成。 A,B

4、,C都是簡單的四邊形，四邊形頂點的坐標可以表示其形狀和位置。精選課件網格自動剖分的方法分成四個步驟：1）分塊映射；2）網格剖分；3）順序編碼；4）總體合成。1 分塊映射首先把計算區(qū)域手工粗分成若干個四邊形區(qū)域的組合，每個四邊形稱為一個大單元。 BCA精選課件為了既能表示直邊大單元，又能表示曲邊大單元，采用8個節(jié)點來描述一個大單元。右圖中，（a）是真實圖形在總體坐標系下的樣子，經過等參數單元的變換后，得到（b）圖中邊長為2的正方形。同樣的方法可以得到B和C的映射結果。 2346711234556788yOOA)(b)(ax 精選課件2 網格剖分網格剖分是在映射后的正方形區(qū)域中進行的。剖分時可以有

5、兩種方法：等邊剖分和不等邊剖分。（1）等邊剖分將=-1邊和=1邊剖分成相等的份數。同樣，將=-1和=1邊也剖分成相等的份數。則最終剖份單元數為 。NN O 精選課件（2）不等邊剖分某一方向兩個邊界上的剖分數不一致。比如 =-1分割數為3， =1一側的分割數為7。需要計算沿另一個方向（等值、 方向）的分割數，使相鄰的兩條等值線的分割數差1。 O34675CBA精選課件對于相鄰的兩條等值線分割數不相等的情況，應將分割數多的等值線上的最后兩點與相鄰的、分割數少1的等值線上的最后一點組成一個三角形單元。已經形成的四邊形單元，只要連接四邊形的兩個對角點，即可得到兩個三角形單元?；蛘弑３炙倪呅螁卧?，這樣，

6、求解區(qū)域既有四邊形單元，也有三角形單元，相應的單元剛度矩陣也有兩種類型，總體合成時，按照總體節(jié)點編號累加單元中的元素值即可。完成局部坐標系o中的大單元的分割后，對應的總體坐標系xoy中的大四邊形也同時被分割了。從o到xoy的坐標變換關系是精選課件式中 為映射函數，也就是8節(jié)點四邊形等參數單元位移插值函數的形函數。 是總體坐標系中大四邊形各邊節(jié)點的坐標。iiiiiiyNyxNx8181,8 , 2 , 1,iNi,84 11212,6 11217 , 5 , 3 , 1 11141,22iiiNiiiiiii8 , 2 , 1,iyxii精選課件按照坐標變換關系式，將已經分割后的局部坐標系中的正

7、方形中的網格節(jié)點坐標(,)代入，即可得到對應的總體坐標系下的節(jié)點坐標(x,y)。例如， 方向分割數N=4， 方向的分割數N=3，求圖中K點的坐標(xK,yK)。KO 精選課件如果以O為起點，則K點的局部坐標為根據已知的 ， 將(K,K)代入坐標變換式，即可求出對應的(xK,yK)。方向的分割線序數。方向和點算起從，；起算點的局部坐標OKKKNKNOOOKOK1 , 1,311321221142128 , 2 , 1,iNi8 , 2 , 1,iyxii精選課件3 順序編碼編碼就是將所有節(jié)點連續(xù)無缺地順序編號，并對每個單元編號和形成單元信息。編碼可以分成兩步來做。首先對每個大四邊形編碼。對基本的

8、大四邊形單元編碼時，可以按行（列）進行。以按行編碼為例，每計算一個節(jié)點，節(jié)點號加1。單元編號也可類似進行（比如按列）。 )2()3(1k2k) 1 ()4()5(5k)1 (NS)2(NS)3(NS)4(NS精選課件為了形成與某一個單元相關的節(jié)點號，在節(jié)點編號時，對每一個新行的第一個節(jié)點專門形成一個數組NS(i)。其中的i代表節(jié)點編碼的行號， NS(i)的值代表該行起點節(jié)點號。如果單元編碼按列進行，則第二個單元的節(jié)點是NS(3)， NS(3)+1， NS(2)+1， NS(2)。如果單元是8節(jié)點等參元，還要計入單元每邊中間一點的節(jié)點號。對每個大四邊形順序編碼，這樣，可能會有一些節(jié)點在大四邊形組

9、合后，同一節(jié)點擁有兩個節(jié)點號。這個問題可以在下一步總體合成中予以解決。精選課件4 總體合成將經過剖分、編碼后的大四邊形單元合在一起，調整具有多個節(jié)點號的節(jié)點編碼，重排節(jié)點號，稱為總體合成?？傮w合成的主要任務是使整體節(jié)點號的編號連續(xù)無缺，并修改分開編碼形成的單元信息。對于同一節(jié)點具有多個節(jié)點編號多重編號的節(jié)點，可以采用比較節(jié)點坐標的辦法將其消除。比如，如果同時成立，說明i和j重合或很接近。yjixjiyyxx2121精選課件式中(xi1,yi1)為第一大單元中的節(jié)點i的坐標；(xj1,yj1)為第二大單元中的節(jié)點j的坐標； x,y是預先給定的距離很小的數值。找出重復編號的節(jié)點之后，修改第二大單元

10、中的節(jié)點信息和單元信息：（1）保留節(jié)點號i，取消節(jié)點編號j；（2）將第二大單元中比i大的節(jié)點編號全部減1；（3）修改第二大單元中該節(jié)點所在的單元信息和比該節(jié)點編號要大的那些單元的信息。重復以上過程，直至第二大單元中的所有節(jié)點都循環(huán)完畢。精選課件對于三維問題，也可以實現有限元網格的自動分割，只是分塊區(qū)域為六面體或五面體，映射后的區(qū)域為正六面體和直三棱柱。 123456101615111718192021222426272930323334351823262932332528大單元連續(xù)編號重復編號的剔除2221233134 精選課件三 剛度矩陣的帶寬優(yōu)化為了節(jié)省計算機的存儲空間，需要優(yōu)化總剛矩陣的

11、帶寬。節(jié)點編號對應總剛矩陣中的非零元素的位置。節(jié)點編號變動，總剛矩中非零元素的位置也發(fā)生變動，反之亦然。帶寬優(yōu)化的原理：通過調整總剛矩陣中非零元素的位置，對應地修改單元信息，從而減少剛陣帶寬。精選課件為此引入鄰接矩陣B，其階數與剛度矩陣相同，其中的元素非0即1式中，aij是剛度矩陣中的元素。B也具有帶狀的樣子。帶寬優(yōu)化有許多實用算法，有些要用到圖論或較深的數學知識。下面介紹兩種易于理解的帶寬優(yōu)化方法，它們都是采用變換鄰接矩陣中的行或列的辦法來減少剛陣帶寬的。0 00 1ijijijaab精選課件1 羅森算法羅森（Roson）算法的基本思想：找出引起B(yǎng)矩陣最大帶寬的一對頂點，取其中一個與其他頂點

12、互換，看能否減小帶寬。若可以，則進行交換。交換后，再繼續(xù)尋找引起當時B矩陣最大帶寬的一對頂點，并重復上述過程。為此，首先將B中的“頂點”序號紀錄在一個數組中，稱為“頂點表”。“頂點”是B中每一行離主對角線元素最遠的那一點。然后在頂點表中：（1）確定B矩陣的帶寬及兩個達到最大帶寬的第一對頂點。在這對頂點中，若較高編號頂點能與一低編號頂點互換以減小帶寬，則轉向（6）；精選課件（2）若較低編號頂點能與一高編號頂點互換以減小帶寬，則轉向（6）；（3）若較高編號頂點能與一低編號頂點互換二保持帶寬不變，則轉向（6）；（4）若較低編號頂點能與一高編號頂點互換而保持帶寬不變，則轉向（6）；（5）如果在（3）、

13、（4）步中已連續(xù)執(zhí)行過規(guī)定的經驗次數，或已交換過的頂點又重新選出來交換，則算法終止；否則，轉向（6）；（6）執(zhí)行所指出的頂點交換，即分別交換頂點表的對應分量以及B矩陣的行和列，并轉向（1）?？梢?，整個交換過程都在頂點表中進行。精選課件2 阿基茨厄特庫算法阿基茨(Akyuz)厄特庫(Utku)算法也在1968年提出一種減小平均帶寬的方法，簡稱AU算法。平均帶寬的定義：AU算法的基本步驟：（1）從B矩陣中取出相鄰的兩行列進行交換，并計算平均帶寬。如果滿足下列兩個條件之一，則交換有效：行的帶寬。矩陣第剛度矩陣的階數；式中inninii11 精選課件平均帶寬減少；平均帶寬保持不變，但有較多元素的行從矩

14、陣中心向外移。（2）在一個指定的交換循環(huán)內，按(1) 及(1) 執(zhí)行行列交換，其交換順序規(guī)定為(1,2), (n,n-1), (2,3), (n-1,n-2),直至中心行。（3）如果在一個循環(huán)內沒有發(fā)生交換，或經過經驗次數 次的循環(huán)而平均帶寬不減小，交換運算停止；否則，重復執(zhí)行(1)、(2)。一般來講，實用的帶寬優(yōu)化算法并不能使剛度矩陣的帶寬達到極小化，但并不影響其實用性。大型的有限元分析軟件包一般都具有帶寬極小化的功能。1003n精選課件四 模型網格的自動生成目的：檢查所生成的幾何數據的正確性。方法：根據單元數組信息（單元和單元節(jié)點關系）和節(jié)點數組信息（節(jié)點號和節(jié)點坐標關系），將相鄰節(jié)點連接

15、起來，一個單元一個單元地去形成有限元剖分網格。注意：所得結果還要消除隱藏線，否則看不清結果。這部分內容屬于計算機圖形學，在此不做討論。精選課件8-3 有限元分析的后處理有限元數據后處理的原因：1）計算結果是位移和應力；2）數據量大，不直觀。有限元數據處理工作包括兩個方面；1）數值處理 將有限元結果轉化成工程中常用的形式，或設計師熟悉的形式；2 ）圖形處理 用圖形直觀地表示設計結果，使設計結果一目了然。精選課件一 數值處理以應力分析為例。有限元位移法計算得到節(jié)點的位移，進而計算單元的應力：單元內任意一點處的應力為 。上述結果不論是數值積分點處的應力，節(jié)點處的應力，還是單元中心處的應力，也不論其精

16、度高低，都不好使用，原因是：我們需要的不是應力分量，而是主應力或等效應力。說明：單元內不同點處的應力值的精度是有差別的。一般，數值積分點處的應力值較為準確。 )(,eBDzyxzxyzxyzyx,精選課件1 主應力計算和等效應力計算工程中往往用一點的主應力 來計算或判斷結構的安全程度。對于二維問題，有限元分析可得任意一點的 ，則主應力 與它們的關系為主應力方向 321,xyyx和,21,xyyxyxxyyxyx22212222yxxy2arctan21精選課件最大剪應力和最小剪應力為對于三維應力問題，主應力可以通過求解下述三次方程得到：221minmax222322221322132 0 xy

17、zzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxIIIIII其中精選課件上式的解可表示為將 按從大到小的順序排列則 是最大主應力， 是最小主應力。2322132131221131211322792cos ,332 34cos332cos33cos3 IIIIIIIIRRIRIRI其中321,32113精選課件從理論上可以證明，三個根都是實根，因此有否則，一定是有限元計算結果有誤。主應力的方向可由以下三式中的任意兩式三式聯立，得出主應力的方向余弦1cos1- , 03221II1 000 222iiiiiziyzizxiyziiyixyizxixyiixnmlnmlnmlnml以及

18、3 , 2 , 1,inmliii精選課件上式中前兩式與第四式聯立求解的結果為令 ，即可得到 的方向余弦。212222122121212 111 xyiyixixyzxyzxiyzxyzxyxyiyixiixyzxyzxiiyzxyzxyiAAnAmAl式中3 , 2 , 1i321,精選課件另外，要核算所分析的零件強度是否足夠，還要根據一定的強度理論來計算某點的綜合應力。各種強度理論的等效應力如下：213232221xd331xd3321xd211xd21 第四強度理論第三強度理論第二強度理論第一強度理論精選課件2 應力修勻有限元保證位移在單元邊界的連續(xù)性。但是，應力在單元邊界并不連續(xù)。怎樣

19、處理計算結果才能使應力連續(xù)和直觀呢？（1）簡單平均或加權平均以三角形單元為例。三角形為常應力單元，但不同三角形單元的應力值不同。簡單平均：加權平均：有關單元面積所在單元面積節(jié)點應力值節(jié)點應力值有關單元節(jié)點應力值節(jié)點應力值精選課件（2）最小二乘法在單元內采用最小二乘法修勻應力；單元節(jié)點的應力值，取環(huán)繞該節(jié)點的不同單元的應力值的平均（簡單平均或加權平均）。單元內全應力修勻設應力向量 ，修勻后的應力向量為 ，則使A(e)達到最小。其中 )(21)(eVTedVA 用的插值函數。值函數和修勻應力時采有限元求解時的單元插節(jié)點應力值；應力值和修勻應力后的有限元求解得到的節(jié)點iiiiiiiiNNNN , 精

20、選課件根據上式是以修勻后的節(jié)點應力向量 為未知量的線性代數方程組。利用解析法或高斯積分，可以求得 ，進而利用單元應力插值，可以計算單元內任何一點的應力值。 )()()(, 2 , 1 0 , 2 , 1 0 )(eViTeienidVNniAe或 i i精選課件單元內部分應力修勻只修勻單元中我們感興趣的分量。例如，只修勻分量。這時有x)(2)(21eVxxxxedVA)()(, 2 , 1 0 )(eVixxxieiixixixiixxiixnidVNANNNNe帶入變分后的表達式函數。修勻應力時采用的插值值函數；有限元求解時的單元插值；修勻應力后的節(jié)點應力應力值；有限元求解得到的節(jié)點將精選課

21、件上式為一線性代數方程組，方程的數目為n(e)，未知量為修勻后的單元節(jié)點應力分量 。單元內應力線性外推利用單元內的數值積分點處的應力值，外推單元節(jié)點的應力值，然后再平均與節(jié)點有關的單元節(jié)點應力。對于二維四節(jié)點等參數單元，若計算單元剛度矩陣時取了 個積分點，則積分點的坐標為xi22,31,31: ,31,31:,31,31: ,31,31:DCBA精選課件帶入公式可以求出未修勻時積分點處的應力值設修勻后的應力在單元內按雙線性變化，則修勻應力為 )(,eBDzyxDCBA, iiiiNNNNNNNNN43214321432141, O1243ABCD精選課件令積分點處的應力值等于修勻后的應力值，則 PiiDCBADCBAPNNDNDNDNDNCNCNCNCNBNBNBNBNANANANAN143214321432143214321 由此可以解出：精選課件將上述求得的節(jié)點應力，再根據不同的單元節(jié)點應力值予以平均，就可得到最終的節(jié)點應力值。一般情況下，采用局部應力磨平處理，可以得到較好的結果，而計算量是很小的，所以得到廣泛的應用。應力全域磨平和子域局部應力磨平可參見清華大學王勖成編著的“有限單元法基本原理和數值方法”。二 圖形處理圖形處理使計算結果簡潔，直觀，生動。常用以下幾種方法。精選課件1 變形圖分為兩種：1）用網格表示內部變形（當外部變形不大時）；2 ）用邊界