線性代數(shù)向量及其線性運(yùn)算學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁，共54頁。第1頁/共54頁第二頁，共54頁。第2頁/共54頁第三頁，共54頁。確定飛機(jī)的狀態(tài)確定飛機(jī)的狀態(tài)(zhungti)，需，需要以下要以下6個(gè)參數(shù)：個(gè)參數(shù)：飛機(jī)飛機(jī)(fij)重心在空間的位置參數(shù)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角)20( 機(jī)身的仰角機(jī)身的仰角)22( 機(jī)翼的轉(zhuǎn)角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角)( 所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)有序數(shù)組所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)有序數(shù)組),( zyxa 第3頁/共54頁第四頁，共54頁。個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組12,na aa 12naaa 稱為一個(gè)稱為一個(gè)維向量維向量，其中稱為第個(gè)，其中稱為第

2、個(gè)分量分量. .iai 12Tnaaa ,.,TTT記作記作如：如：維向量寫成一行，稱為行矩陣維向量寫成一行，稱為行矩陣(j zhn)，也就是行向量，也就是行向量，12naaa 如：如：記作記作, , ,. .維向量寫成一列，稱為維向量寫成一列，稱為(chn wi)列矩陣，也就是列向量，列矩陣，也就是列向量，（Row VectorRow Vector）（Column VectorColumn Vector）第4頁/共54頁第五頁，共54頁。、行向量和列向量總被看作、行向量和列向量總被看作(kn zu)是兩個(gè)不同的向量；是兩個(gè)不同的向量；、當(dāng)沒有、當(dāng)沒有(mi yu)明確說明時(shí)，都當(dāng)作實(shí)的列向量

3、明確說明時(shí)，都當(dāng)作實(shí)的列向量.第5頁/共54頁第六頁，共54頁。幾何上的向量可以認(rèn)為幾何上的向量可以認(rèn)為(rnwi)是它的特殊情形，是它的特殊情形，即即n = 2, 3 且且 F 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)(shsh)域的情域的情形形.在在 n 3 時(shí)，時(shí)，n 維向維向量就沒有直觀量就沒有直觀(zhgun)的幾何意的幾何意義了義了.我們所以仍稱它為向我們所以仍稱它為向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作為特殊量，一方面固然是由于它包括通常的向量作為特殊另一方面也由于它與通常的向量一樣可以定另一方面也由于它與通常的向量一樣可以定義運(yùn)算，并且有許多運(yùn)算性質(zhì)是共同的，因而采取義運(yùn)算，并且有許多運(yùn)算性質(zhì)是共同的，

4、因而采取這樣一個(gè)幾何的名詞有好處這樣一個(gè)幾何的名詞有好處.以后我們用小寫希臘字母以后我們用小寫希臘字母 ， ， 等來代表向等來代表向量量.情形，情形，第6頁/共54頁第七頁，共54頁。第7頁/共54頁第八頁，共54頁。第8頁/共54頁第九頁，共54頁。 + = + . + ( + ) = ( + ) + .3) 3) 運(yùn)運(yùn)算算規(guī)規(guī)律律的的幾幾何何驗(yàn)驗(yàn)證證運(yùn)運(yùn)算算規(guī)規(guī)律律的的幾幾何何驗(yàn)驗(yàn)證證下下面面用用 3 維維向向量量來來驗(yàn)驗(yàn)證證向向量量加加法法的的交交換換律律和和結(jié)結(jié)合合律律.用用幾幾何何的的方方法法求求兩兩個(gè)個(gè)向向量量 ， 的的和和向向量量 + 的的步步驟驟是是：把把 的的起起點(diǎn)點(diǎn)移移到到

5、 的的終終點(diǎn)點(diǎn)，然然后后以以 的的起起點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)，以以 的的終終點(diǎn)點(diǎn)為為終終點(diǎn)點(diǎn)作作向向量量，這這個(gè)個(gè)向向量量即即為為和和向向量量.第9頁/共54頁第十頁，共54頁。顯然，對(duì)于顯然，對(duì)于(duy)所有的所有的 ，都有都有 + 0 = ， + ( - ) = 第10頁/共54頁第十一頁，共54頁。向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的顯然，數(shù)域顯然，數(shù)域 F 上的向量經(jīng)過線性運(yùn)算后，仍上的向量經(jīng)過線性運(yùn)算后，仍為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 F 上的向量上的向量.第11頁/共54頁第十二頁，共54頁。k ( + ) =k + k ,(k + l ) = k + l ,k ( l )

6、 = ( kl ) ,1 = , 0 = , (-1) = - , k = .如果如果(rgu) k 0, 0, 那么那么k 0 . 第12頁/共54頁第十三頁，共54頁。12TTTmA 其第個(gè)列向量其第個(gè)列向量(xingling)記作記作12jjjmjaaa 12nA 個(gè)維個(gè)維行向量行向量. .按行分塊按行分塊111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分塊按列分塊個(gè)維列向量個(gè)維列向量(xingling).(xingling).其第其第個(gè)個(gè)行行向量向量記作記作 12Tiiiinaaa 矩陣與向量的關(guān)系中注矩陣與向量的關(guān)系中注意什么是向量的意什么是向量的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)、什么是向量的

7、什么是向量的維數(shù)維數(shù)，二，二者必須分清者必須分清. .第13頁/共54頁第十四頁，共54頁。 若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合(jh)叫做向量組例如例如(lr)(lr) aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj212222211112111 2 j n 1 2 j n 向量組稱為矩陣向量組稱為矩陣的的列向量組列向量組. .12:,nA 對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè) 矩陣有個(gè)維矩陣有個(gè)維列向量列向量. .mn 12:,sA 記作：記作： .ior 第14頁/共54頁第十五頁，共54頁。 aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti T

8、m T1 T2 Ti Tm向量組為矩陣向量組為矩陣的的行向量組行向量組12:,TTTmA類似類似(li s)(li s)的，矩陣有個(gè)維行向量的，矩陣有個(gè)維行向量. .第15頁/共54頁第十六頁，共54頁。b 2211 xxxnn 四、線性方程組四、線性方程組AX=b的向量的向量(xingling)表示表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程組的解方程組的解x1=c1, x2=c2,., xn=cn,可以可以(ky)用用n維列向量：維列向量： x=（c1,c2,., cn)T來表示。此時(shí)稱為方程組的一個(gè)解向量。（來表示。

9、此時(shí)稱為方程組的一個(gè)解向量。（P78）第16頁/共54頁第十七頁，共54頁。例例維向量的集合是一個(gè)向量空間維向量的集合是一個(gè)向量空間, ,記作記作 . .nR,;ifVVV設(shè)為維非空向量設(shè)為維非空向量(xingling)(xingling)組，且滿足組，且滿足對(duì)加法封閉對(duì)加法封閉對(duì)數(shù)乘封閉對(duì)數(shù)乘封閉那么就稱向量組那么就稱向量組為為向量空間向量空間（Vector SpaceVector Space）,.ifVRV解解任意兩個(gè)維向量的和仍是一個(gè)維向量；任意兩個(gè)維向量的和仍是一個(gè)維向量；任意維向量乘以一個(gè)數(shù)仍是一個(gè)維向量任意維向量乘以一個(gè)數(shù)仍是一個(gè)維向量所以，所有維向量的集合構(gòu)成一個(gè)向量空間所以，所

10、有維向量的集合構(gòu)成一個(gè)向量空間. .易知該集合對(duì)加法封閉，對(duì)數(shù)乘也封閉，易知該集合對(duì)加法封閉，對(duì)數(shù)乘也封閉，第17頁/共54頁第十八頁，共54頁。第18頁/共54頁第十九頁，共54頁。向量向量)3( n解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組幾何形象幾何形象(xngxing)(xngxing)：可：可 隨隨 意意平行移動(dòng)的有向線段平行移動(dòng)的有向線段代數(shù)代數(shù)(dish)(dish)形象：向形象：向 量量 的的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)表示式 12Tnaaaa 第19頁/共54頁第二十頁，共54頁?？臻g空間)3( n解析幾何解析幾何線

11、性代數(shù)線性代數(shù)點(diǎn)空間點(diǎn)空間：點(diǎn)的集合：點(diǎn)的集合向量空間向量空間：向量的集合：向量的集合代數(shù)形象：代數(shù)形象：向量空間中的平面向量空間中的平面 dczbyaxzyxrT ),(幾何形象：幾何形象：空間直線、曲線、空間直線、曲線、空間平面或曲面空間平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP Trxyz 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)第20頁/共54頁第二十一頁，共54頁。第21頁/共54頁第二十二頁，共54頁。 12nkkkakaka 12,naaakR 規(guī)規(guī)定定(gu(guddnng)g)稱為數(shù)與向量稱為數(shù)與向量(xingling)(xingling)的數(shù)量積的數(shù)量積. .設(shè)設(shè)=k=k，那么兩個(gè)向量

12、之間是什么樣的關(guān)系？，那么兩個(gè)向量之間是什么樣的關(guān)系？引申到多個(gè)向量，關(guān)系又如何？引申到多個(gè)向量，關(guān)系又如何？第22頁/共54頁第二十三頁，共54頁。mmb 2211，使，使，一組數(shù)一組數(shù)如果存在如果存在和向量和向量給定向量組給定向量組mmbA ,: 2121的線性組合，這時(shí)稱的線性組合，這時(shí)稱是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA一定義一定義(dngy)(dngy)第23頁/共54頁第二十四頁，共54頁。若若kk，則稱向量，則稱向量(xingling)(xingling)與與成比例成比例零向量零向量(xingling)(xingling)是任一

13、向量是任一向量(xingling)(xingling)組的線性組合組的線性組合任一維向量任一維向量(xingling)(xingling) 12naaa 1100 ， 2010 ， ， 001n ，都是都是基本向量組基本向量組的一個(gè)線性組合的一個(gè)線性組合1122.nnaaa事實(shí)上，有事實(shí)上，有向量組中每一向量都可由該向量組線性表示向量組中每一向量都可由該向量組線性表示第24頁/共54頁第二十五頁，共54頁。. 2211有解有解即線性方程組即線性方程組bxxxmm 有解，有解，也就是方程組也就是方程組bAx .,21nA 其中，其中，令令x1，x2，xn分別為分別為1, 2,., n，則以上，則

14、以上(yshng)線性組合線性組合可以表示為：可以表示為：1122 mmxxxbmmb 2211第25頁/共54頁第二十六頁，共54頁。第26頁/共54頁第二十七頁，共54頁。第27頁/共54頁第二十八頁，共54頁。第28頁/共54頁第二十九頁，共54頁。.),(),( 2121的秩的秩，的秩等于矩陣的秩等于矩陣，條件是矩陣條件是矩陣線性表示的充分必要線性表示的充分必要能由向量組能由向量組向量向量bBAAbmm 定理定理(dngl)1(dngl)1例：例：，即可由向量組即可由向量組向量向量 01000103221 b3213032100 b線性表示，且為：線性表示，且為：第29頁/共54頁第三

15、十頁，共54頁。).)()(BrAr 即即 010030102001,321bbAB 因?yàn)橐驗(yàn)?第30頁/共54頁第三十一頁，共54頁。第31頁/共54頁第三十二頁，共54頁。.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有時(shí)時(shí)則則只只有有當(dāng)當(dāng)線線性性無無關(guān)關(guān)若若 nnnn 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組注意注意(zh y):定義定義(dngy)(dngy)則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)A第32頁/共54頁第三十三頁，共54頁。第33頁/共54頁第三十四頁

16、，共54頁。，到底線性相關(guān)還是無關(guān)到底線性相關(guān)還是無關(guān)，向量組向量組m 21也即齊次線性方程組也即齊次線性方程組 Ax mmxxx2121, 有 無 非 零 解 的 問 題 ，02211 mmxxx 第34頁/共54頁第三十五頁，共54頁。定理向量定理向量(xingling)(xingling)組線性無關(guān)組線性無關(guān)齊次線性方程組只有零解；齊次線性方程組只有零解；定理定理(dngl)向量組線性相關(guān)向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組有非零解.第35頁/共54頁第三十六頁，共54頁。推論推論個(gè)維向量個(gè)維向量線性相關(guān)線性相關(guān).0ija 推論推論個(gè)維向量個(gè)維向量線性無關(guān)線性無關(guān).0ija

17、 第36頁/共54頁第三十七頁，共54頁。第37頁/共54頁第三十八頁，共54頁。維維向向量量組組n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,討討論論其其線線性性相相關(guān)關(guān)性性維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組稱稱為為n解解.),( 21階單位矩陣階單位矩陣是是的矩陣的矩陣維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成neeeInn ，由由01 I例例的推論知，的推論知，及定理及定理 2無無關(guān)關(guān)。維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組線線性性n第38頁/共54頁第三十九頁，共54頁。1 1、設(shè)向量組、設(shè)向量組 130,Tk 212,Tk 3021 線性相關(guān)，則線性相

18、關(guān)，則 . .2 2、設(shè)向量組、設(shè)向量組 10,Tac 20 ,Tbc 30Tab 線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則, ,a b c必滿足必滿足 . .3 .1kor k0abc 第39頁/共54頁第四十頁，共54頁。. , , 321133322211321線線性性無無關(guān)關(guān)試試證證線線性性無無關(guān)關(guān)已已知知向向量量組組bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使設(shè)有設(shè)有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即全為零，即有全為零，即有線性無關(guān)，故系數(shù)必需線性無關(guān)，故系數(shù)必需，因因321 . 0 , 0 ,

19、0 322131xxxxxx證法證法(zhn f)第40頁/共54頁第四十一頁，共54頁。02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx 第41頁/共54頁第四十二頁，共54頁。向量組線性相關(guān)向量組線性相關(guān)至少有一個(gè)向量可由其至少有一個(gè)向量可由其余余(qy)(qy)向量線性表示向量線性表示定理定理(d(dnglngl)第42頁/共54頁第四十三頁，共54頁。第43頁/共54頁第四十四頁，共54頁。第44頁/共54頁第四十五頁，共54頁。向量組線性無關(guān)向量組線性無關(guān)(

20、wgun)(wgun)任何一個(gè)向任何一個(gè)向量都不能由其向量線性表示量都不能由其向量線性表示定理定理(dngl)(dngl)第45頁/共54頁第四十六頁，共54頁。P96 P96 例題例題(lt)9(lt)9如果如果(rgu)(rgu)向量組向量組線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則可由唯一可由唯一(wi y)(wi y)線性表示線性表示. .12,rA 12:,rB 線性無關(guān)，而向量組線性無關(guān)，而向量組證證11220rrkkkk設(shè)設(shè)線性無關(guān)，線性無關(guān)，而向量組而向量組線性相關(guān)，線性相關(guān)，（，（否則與否則與線性無關(guān)線性無關(guān)矛盾）矛盾）1122rrkkkk 1212rrkkkkkk可由可由線性線性表示表示.

21、.即有即有第46頁/共54頁第四十七頁，共54頁。下證下證唯一性唯一性：1122;rr 1122rr 兩式相減有兩式相減有 1112220rrr 線性無關(guān)線性無關(guān)(wgun)(wgun)，11220,0,0rr1122,rr 即表達(dá)式唯一即表達(dá)式唯一(wi y).(wi y).設(shè)設(shè)第47頁/共54頁第四十八頁，共54頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)(xngzh)設(shè)向量設(shè)向量(xingling)(xingling)組組12,rA ：121 :,rrB 若線性相關(guān)若線性相關(guān), ,則向量則向量(xingling)(xingling)組也線性相關(guān)；反之，若組也線性相關(guān)；反之，若向量組向量組線性無關(guān)，則向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)也線性無關(guān). .此時(shí)此時(shí)A A稱為稱為B B的一個(gè)部分組的一個(gè)部分組。第48頁/共54頁第四十九頁，共54頁。.:1 關(guān)關(guān)的的任任何何部部分分組組都都線線性性無無向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)，則則它它反反之