格林公式及應用2ppt課件

1、Gyxo 1LQdyPdx一、曲線積分與路徑無關的定義一、曲線積分與路徑無關的定義 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G G內有內有 否否則則與與路路徑徑有有關關. .二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件定理定理2.2.設設G G是單連通域是單連通域 , ,),(),(yxQyxP在在G內內具有一階連續(xù)偏導數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù),(1) 沿沿G 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有dd0.LP xQ y+=(2) 對對G 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)ddP xQ y+),(yxud ( , )d

2、du x yPxQy=+(4) 在在 G 內每一點都有內每一點都有.PQyx抖=抖ddLP xQ y+與路徑無關與路徑無關, 只與起止點有關只與起止點有關. 函數(shù)函數(shù)則以下四個條件等價則以下四個條件等價:在在 G 內是某一函數(shù)內是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 說明說明: 積分與路徑無關時積分與路徑無關時, 曲線積分可記為曲線積分可記為 證明證明: (1) (2)設設21, LL12ddddLLP xQ yP xQ y+-+蝌1ddLP xQ y=+2ddLP xQy-+12ddLLP xQ y-+=+0=AB1L2L2ddLP xQ

3、 y=+1ddLP xQ y+為為G內任意兩條由內任意兩條由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲線線,那那么么(根據(jù)條件根據(jù)條件(1)ddBAP xQ y=+ddABPxQy+定理定理2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 證明證明: (2) (3)在在G內取定點內取定點),(00yxA因曲線積分因曲線積分00( ,)(,)( , )ddx yxyu x yP xQ y=+(, )( , )xuu xx yu x yD=+ D-那那么么( ,)P xy=0limxxuuxxDD=D0lim(, )xP xx yqD=+D(,)( , )ddxx yx yP xQ y+

4、 D=+(, )( , )dxx yx yP x+ D=(, )P xx yxq=+ DD同理可證同理可證uy( , ),Q x y=因此有因此有ddduPxQy=+和任一點和任一點B( x, y ),與路徑無關與路徑無關,(, )Cxx y+D),(yxB),(00yxA有函數(shù)有函數(shù) 定理定理2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 證明證明: (3) (4)設存在函數(shù)設存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使得ddduP xQ y=+那那么么( , ),( ,)uuP x yQ x yxy抖=抖P, Q 在在 G 內具有連續(xù)的偏導數(shù)內具有連續(xù)的偏導數(shù),22uux yy x抖

5、=抖抖所以從而在從而在D內每一點都有內每一點都有PQyx抖=抖22,PuQuyx yxy x抖抖=抖抖抖定理定理2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 證明證明: (4) (1)設設L為為G中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,DD(如圖如圖) ,D 因 此 在上PQyx抖抖利用格林公式利用格林公式 , 得得dd()d dLDQQP xQ yx yxx抖+=-抖蝌DDL0=所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為證畢證畢定理定理2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 yx說明說明: 根據(jù)定理根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內若在某區(qū)域內,PQyx抖=抖那那么么2) 求曲線積分時求

6、曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求可用積分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 內的原函數(shù)內的原函數(shù):00(,)xyD及動點及動點( ,),x yD00( ,)(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy=+00( ,)dxxP x yx=或或00( , )(, )dyyu x yQ x yy=0y0 x則原函數(shù)為則原函數(shù)為0( , )dyyQ x yy+0( ,)dxxP x yx+若積分路徑不是閉曲線若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線可添加輔助線;取定點取定點1) 計算曲線積分時計算曲線積分

7、時, 可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑;定理定理2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原原積積分分與與路路徑徑無無關關.1523 積分與路徑無關積分與路徑無關xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .由由xyxy2)( cxx 2)(11000dxydy=+蝌.21 例例3. 驗證驗證22ddxyxx y y+是某個函數(shù)的全微分是某個函數(shù)的全微分, ,并求并求出這個函數(shù)出這個函數(shù). .

8、證證: 設設22,PxyQx y=那那么么2PQx yyx抖=抖由定理由定理2 可知可知, 存在函數(shù)存在函數(shù) u (x , y) 使使22ddduxyxx y y=+( , )22(0,0)( , )ddx yu x yxyxx y y=+。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x00dxxx=20dyx y y=20dyx yy+2212x y=機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例4. 驗證驗證22ddxyyxxy-+在右半平面在右半平面 ( x 0 ) ( x 0 ) 內存在內存在原函原函數(shù)數(shù), ,并求出它并求出它. . 證證: 令令2222,yxPQxyxy-=

9、+那那么么22222(0)()PyxQxxxyy-=+由定理由定理 2 可知存在原函數(shù)可知存在原函數(shù)( , )22(1,0)dd( , )x yx yy xu x yxy-=+10 dxx= -arctan(0)yxx=oxy220dyyxxy+)0 ,(x)0 , 1(),(yx三、小結三、小結與路徑無關的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件 LQdyPdxD與與路路徑徑無無關關內內在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內內存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(內內在在等等價價命命題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 設閉區(qū)域設

10、閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, , 函數(shù)函數(shù)),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)上具有一階連續(xù)偏導數(shù), ,則則有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、 設設D為 平 面 上 的 一 個 單 連 通 域為 平 面 上 的 一 個 單 連 通 域 , , 函 數(shù)函 數(shù)),(,),(yxQyxP在在D內有一階連續(xù)偏導數(shù)內有一階連續(xù)偏導數(shù), ,則則 LQdyPdx在在D內與路徑無關的充要條件是內與路徑無關的充要條件是_在在D內處處成立；內處處成立；3 3、 設設D為由分段光滑的曲線為由分段光滑的曲線L所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,其面其面積為積為 5,5,

11、又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一階連續(xù)偏上有一階連續(xù)偏導數(shù)導數(shù), ,且且1 xQ, ,1 yP, ,則則 LQdyPdx_. .練練 習習 題題二、二、 計算計算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由拋物線是由拋物線2xy 和和xy 2所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線, ,并并驗證格林公式的正確性驗證格林公式的正確性 . .三、三、 利用曲線積分利用曲線積分, ,求星形線求星形線taytax33sin,cos 所所圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積 . .四、證明曲線積分四、證明曲線積分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyx

12、y在整個在整個xoy面面內與路徑無關內與路徑無關, ,并計算積分值并計算積分值 . .五、利用格林公式五、利用格林公式, ,計算下列曲線積分計算下列曲線積分: :1 1、 Ldyyxdxyx)sin()(22其中其中L是在圓周是在圓周 22xxy 上由點上由點(0,0)(0,0)到點到點(1,1)(1,1)的一段??；的一段??；2 2、求曲線積分、求曲線積分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差. .其中其中AMB是過原點和是過原點和)1,1(A, ,)6,2(B且其對稱軸垂直于且其對稱軸垂直于x軸的拋物線上的弧段軸的拋物線上的弧段, , A

13、MB是連接是連接BA ,的線段的線段 . .六、計算六、計算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L為不經(jīng)過原點的光滑閉曲為不經(jīng)過原點的光滑閉曲 線線 .( .(取逆時針方向取逆時針方向) )七、驗證七、驗證yxxdxxyyx23228()83( dyyey)12 在整在整個個xoy平面內是某一函數(shù)平面內是某一函數(shù)),(yxu的全微分的全微分, ,并求這并求這樣一個樣一個),(yxu. .八八、試試確確定定 , ,使使得得dyryxdxryx 22 是是某某個個函函數(shù)數(shù)),(yxu的的全全微微分分, ,其其中中22yxr , ,并并求求),(yxu. .九九、設設在在半半平平面面0 x內內有有力力)(3jyixrkF 構構成成力力場場, ,其其中中k為為常常數(shù)數(shù), , 22yxr . .證證明明在在此此力力場場中中場場力力所所作作的的功功與與所所取取的的路路徑徑無無關關 . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、 LdyQPdx； 2 2、xQyp ； 3 3、10.10.三、三、301. . 四、四、283a . . 五、五、236.236.六、六、1 1、2sin4167 ；