教學(xué)目的掌握解非線性方程組的二分法和插值法ppt課件

1、第六章非線性方程組的迭代解法 教學(xué)目的教學(xué)目的 1. 掌握解非線性方程組的二分法和插值法；掌握解非線性方程組的二分法和插值法； 2. 掌握解非線性方程組的普通迭代法及有關(guān)收斂性掌握解非線性方程組的普通迭代法及有關(guān)收斂性的證明與牛頓法；的證明與牛頓法； 3. 掌握解非線性方程組的牛頓法掌握解非線性方程組的牛頓法 4. 了解加速收斂的方法。了解加速收斂的方法。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)是解非線性方程組的牛頓法；重點(diǎn)是解非線性方程組的牛頓法；難點(diǎn)是迭代法的收斂性的證明。難點(diǎn)是迭代法的收斂性的證明。 第第6章章 非線性方程和方程組非線性方程和方程組的數(shù)值解法的數(shù)值解法第六章非線性方程組的迭代解

2、法 第第6章章 非線性方程和方程組非線性方程和方程組的數(shù)值解法的數(shù)值解法思索兩環(huán)節(jié)機(jī)器人手臂定位問題。設(shè)兩節(jié)臂思索兩環(huán)節(jié)機(jī)器人手臂定位問題。設(shè)兩節(jié)臂長(zhǎng)分別為長(zhǎng)分別為d1和和d2，如圖，如圖6-1所示，第一臂與程度所示，第一臂與程度方向所成的角為，第二臂與第一臂所成的角方向所成的角為，第二臂與第一臂所成的角為。問題是求和，使第二臂的端點(diǎn)為。問題是求和，使第二臂的端點(diǎn)位于適當(dāng)?shù)奈恢?，比如其坐?biāo)為位于適當(dāng)?shù)奈恢茫热缙渥鴺?biāo)為 21, ppxy2d1d 圖圖6-1普通的非線性方程組可寫成F(x)=0,其中F和x都是n維向量，或?qū)懗善渲校兄辽儆幸粋€(gè)是 的非線性函數(shù)。當(dāng)n=1時(shí)，就是單個(gè)的方程f(x)=

3、0。非線性方程和方程組的求解是工程和科學(xué)領(lǐng)域中最常見的問題。下面舉一個(gè)例子：, n, 2 , 1, 0),(21 ixxxfninfff,21 12,nx xx第六章非線性方程組的迭代解法 則有和點(diǎn)坐標(biāo)分別為設(shè)第一臂和第二臂的端),(),(2211yxyx這樣，我們的問題是要解以下方程組這樣，我們的問題是要解以下方程組121222coscos()sinsin()ddpddp的非線性方程組。和顯然，這是一個(gè)關(guān)于1111c o s,sin.xdyd212212c o s(),sin ().xxdyyd第六章非線性方程組的迭代解法 與線性方程組不同，除特殊情況外，求解非線性方程不能用直與線性方程組不

4、同，除特殊情況外，求解非線性方程不能用直接法求數(shù)值解，而是要用迭代法。迭代法的根本問題是收斂性、收接法求數(shù)值解，而是要用迭代法。迭代法的根本問題是收斂性、收斂速度和計(jì)算效率。斂速度和計(jì)算效率。對(duì)于線性方程組，如前所述，假設(shè)某迭代法收斂，那么取任何對(duì)于線性方程組，如前所述，假設(shè)某迭代法收斂，那么取任何初值都收斂。但是，對(duì)于非線性方程，不同的初值能夠有不同的收初值都收斂。但是，對(duì)于非線性方程，不同的初值能夠有不同的收斂性態(tài)，有的初值使迭代收斂，有的那么不收斂。普通說來，為使斂性態(tài)，有的初值使迭代收斂，有的那么不收斂。普通說來，為使迭代法收斂，初值應(yīng)取在解的附近。迭代法收斂，初值應(yīng)取在解的附近。0.

5、0111 axaxaxannnn我們先詳細(xì)討論單個(gè)方程的情形，其中有一類是形如我們先詳細(xì)討論單個(gè)方程的情形，其中有一類是形如的代數(shù)方程。當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方程。當(dāng) 時(shí)，其根是不能用加、減、乘、除和開方時(shí)，其根是不能用加、減、乘、除和開方的有限次運(yùn)算公式表示的，所以代數(shù)方程的解法也主要是迭代法。的有限次運(yùn)算公式表示的，所以代數(shù)方程的解法也主要是迭代法。5 n第六章非線性方程組的迭代解法 ,0)(),()()(* xgxgxxxfm0)(, 0)(.)( )(*)(*)1(* xfxfxfxfmm方程的數(shù)值解法的收斂性，也與方程根的重?cái)?shù)有關(guān)。對(duì)于普通的函數(shù)，假設(shè)有,)(baCxf 其中其中m為正整數(shù)，我們稱

6、是為正整數(shù)，我們稱是f(x)的的m重零點(diǎn)，或稱是方程重零點(diǎn)，或稱是方程f(x)=0的的m重根。顯然，假設(shè)是重根。顯然，假設(shè)是f(x)的的m重零點(diǎn)，且重零點(diǎn)，且g(x)充分光滑，那么充分光滑，那么有有 x x x當(dāng)當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，f(x)在點(diǎn)處變號(hào)，當(dāng)在點(diǎn)處變號(hào)，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，f(x)在點(diǎn)處不變號(hào)。在點(diǎn)處不變號(hào)。 x x第六章非線性方程組的迭代解法 6.1方程求根的二分法方程求根的二分法(),()()0,()0,fxCa bfafbfxa ba b設(shè)若則 方 程在內(nèi) 至 少 有 一 個(gè) 根 ， 稱為 方 程 的 有 根 區(qū) 間 。 通 過 縮 小 有 根 區(qū) 間 ，我 們 可

7、以 形 成 方 程 求 根 的 數(shù) 值 解 法 。下 面 我 們 給 出 方 程 求 根 的 二 分 法 。00,()()0,nnnnnaba babxfafx設(shè)為 有 限 區(qū) 間 ，的 中 點(diǎn) 是若 有則 令 新 的 有 根 區(qū) 間第六章非線性方程組的迭代解法 1111,()()0 ,nnnnnnnnnnabaxfafxabxb若， 則 令。 這 樣 ， 若 反 復(fù) 二 分 下 去 ，即 可 得 出 一 系 列 有 限 區(qū) 間 。，.,.,2211nnbabababa,kkab其 中 每 個(gè) 區(qū) 間 都 是 前 一 個(gè) 區(qū) 間 的 一 半 。因 此 ，的 長(zhǎng) 度0()2kkkbabak .第

8、六章非線性方程組的迭代解法 由此可見，假設(shè)二分過程能無限地繼續(xù)下去，這些區(qū)間最終必收斂于一點(diǎn) 該點(diǎn)顯然就是所求的根。,*x*,() / 2kkkkkkabxabxx每 次 二 分 之 后 ， 設(shè) 去 有 限 區(qū) 間的 中 點(diǎn) ，作 為 根 的 近 似 值 ， 則 在 二 分 過程 中 可 以 獲 得 一 個(gè) 近 似 根 的 序 列， 該 序 列必 以 根為 極 限 。在 實(shí) 際 計(jì) 算 時(shí) ， 我 們 不 可 能 完 成 這 個(gè) 無 限 過 程 ，其 實(shí) 也 沒 有 這 種 必 要 ， 因 為 數(shù) 值 分 析 的 結(jié) 果允 許 帶 有 一 定 的 誤 差 。 由 于第六章非線性方程組的迭代解法

9、 ,221*kkkkababxx*,kkxx只 要 二 分 足 夠 多 次 （ 即充 分 大 ） ， 則 有這 里位 預(yù) 定 的 精 度 。36.1( )1011.5fxxx例求 方 程在 區(qū) 間 ，內(nèi) 的 一 個(gè)實(shí)根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后的第實(shí)根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后的第2位。位。1,1 .5 ,()0 ,()0,abfafbab解這 里。 取的,0)(,25.100 xfbax二等分，由于將區(qū)間中點(diǎn)第六章非線性方程組的迭代解法 0010111()()1.25,1.5,61fafxxaxbbab即與同 號(hào) ， 故 在的 右 側(cè) 有 方 程 的 一 個(gè)實(shí) 根 ， 這 時(shí) ， 令而 新 的有 限 區(qū)

10、 間 為。 二 分 過 程 可 如 此 反 復(fù) 下 去計(jì) 算 結(jié) 果 如 表。k)(kkkkxfxba1.32031.32811.3242-1.31251.32811.3203+1.31251.34381.3281-1.31251.3751.3438+1.251.3751.3125-1.251.51.375+11.51.25-6543210表表6-1 第六章非線性方程組的迭代解法 1() / 20.005kba我 們 現(xiàn) 在 預(yù) 估 所 要 二 的 次 數(shù) 。 令可與實(shí)際計(jì)算結(jié)果相符。次就能達(dá)到預(yù)定的精度既二分得,005.06,66*xxk 上述二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，而且在有限區(qū)間內(nèi)，收斂性總能得到保證。值得留意的是，為了求出足夠準(zhǔn)確的近似解，往往需求計(jì)算很多次函數(shù)值，是一種收斂較慢的方法，通常用求根的粗略近似值，把它作為后面要討論的迭代法的初始值。另一方面，二分法只運(yùn)用于求一元方程的奇數(shù)重實(shí)根。 第六章非線性方程組的迭代解法 在二分法中，是逐次將有根區(qū)間折半。更普通地是，從有限區(qū)間的左端點(diǎn)出發(fā)，按預(yù)定的步長(zhǎng)h一步一步地向右跨，每跨一步進(jìn)展