高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用（含解析）

1、第四節(jié)函數(shù)ysin(x)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用知識(shí)能否憶起一、yAsin(x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A>0，>0)，x0，)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相ATfx二、用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示:xx02yAsin(x)0A0A0三、函數(shù)ysinx的圖象變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象的步驟小題能否全取1函數(shù)ysin的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是()Ax0BxCxDx2解析:選C由k得x2k(kZ)故x是函數(shù)ysin的一條對(duì)稱軸2(教材習(xí)題改編)已知簡諧運(yùn)動(dòng)f(x)2sin的圖象經(jīng)過

2、點(diǎn)(0,1)，則該簡諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相分別為()AT6，BT6，CT6，DT6，解析:選A最小正周期為T6；由2sin1，得sin，.3(2012·安徽高考)要得到函數(shù)ycos(2x1)的圖象，只要將函數(shù)ycos2x的圖象()A向左平移1個(gè)單位B向右平移1個(gè)單位C向左平移個(gè)單位D向右平移個(gè)單位解析:選Cycos(2x1)cos2，只要將函數(shù)ycos2x的圖象向左平移個(gè)單位即可4用五點(diǎn)法作函數(shù)ysin在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，主要確定的五個(gè)點(diǎn)是_、_、_、_、_.答案:5函數(shù)yAsin(x)(A，為常數(shù)，A>0，>0)在閉區(qū)間，0上的圖象如圖所示，則_.解析:觀察函數(shù)圖

3、象可得周期T，則T，所以3.答案:31.確定yAsin(x)k(A>0，>0，|<)中的參數(shù)的方法:在由圖象求解析式時(shí)，若最大值為M，最小值為m，則A，k，由周期T確定，即由T求出，由特殊點(diǎn)確定2由ysinx的圖象變換到y(tǒng)Asin(x)的圖象，兩種變換的區(qū)別:先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(>0)個(gè)單位原因在于相位變換和周期變換全是針對(duì)x來說，即x本身加減多少值，而不是于x加減多少值函數(shù)yAsin(x)的圖象典題導(dǎo)入例1已知函數(shù)f(x)3sin，xR.(1)畫出函數(shù)f(x)在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的

4、簡圖；(2)將函數(shù)ysin x的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象？自主解答(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連接，得到一個(gè)周期的簡圖(2)先把ysin x的圖象向右平移個(gè)單位，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到f(x)的圖象由題悟法函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的圖象的作法(1)五點(diǎn)法：用“五點(diǎn)法”作yAsin(x)的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)zx，由z取0，2來求出相應(yīng)的x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象(2)圖象變換法：由函數(shù)ysin x的圖象通過變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象

5、，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”以題試法1(2012·江西省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)把函數(shù)ysin圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再將圖象向右平移個(gè)單位，那么所得圖象的一條對(duì)稱軸方程為()AxBxCx Dx解析：選A依題意得，經(jīng)過圖象變換后得到的圖象相應(yīng)的解析式是ysinsincos 2x，注意到當(dāng)x時(shí)，ycos()1，此時(shí)ycos 2x取得最大值，因此直線x是該圖象的一條對(duì)稱軸.求函數(shù)yAsin(x)的解析式典題導(dǎo)入例2(2011·江蘇高考)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A0，0)的部分圖象如圖所示，則f(0)的值是_自主解答由圖可知：

6、A，所以T，2，又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以2×，則，故函數(shù)的解析式為f(x)sin，所以f(0)sin.答案若本例函數(shù)的部分圖象變?yōu)槿鐖D所示，試求f(0)解：由圖知A5，由，得T3，.此時(shí)y5sin.將最高點(diǎn)坐標(biāo)代入y5sin，得5sin5，2k，2k(kZ)f(x)5sin，f(0)5sin.由題悟法確定yAsin(x)b(A>0，>0)的步驟和方法(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，b.(2)求，確定函數(shù)的周期T，則可得.(3)求，常用的方法有：代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，b已知)或代入圖象與直線yb的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是

7、在下降區(qū)間上)五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí)x；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)x；“第五點(diǎn)”時(shí)x2(如例2)以題試法2(1) (2012·浙江金華模擬)已知函數(shù)f(x)Asin(x)的圖象與y軸交于點(diǎn)(0，)，在y軸右邊到y(tǒng)軸最近的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，則不等式f(x)>1的解集是()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：選D依題意A2,2sin 且|<，則，由2sin2得，則2，由f(x)2sin>1，得

8、2k<2x<2k(kZ)，所以k<x<k(kZ)(2)(2012·長春調(diào)研)函數(shù)ycos(x)(>0,0<<)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，A、B分別為最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，且AB2，則該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為()AxBxCx2 Dx1解析：選D由ycos(x)為奇函數(shù)知k，其中kZ.又0<<，所以，則ycossin x.由AB2知 2，所以T4，得，ysin .結(jié)合選項(xiàng)知當(dāng)x1時(shí)，ysin 1，此時(shí)函數(shù)ysin取得最小值，因此該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為x1.函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用典題導(dǎo)入例3已知函數(shù)f(x)As

9、in(x)的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x0,2)和(x02，2)(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的增區(qū)間；(3)若x，求f(x)的值域自主解答(1)由圖象知A2，由2得T4，所以.f(x)2sin，f(0)2sin 1，又|<，f(x)2sin，由f(x0)2sin2，x02k，x04k，kZ，又(x0,2)是y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)，x0.(2)由2kx2k，kZ得4kx4k，所以f(x)的增區(qū)間為，kZ.(3)x，x，sin1，f(x)2，所以f(x)的值域?yàn)椋?由題悟法利用三角函數(shù)圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之

10、間的距離為三角函數(shù)的個(gè)最小正周期，可求解參數(shù)的值，利用圖象的最高點(diǎn)、低點(diǎn)為三角函數(shù)最值點(diǎn)，可求解參數(shù)A的值在求函數(shù)值域時(shí)，由定義域轉(zhuǎn)化成x的范圍，即把x看作一個(gè)整體，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象求解以題試法3函數(shù)f(x)Asin1(A>0，>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)，則f2，求的值解：(1)因?yàn)锳13，所以A2.又因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰對(duì)稱軸之間的距離為半個(gè)周期，所以，得T，所以2，所以f(x)2sin1.(2)因?yàn)閒2sin12，所以sin.因?yàn)?<<，所以<<，所以，所以.1函數(shù)ycos x(xR)的圖

11、象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)yg(x)的圖象，則g(x)的解析式應(yīng)為()Asin xBsin xCcos x Dcos x解析：選A由圖象的平移得g(x)cossin x.2(2012·濰坊模擬)將函數(shù)ycos 2x的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)yf(x)·sin x的圖象，則f(x)的表達(dá)式可以是()Af(x)2cos x Bf(x)2cos xCf(x)sin 2x Df(x)(sin 2xcos 2x)解析：選B 平移后的函數(shù)解析式是ycos 2sin 2x2sin xcos x，故函數(shù)f(x)的表達(dá)式可以是f(x)2cos x.3(2012·天津高考)

12、將函數(shù)f(x)sin x(其中>0)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值是()A. B1C. D2解析：選D將函數(shù)f(x)sin x的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為f(x)sin sin.又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)，所以sinsin0，所以k，即2k(kZ)，因?yàn)?gt;0，所以的最小值為2.4.(2012·海淀區(qū)期末練習(xí))函數(shù)f(x)Asin(2x)(A>0，R)的部分圖象如圖所示，那么f(0)()A BC1 D解析：選C由圖可知，A2，f2，2sin2，sin1，2k(kZ)，2k(kZ)，f(0)2sin 2sin2×1.5.

13、(2013·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(>0)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()A.B.C. D.解析：選D由函數(shù)的圖象可得T，T，則2，又圖象過點(diǎn)，2sin2，2k，kZ，f(x)2sin，其單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ，取k0，即得選項(xiàng)D.6.(2012·濰坊模擬)如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針尖位置P(x，y)若初始位置為P0，當(dāng)秒針從P0(注：此時(shí)t0)正常開始走時(shí)，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為()Aysin BysinCysin Dysin解析：選C由題意可得，函數(shù)的初相位是，排除B、

14、D.又函數(shù)周期是60(秒)且秒針按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即T60，所以|，即.7.(2012·南京模擬)已知函數(shù)f(x)Atan(x)，yf(x)的部分圖象如圖，則f_.解析：由題中圖象可知，此正切函數(shù)的半周期等于，即周期為，所以，2.由題意可知，圖象過定點(diǎn)，所以0Atan，即k(kZ)，所以，k(kZ)，又|，所以，.再由圖象過定點(diǎn)(0,1)，得A1.綜上可知，f(x)tan.故有ftantan.答案：8.(2012·成都模擬)如圖，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離s(cm)和時(shí)間t(s)的關(guān)系式為s6sin，那么單擺來回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為_s.解析：單擺來回?cái)[動(dòng)一次

15、所需的時(shí)間即為一個(gè)周期T1.答案：19給出下列六種圖象變換方法：(1)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的；(2)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍；(3)圖象向右平移個(gè)單位；(4)圖象向左平移個(gè)單位；(5)圖象向右平移個(gè)單位；(6)圖象向左平移個(gè)單位請(qǐng)用上述變換中的兩種變換，將函數(shù)ysin x的圖象變換到函數(shù)ysin的圖象，那么這兩種變換正確的標(biāo)號(hào)是_(要求按變換先后順序填上一種你認(rèn)為正確的標(biāo)號(hào)即可)解析：ysin xysinysin，或ysin xysinxysinsin.答案：(4)(2)(或(2)(6)10(2012·蘇州模擬)已知函數(shù)yAsin(x)n

16、的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x是其圖象的一條對(duì)稱軸，若A>0，>0,0<<，求函數(shù)的解析式解：由題意可得解得又因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以4.由直線x是一條對(duì)稱軸可得4×k(kZ)，故k(kZ)，又0<<，所以.綜上可得y2sin2.11設(shè)函數(shù)f(x)cos(x)的最小正周期為，且f.(1)求和的值；(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在0，上的圖象解：(1)周期T，2，fcoscossin ，<<0，.(2)f(x)cos，列表如下：2x0x0f(x)1010圖象如圖：12已知函數(shù)f(x)2sincossin (x)(

17、1)求f(x)的最小正周期；(2)若將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，上的最大值和最小值解：(1)因?yàn)閒(x)sinsin xcos xsin x22sin，所以f(x)的最小正周期為2.(2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，g(x)f2sin2sin.x0，x，當(dāng)x，即x時(shí)，sin1，g(x)取得最大值2.當(dāng)x，即x時(shí)，sin，g(x)取得最小值1.1(2012·江西九校聯(lián)考)已知A，B，C，D是函數(shù)ysin(x)一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，A，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)

18、稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在x軸上的投影為，則，的值為()A2， B2，C， D，解析：選A由在x軸上的投影為，知OF，又A，所以AF，所以2.同時(shí)函數(shù)圖象可以看做是由ysin x的圖象向左平移而來，故可知，即.2已知f(x)sin，g(x)cos，則下列結(jié)論中正確的是()A函數(shù)yf(x)·g(x)的周期為2B函數(shù)yf(x)·g(x)的最大值為1C將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到g(x)的圖象D將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到g(x)的圖象解析：選Df(x)sincos x，g(x)coscossin x，yf(x)·g(x)cos x·sin

19、 xsin 2x.T，最大值為，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤又f(x)cos xg(x)cos選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確3為迎接夏季旅游旺季的到來，少林寺單獨(dú)設(shè)置了一個(gè)專門安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的一些食物有些月份剩余不少，浪費(fèi)很嚴(yán)重，為了控制經(jīng)營成本，減少浪費(fèi)，就想適時(shí)調(diào)整投入為此他們統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來客棧入住的游客人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多(1)試用一個(gè)正弦型三角函數(shù)描述一年中入住

20、客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系；(2)請(qǐng)問哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物？解：(1)設(shè)該函數(shù)為f(x)Asin(x)B(A>0，>0，0<|<)，根據(jù)條件，可知這個(gè)函數(shù)的周期是12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)400，故該函數(shù)的振幅為200；由可知，f(x)在2,8上單調(diào)遞增，且f(2)100，所以f(8)500.根據(jù)上述分析可得，12，故，且解得根據(jù)分析可知，當(dāng)x2時(shí)f(x)最小，當(dāng)x8時(shí)f(x)最大，故sin1，且sin1.又因?yàn)?<|<，故.所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系式為f(x)200sin300.(2)由條件可知，200si