第四章 穩(wěn)定性分析——Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)(4-3)B

1、1 第四節(jié)第四節(jié) Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)基本思想：基本思想：利用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性判別閉 環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)2 一、預(yù)備知識(shí)一、預(yù)備知識(shí)幅角定理幅角定理 幅角定理：幅角定理： F(s)是s的單值有理函數(shù)，在s平面上任一閉合路徑包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，并且不經(jīng)過(guò)F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)s沿閉合路徑順時(shí)針順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一圈時(shí)，映射到F(s)平面內(nèi)的F(s)曲線(xiàn)順時(shí)針繞原順時(shí)針繞原點(diǎn)（點(diǎn)（Z P）圈）圈。即 N=Z-PN=Z-P （或逆時(shí)針逆時(shí)針繞原點(diǎn)N= P - Z圈）其中：N為圈數(shù) 逆時(shí)針為正， 順時(shí)針為負(fù)。3二、奈魁斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、奈魁斯特穩(wěn)定性判據(jù)1、

2、線(xiàn)性系統(tǒng)的特征方程、線(xiàn)性系統(tǒng)的特征方程運(yùn)動(dòng)方程一般形式： r(t)輸入 c(t)輸出特征方程系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為：比較得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程（閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母0） c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011 -n1 -n1 -n1 -nnnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)dbdtr(t)db011 -m1 -m1 -m1 -mmmmm+_ _( )R s( )C s( )H s( )B s( )E s( )G sG(s)H(s)1G(s)R(s)C(s)011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsbR(s)C(s)0asasasa011n1nn

3、n0asasasaG(s)H(s)1F(s)011n1nnn4 2 2奈氏路徑奈氏路徑 令：令： 順時(shí)針?lè)较蝽槙r(shí)針?lè)较虬鼑麄€(gè)s右半平面。當(dāng)F(s)有若干個(gè)極點(diǎn)處于s平面虛軸（包括原點(diǎn)）上時(shí)，則以這些點(diǎn)為圓心，作半徑為無(wú)窮小的半圓，按逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)较蚍较驈挠覐挠覀?cè)繞過(guò)側(cè)繞過(guò)這些點(diǎn)。 jj1j1j( )F s的極點(diǎn)Rj 0j0js平面jjjjjs005 3. 3. 奈氏判據(jù)奈氏判據(jù) 設(shè)： 閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式 顯然：顯然：F(s) 的的零點(diǎn)零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)極點(diǎn)。 (1) (1) 1 1G(S)H(S)G(S)H(S)平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 假如s沿著奈氏路

4、徑繞一圈，根據(jù)幅角定理，F(xiàn)(s)平面上繪制的F(s)曲線(xiàn)F 逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)原點(diǎn)的圈數(shù)N則為F(s)在s右半開(kāi)平面內(nèi)極點(diǎn)個(gè)數(shù)P與的零點(diǎn)個(gè)數(shù)Z之差： N= P - Z 當(dāng)Z=0 即（N= P ）時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)極點(diǎn)在 s 右半開(kāi)平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。 sHsGSF16（2 2）G(s)H(s)G(s)H(s)平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析-奈氏判據(jù)奈氏判據(jù) 因?yàn)?+ G(s)H(s) 與G(s)H(s) 之間相差1，所以系統(tǒng)的穩(wěn)定性可表達(dá)成： 奈氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：奈氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：s s沿著奈氏路徑繞一沿著奈氏路徑

5、繞一圈，圈，G(j)H(j)G(j)H(j)曲線(xiàn)逆時(shí)針繞（曲線(xiàn)逆時(shí)針繞（-1-1，j0j0）點(diǎn)的點(diǎn)的P P圈圈（N= P ）。 P P為為G(s)H(s)G(s)H(s)位于位于s s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 a.若P=0，且 N=0，即曲線(xiàn)不包圍（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系 統(tǒng)穩(wěn)定； b.若P0，且N=P，即曲線(xiàn)逆時(shí)針繞（-1，j0）點(diǎn)P圈，則閉 環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 不穩(wěn)定系統(tǒng)分布在s右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù)可按下式求取： Z=PN c.若曲線(xiàn)通過(guò)（-1，j0）點(diǎn)L次，則說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)有L個(gè)極點(diǎn) 分布在s平面的虛軸上。7例例: 一系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解

6、：本系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性 當(dāng) 變化時(shí)，系統(tǒng)的幅相曲線(xiàn)如圖所示。 因?yàn)橄到y(tǒng)有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于s的右半平面，即：P=1。 圖中奈氏曲線(xiàn)是逆時(shí)針?lè)较蚰鏁r(shí)針?lè)较蚶@（-1，j0）點(diǎn)的1圈，即 N=1。根據(jù)奈氏判據(jù), 閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點(diǎn)數(shù) Z=P-N=1-1=0 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。0)a ( 1)()(sasHsG1)()(jajHjGjjjj00210 ReIm8 繪繪畫(huà)乃氏曲線(xiàn)過(guò)程中：畫(huà)乃氏曲線(xiàn)過(guò)程中： 當(dāng)s從-j0轉(zhuǎn)到+j0時(shí)，G(s)H(s)的奈氏曲線(xiàn)以半徑為無(wú)窮大，順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò) 。 當(dāng) s 沿奈氏曲線(xiàn)從+j到 - j時(shí)，對(duì)nm的系統(tǒng)，G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲線(xiàn)以無(wú)窮小半徑，繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)（

7、 n - m）。 9例：例： 一系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解：解： 先作+j 0到+j時(shí)的G(j)H(j)曲線(xiàn)。再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，作出-j 0到-j時(shí)的G(j)H(j)曲線(xiàn)。 0)k ( )1()1()()(1sssKsHsG ) 1() 1()()(1jjjKjHjGImRe2K1 01001K10 當(dāng) 時(shí)， s從- j0轉(zhuǎn)到+j0，G(j)H(j) 曲線(xiàn)以半徑為無(wú)窮大，順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角（圖中虛線(xiàn)）。并可求得， = 1時(shí)，G(j)H(j)與實(shí)軸交 。從圖可見(jiàn)，G(s)H(s)的奈氏曲線(xiàn)順時(shí)針繞 ( -1, j0 ) 點(diǎn)一圈，N = -1，又因?yàn)镻 =0，所以 Z = P - N=1

8、，說(shuō)明為不穩(wěn)定系統(tǒng)，有一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s的右半平面。11KImRe2K101001K11 3 3。一種簡(jiǎn)易的奈氏判據(jù)。一種簡(jiǎn)易的奈氏判據(jù) （1）正、負(fù)穿越的概念 G(j)H(j)曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)實(shí)軸。應(yīng)用中只畫(huà) 部分。所謂“穿越”是指 軌跡穿過(guò) 段。正穿越正穿越：從上而下穿過(guò)該段一次（相角增加），用 表示。負(fù)穿越：負(fù)穿越：由下而上穿過(guò)該段一次（相角減少），用 表示。 正穿越正穿越 負(fù)穿越負(fù)穿越N 0N),1(122N1N13 若G(j)H(j)軌跡起始或終止于 (-1, j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。14 如果G(j)H(j)按逆時(shí)針?lè)较蜱t(-1, j

9、0) 一周，則必正穿越一次。反之，若按順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)(-1, j0) 一周，則必負(fù)穿越一次。這種正負(fù)穿越之和即為G(j)H(j)包圍的圈數(shù)。故奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)又可表述為： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng) 由由0變化到變化到 時(shí)，時(shí)，G(j)H(j)曲線(xiàn)在（曲線(xiàn)在（-1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸 上的正負(fù)穿越之和為上的正負(fù)穿越之和為 P/2 圈。圈。 P為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。此時(shí) Z=P-2N 若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)極點(diǎn)分布在S右半平面，即 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是N=0： 注意：這里對(duì)應(yīng)的變化范圍是 。00P15

10、 例例: 某系統(tǒng)G(j)H(j)軌跡如下，已知有2個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解：系統(tǒng)有2個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面（P=2），G(j)H(j)軌跡在點(diǎn)(-1, j0)以左的負(fù)實(shí)軸有2次正穿越，1次負(fù)穿越，因?yàn)椋篘= , 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。.112NN2P16 例例: 兩系統(tǒng)取一半奈氏曲線(xiàn)，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解解: (a) : N= N+ - N =（0-1）= -1，且已知P =0，所以 Z=P-2N=2 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (b) ：K1時(shí)，N= N+ - N - =1-1/2= -1/2，且已知P=1，所以 Z= P-2N=0，閉

11、環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； K0db時(shí)相頻特性曲線(xiàn)自下而上（或自上而下）地穿越-180線(xiàn)。ImRe0 ( 1,0)j()()GjHj()L( ) dB00c18 參照極坐標(biāo)中奈氏判據(jù)的定義，對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的奈判據(jù)可表述如下： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng) 由由0變到變到 時(shí)，時(shí)，在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性 的頻段內(nèi)，相頻特性的頻段內(nèi)，相頻特性 穿越的次數(shù)（正穿越穿越的次數(shù)（正穿越 與負(fù)穿越與負(fù)穿越 次數(shù)之差）次數(shù)之差）為為 。 P為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)極點(diǎn)分布在S右半平面，即 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在 的頻

12、段內(nèi)，的頻段內(nèi)，相頻特性相頻特性 在在 線(xiàn)上正負(fù)穿越次數(shù)代數(shù)和為零。或者不穿越 線(xiàn) 。0)(L)(NN2P0P0)(L)(19例：某系統(tǒng)有兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在S右半平面（P=2） N+- N-=1-2= -1 不等于P/2（=1） 所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。)(L0)(2P20 人們常用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性人們常用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性G(j)H(j)與與GH平面平面 上與（上與（-1，j0）點(diǎn)的靠近程度來(lái)表征閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定點(diǎn)的靠近程度來(lái)表征閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。一般來(lái)說(shuō)，程度。一般來(lái)說(shuō)，G(j)H(j)離開(kāi)（離開(kāi)（-1，j0）點(diǎn)越遠(yuǎn)，點(diǎn)越遠(yuǎn)，則穩(wěn)定程度越高；反之，穩(wěn)定程度越低。則穩(wěn)定程度越高；反之，穩(wěn)定程度越低。 一

13、、相位裕量相位裕量 增益剪切頻率增益剪切頻率 ：是指開(kāi)環(huán)頻率特性：是指開(kāi)環(huán)頻率特性(j)H(j）的幅值等于的幅值等于1時(shí)的頻率，即時(shí)的頻率，即 在控制系統(tǒng)的增益剪切頻率在控制系統(tǒng)的增益剪切頻率c上，使閉環(huán)系統(tǒng)上，使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相移（超前或遲后相達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相移（超前或遲后相移）量，稱(chēng)為系統(tǒng)的相位裕量，記作移）量，稱(chēng)為系統(tǒng)的相位裕量，記作。c1)()(ccjHjG21 （a） （b） 相位裕量： = 當(dāng)0時(shí)，相位裕量為正，系統(tǒng)穩(wěn)定； 當(dāng)0）上，開(kāi)環(huán)頻率特上，開(kāi)環(huán)頻率特性的倒數(shù)，稱(chēng)為控制系統(tǒng)的增量裕量，記作性的倒數(shù)，稱(chēng)為控制系統(tǒng)的增量裕量，記作Kg，即即以分貝表示時(shí)以分貝表示時(shí) Kg大于大于1，則增益裕量為正值，系統(tǒng)穩(wěn)定。，則增益裕量為正值，系統(tǒng)穩(wěn)定。