實驗三,四連續(xù)時間傅立葉級數

1、實驗三 連續(xù)時間傅立葉級數 成諧波關系的復指數信號就是它們的頻率互為整數倍的信號，傅立葉級數將周期信號表示成諧波關系的復指數信號的加權和,如（3.1）和（3.2）式。因為復指數信號是LTI系統的特征函數。所以這種表示能夠直接計算在一給定周期輸入下一個系統的輸出. （3.1） （3.2）§3.1 連續(xù)時間傅立葉級數的性質目的 本練習要檢驗連續(xù)時間傅立葉級數（CTFS）的性質。相關信號考慮信號，式中。x=sym('cos(w*t)+sin(2*w*t)');>> x1=subs(x,2*pi,'w');>> ezplot(x1,-1

2、:1);>>x=sym('cos(w*t)+sin(2*w*t)');x1=subs(x,2*pi,'w');syms t;n=-6:6Fn=int(x1*exp(-i*n*2*pi*t),0,1);F=abs(Fn);F=double(F);stem(n,F); 中等題1滿足的最小周期T是多少？利用這個值，用定義求的CTFS系數。2考慮信號，利用CTFS的時間倒置和共軛性質求的CTFS系數。syms t;x=sym('cos(2*pi*t)+sin(2*2*pi*t)');x1=subs(x,'-t','t&

3、#39;);y=x+x1;n=-6:6;Fn=int(y*exp(-1i*n*2*pi*t),0,1);F=abs(Fn);F=double(F);stem(n,F);3在上畫出信號。能預計出什么樣的對稱性？能夠利用CTFS的對稱性說明它嗎？>> syms t;x=sym('cos(2*pi*t)+sin(2*2*pi*t)');x1=subs(x,'-t','t');y=x+x1;ezplot(y,-1:1);§3.2 連續(xù)時間傅立葉級數中的能量關系目的 分別在時域和頻域求信號能量，驗證帕斯瓦爾定理。相關知識 一個硬限幅器

4、是一種器件，其輸出是即時輸入信號符號的函數，具體說就是當輸入信號是正時，輸出信號等于1；而當是負時，輸出信號等于1。調頻（FM）的某些部分或雷達系統中都常用硬限幅器處理某一即時輸入信號的相位，而不管任何可能的幅度失真。在本練習中要考慮將信號通過硬限幅器的輸出的問題。中等題1求信號的CTFS表示。提示：利用CTFS性質，并根據周期為T的對稱方波 具有CTFS系數為 的知識。syms t;k=-50:50;ak=sin(k)*pi/2)./(k)*pi);Fy=ak.*(1-exp(-1i*(k)*pi);figure(1);stem(k,abs(Fy);f=Fy.*exp(1i.*(k)*pi*

5、t);y=simple(sum(f);figure(2);ezplot(t,y);2一個周期信號的基波分量的能量可以定義為，其中是該信號的CTFS。試計算輸出和輸入中的基波分量的能量，能量有增益或損失嗎？能說明能量變化的原因嗎？3利用帕斯瓦爾定理求該信號一個周期內的總能量，利用前100個頻率，即近似這個和式，這個和式收斂到何值？4為了觀察該能量估計值收斂得有多快，試畫出該信號能量估計值作為在和式中所用項數個數的函數圖。 §3.3 用傅立葉級數綜合連續(xù)時間信號目的 學習CTFS系數的連續(xù)時間信號的傅立葉分析與綜合。 相關知識 一大類連續(xù)時間周期信號可以表示成如下和式 式中是連續(xù)時間傅立

6、葉級數（CTFS）。本練習要綜合具有較少非零系數個數的信號，將考慮具有無限個非零CTFS系數的連續(xù)時間信號的傅立葉分析與綜合?；绢} 對于這些習題要用少數幾個非零的傅立葉級數系數構造周期信號的符號表達式。3個信號的基波周期和非零的CTFS系數給出如下：對每一信號創(chuàng)建連續(xù)時間信號的符號表達式，并用ezplot畫出信號的兩個周期。 思考：怎樣本就能由傅立葉級數系數預計到哪個信號應該是實信號？§3.4方波的傅立葉表示目的 這個練習要用傅立葉級數分析周期方波，對信號將研究截斷的傅立葉級數重構公式，特別要研究隨N的增大，是如何收斂的？相關知識 一般來說，傅立葉級數系數可有無限個非零值。譬如，任

7、何具有間斷點的信號都一定有一個無限個非零系數的傅立葉級數表示，而對數值計算來說，這是無法實現的。有限項和對某個相對小的整數N往往是一個很好的近似。方波 考慮一個基波周期T=2的周期方波，在區(qū)間內該方波由下式表示， 如下圖示：這個練習將分析方波的傅立葉級數表示，且主要集中在方波的不連續(xù)點。1利用int創(chuàng)建一個符號表達式a，它包含了該方波每個k值的傅立葉級數系數。這個符號表達式是k的函數。利用stem畫出內的傅立葉級數的系數。2對N=1，3，5和9，對創(chuàng)建符號表達式。利用ezplot畫出區(qū)間內的，用hold將4張圖畫在同一幅圖上。3在時，的值是多少？這個值隨N增加而變化嗎？4不用明確地求出，對每個

8、N值估計一下超量誤差值。這個超量誤差隨N增加而減小嗎？隨，如何預期這個值的變化？實驗四 連續(xù)時間傅立葉變換 連續(xù)時間傅立葉變換（CTFT） （4.1） （4.2）將連續(xù)時間傅立葉級數（CTFS）推廣到既能對周期連續(xù)時間信號，又能對非周期連續(xù)時間信號進行頻域分析。另外，許多LTI系統的特性行為要比時域容易理解。為了更有效地應用頻域方法，重要的是要將信號的時域特性是如何與它的頻域特性聯系起來的建立直觀的認識。本練習就是要對一般的信號幫助建立這一直觀性，尤其是在LTI系統的單位沖激響應和頻率響應之間建立這一直觀性。§4.1連續(xù)時間傅立葉變換的數字近似目的 將連續(xù)時間傅立葉變換進行數字近似，

9、用函數fft（快速傅立葉算法）高效地計算這個近似值。相關知識很多信號都能用（4.1）式連續(xù)時間傅立葉變換（CTFT）來表示。利用MATLAB可以計算（CTFT）積分的數值近似。利用在密集的等間隔t的樣本上的求和來近似這個積分，就可以用函數fft高效地計算這個近似值。所用的近似式是根據積分的定義得到的，即 （4 .3）對于一般信號，在足夠小的下，上式右邊的和式是對于CTFT積分的一個好的近似。若信號對于和為零，那么這個近似式就能寫成 （4.4）式中，N為一整數?？梢岳煤瘮礷ft對一組離散的頻率計算上式中的和式。如果N個樣本是存在向量x內的話，那么調用函數X=tau*fft(x)就可以計算出 （

10、4.5）式中 以及N假設為偶數。為了計算高效，fft在負的頻率樣本之前先產生正頻率樣本。為了將頻率樣本置于上升的順序，能用函數fftshift。為了將存入X中的的樣本排列成使就是對于，在上求得的CTFT,可用X=fftshift(tau*fft(x)。 本練習要用函數fft和截斷的近似的CTFT。將會看到，對于足夠小的，對能計算出一個準確的數字近似?；绢}1求CTFT的解析表達式?？蓪⒖醋?，。2創(chuàng)建一個向量，它包含了在區(qū)間t=0:tau:T-tau 上（其中和），信號的樣本。3鍵入y=fftshift(tau*fft(y)計算樣本。因為對于基本上為零，就能近似用個樣本分析中計算出信號的CTFT

11、。4構造一個頻率樣本向量w，它按照>> w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);與存在向量Y中的值相對應。5因為是通過時移與相聯系的，所以CTFT就以線性相移項與相聯系。利用頻率向量w直接由Y計算的樣本，并將結果存入x中。6利用abs和angle畫出在w標定的頻率范圍內X的幅值和相位。對于相同的值，也畫出在1中所導出的解析式表達式的幅值和相位。CTFT的近似值與解析導得的相符嗎?若想在一張對數坐標上畫出幅值，可以用semilogy，這是會注意到，在較高的頻率上近似不如在較低的頻率上好。因為用了樣本近似，所以在時間段長度內，信號變化不大的那些信號的頻率分量

12、近似程度會更好一些。7利用abs和angle畫出Y的幅值和相位，它們與X的圖比較后怎樣？能估計到這一結果嗎？§4.2連續(xù)時間傅立葉變換性質目的 這個練習要借助于在頻域和時域分析與操作聲音信號來加深理解連續(xù)時間傅立葉變換CTFT。相關知識 在MATLAB中聲音信號是用含有連續(xù)時間聲音信號樣本的向量表示的，采樣率定為8192Hz，也即聲音信號是每隔采樣一次。更仔細一些，對于一個聲音信號，在區(qū)間上，以8192Hz采樣，代表該聲音信號的N個元素向量y由下式給出： 然后，函數sound能用來在計算機的揚聲器上放出該信號。 雖然這是一個連續(xù)時間聲音信號的采樣表示，倘若在采樣區(qū)間以外是零，而且采樣

13、率是足夠快的，那么y就能認為是的一個準確表示。在開始這個練習之前，必須首先裝入一個采樣的聲音信號，這可鍵入>> load splat>> y=y(1:8192);為了確認已準確無誤地裝入了這個聲音數據，并證實這個MATLAB向量y能正確地代表一個聲音信號，可鍵入>> N=8192;>> fs=8192;>> sound(y,fs) 函數fft取出該已采樣的表示y，并在的樣本點上計算近似的CTFT。若鍵入>> Y=fftshift(fft(y);那么向量Y就包含了區(qū)間上N個等分頻率點處的近似值。事實上，Y包含的僅是的近似值，

14、這里c是一個常數，但是不必擔心這個近似，或這個加權系數，這僅是為本練習的需要而設定的。有關和Y之間關系的更為全面的討論，請參考練習4.1。 函數fftshift將fft的輸出重新排序，以使得的樣本在Y中的排序是從最負頻率到最正的頻率?，F在，與CTFT有關的大多數性質都能在向量Y上得到證實?；绢}1鍵入Y=fftshift(fft(y)，計算向量Y的傅立葉變換。鍵入>> w=-pi:2*pi/N:pi-pi/N*fs;將對應的頻率值存入向量w中。利用w和Y在區(qū)間內畫出該連續(xù)時間傅立葉變換的幅值。 函數ifft是fft的逆運算。對于偶數長度的向量，fftshift就是它本身的逆。對于向

15、量Y，N=8192，這個逆傅立葉變換能用鍵入以下命令而求得>> y=ifft(fftshift(Y);>> y=real(y);由于原時域信號已知是實的，所以這里用了函數real。然而，在fft和ifft中的數值舍入誤差都會在y中引入一個很小的非零虛部分量。一般說來，逆CTFT不必是一個實信號，而虛部可以包含有顯著的能量。當已知所得信號一定是實信號時，并且已經證實所除掉的虛部分量是沒有意義的，real函數才能用于ifft的輸出上2置Y1=conj(Y)并將Y1的逆傅立葉變換存入Y1中，用real(y1)以確保y1是實的，用sound(y1,fs)將y1放出。已知的逆傅立

16、葉變換是如何與聯系的，能解釋剛才聽到的是什么嗎？中等題 的CTFT可以用它的幅值和相位寫成 式中。對于許多信號，單獨用相位或幅值都能構造出一個有用的信號的近似。例如，考慮信號和，其CTFT為 3構造一個向量Y2等于Y的幅值，并將Y2的逆傅立葉變換存入向量y2中，用sound放出這個向量。4構造一個向量Y3，它有與Y相同的相位，但是幅值對每個頻率都等于1。并將Y3的逆傅立葉變換存入向量y3中，用sound放出這個向量。5根據剛才聽到的這兩個信號，代表一個聲音信號你認為傅立葉變換的那個部分是最關鍵的：幅值或相位？§4.3連續(xù)時間傅立葉變換的符號計算目的 這個練習要對幾個不同的信號求(4.

17、2)連續(xù)時間傅立葉變換。基本題1定義符號表達式x1和x2代表下面連續(xù)時間信號： 需要用函數Heaviside來表示單位階躍函數。2對于1中所定義的和，用解析方法計算它們的CTFT在的值，即（不應該先求來作這道題）CTFT在的值是怎樣與時域信號關聯的？31所定義的信號中，哪一個在時域衰減得更快？根據這一點，你能預期在頻域哪一個衰減得更快？4用函數fourier計算和得CTFT。定義x1和x2是由fourier產生的符號表達式。用ezplot產生和的幅值圖。這些圖能對2和3中的答案進行確認嗎？中等題5定義符號表達式y1代表下面連續(xù)時間信號： 它可以作為兩個Heaviside函數之差。6用解析方法求的CTFT，。7定義符號表達式y2表示信號。你能像對y1那樣用兩個