系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、1本章主要教學(xué)內(nèi)容本章主要教學(xué)內(nèi)容5.3節(jié)為本章難點(diǎn)，5.2、5.4、5.5節(jié)為本章重點(diǎn)5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念5.2 Routh(勞斯)穩(wěn)定判據(jù)5.5 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.4 Bode穩(wěn)定判據(jù)5.3 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)2本節(jié)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)教學(xué)要求本節(jié)教學(xué)要求5.1.1 穩(wěn)定性的定義 5.1.2 穩(wěn)定的充要條件 5.1.3 穩(wěn)定的必要條件1.了解系統(tǒng)穩(wěn)定性的物理概念 3.掌握用穩(wěn)定的必要條件 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法2.熟悉系統(tǒng)穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)定義及充要條件 3穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定4n穩(wěn)定性穩(wěn)定性一個(gè)系統(tǒng)稱之為穩(wěn)定的，是指控制系統(tǒng)在外部擾動(dòng)作用下偏離其原來(lái)的平衡狀態(tài)，

2、當(dāng)擾動(dòng)作用消失后，系統(tǒng)仍能自動(dòng)恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)。p線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無(wú)關(guān)。p以上定義只適用于線性定常系統(tǒng)。5p大范圍漸近穩(wěn)定：不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大， 當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)，否則就稱為小范圍(小偏差)穩(wěn)定。注意：對(duì)于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定。p臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。p說(shuō)明：經(jīng)典控制論中,臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。因?yàn)閚分析時(shí)依賴的模型通常是簡(jiǎn)化或線性化的；n實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性；n系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量。6假

3、設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，受到單位脈沖信號(hào)(t)的作用，此時(shí)系統(tǒng)的輸出為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下，輸出信號(hào)偏離平衡點(diǎn)的問題，顯然，當(dāng)t時(shí)，若：則系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。0limotx7)j()(j()()()()(.)()(11011101110jjjjkirjinnnnmmmmiosspsasBsAsBasasasabsbsbsbsXsX)sin()(110jrjdjjtkitpitAeectxjip如果 pi和i均 為負(fù) 值,當(dāng) t 時(shí), x0(t)0。p穩(wěn) 定 性 與零點(diǎn)無(wú)關(guān).p自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，或閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在S平

4、面左半部。系統(tǒng)不穩(wěn)定為不穩(wěn)定)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定(工程上系統(tǒng)穩(wěn)定0Re0Re,1,0Reiiissnis8p由已知條件知系統(tǒng)具有負(fù)實(shí)根或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。某單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為)0, 0() 1()(TKTssKsG其閉環(huán)傳遞函數(shù)為1)(1)()(2sTsKsGsGsGB系統(tǒng)特征方程和特征根為TTKsKsTssD24110)(2, 129系統(tǒng)特征方程各項(xiàng)系數(shù)具有相同的符號(hào)，且無(wú)零系數(shù)。0.)(1110nnnnasasasasD設(shè)系統(tǒng)特征根為s1、s2、sn-1、sn，則)()(21001101nnnnnssssssaasaasaasniinnnjijijinniinnss

5、sssssssssss12211121) 1()()()(10niisaa1101) 1(njijissaa,202) 1(nkjikjisssaa,303) 1(各根之和每次取兩根乘積之和每次取三根乘積之和各根之積p系統(tǒng)特征方程的全部根具有負(fù)實(shí)部則特征方程的系數(shù)必然同號(hào)（不妨設(shè)為均大于零）。niinnsaa10) 1(niinnnjijijinniinnnnnsssssssaasaasssssss122111010121)1()()()(n 用待定系數(shù)法分析特征方程根與系數(shù)的關(guān)系11 某水位控制系統(tǒng)如圖，討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。) 1(sTskmmsK0：被控對(duì)象水箱的傳遞函數(shù)：執(zhí)行電動(dòng)機(jī)的傳遞

6、函數(shù)K1 ：進(jìn)水閥門的傳遞系數(shù) Kp ：杠桿比 H0 ：希望水位H ：實(shí)際水位12p該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，但缺少s項(xiàng)，即對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式的中有系數(shù)為0，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。p這種系統(tǒng)屬于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系 統(tǒng)，無(wú) 論怎樣調(diào)整該系統(tǒng)的參數(shù) ，如(K、Tm)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。系統(tǒng)穩(wěn)定性分 析023KssTm系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程K =Kp kmK1K0 為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)mpmmpBkKKKsTskKKKsG01201) 1()(0) 1(012KKkKsTsmpm135.2.1 Routh行列式 5.2.2 Routh判據(jù) 5.2.3 Ro

7、uth判據(jù)的特殊 情況1.掌握利用Routh判據(jù)判 斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法2.了解特殊情況下Routh判據(jù)的運(yùn)用 140.)(1110nnnnasasasasDn列寫Routh行列式，是利用Routh判據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主要工作，其步驟如下:列寫系統(tǒng)特征方程5311420aaasaaasnn由系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)排成Routh行列表的前兩行其中，第一行為sn、sn-2、sn-4 的各項(xiàng)系數(shù)依次排成； 第二行為sn-1、sn-3、sn-5的各項(xiàng)系數(shù)依次排成。1510112123214321332125311420gsfseesdddscccsbbbsaaasaaasnnnnnp 計(jì)算Routh

8、行列式的每一行都要用到該行前面兩行的數(shù)據(jù)。計(jì)算行列式的其余各行113021aaaaab 115042aaaaab 112131bbbaac 113152bbbaac 112121cccbbd 113132cccbbd 16n 例如6階特征方程 其牢斯行列式為 0652433425160 asasasasasasa0000000000011121011212112113111212121112131511121313310612150411130214531564206fdddeseddccdsdcbbcdccbbcsbabcbbaabcbbaabsbaaaabaaaaabaaaaasaaasa

9、aaas17如果符號(hào)相同，說(shuō)明系統(tǒng)具有正實(shí)部的特征根的個(gè)數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號(hào)不同，則符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有正實(shí)部的特征根的個(gè)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。p控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 牢斯行列式的第一列元素不牢斯行列式的第一列元素不改變符號(hào)！改變符號(hào)！ 牢斯判據(jù)的實(shí)質(zhì)是對(duì)Routh行列表中的“第一列第一列”各數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷：p注：通常a0 0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以為勞斯陣列勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。表中第一列的各數(shù)均大于零。 18n 例例1 牢斯判據(jù)判定穩(wěn)定性牢斯判據(jù)判定穩(wěn)定性符號(hào)改變二次，系統(tǒng)有兩個(gè)不穩(wěn)定的特征根。19n 例例2 牢斯判據(jù)判定穩(wěn)定性牢斯判據(jù)判定穩(wěn)定性KssssKsR

10、sC)2)(1()()(2系 統(tǒng)特 征方 程0233)(234KsssssD牢 斯判 據(jù)002-(9/7)Ks100Ks00K7/3s2023s3K31s4914007920KKK20n 例例3 牢斯判據(jù)判定系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性牢斯判據(jù)判定系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性已知系統(tǒng)特征方程： s3+7s2+14s+8=0試判斷該系統(tǒng)有幾個(gè)特征方程根位于與虛軸平行的直線s=-1的右側(cè)。1 sz03408) 1(14) 1(7) 1(2323zzzzzz系統(tǒng)特征方程為：將s平面虛軸左移一個(gè)單位距離，即構(gòu)造一個(gè) 平面，則直線s=-1右側(cè)的極點(diǎn)即為 平面右側(cè)的極點(diǎn)。勞斯行列表00304310123zzzz系統(tǒng)有一個(gè)特征根位于（

11、-1，j0）點(diǎn)。21n特殊情況特殊情況1：第一列出現(xiàn)：第一列出現(xiàn)00233)(234sssssD(各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù))2s023s2)(0s031s231s01234解決方法：用任意小正數(shù) 代之。（因第一列符號(hào)改變兩次，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。）22n特殊情況特殊情況2：某一行元素均為：某一行元素均為006655)(2345ssssssD6s5/2s62/5s010040s651s651s012345(各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù))： 用全 0 行的上一行元素構(gòu)成輔助方程,用對(duì)該方程求導(dǎo)后的方程系數(shù)替代全0行.求導(dǎo)得:06524 ss010413ss例如：出現(xiàn)全0行2j2, 1s3j4, 3s15s還可由輔助方程求出

12、相應(yīng)的極點(diǎn)06524 ss23n 系統(tǒng)在s平面有對(duì)稱分布的根共軛虛根對(duì)稱于虛軸的兩對(duì)共軛復(fù)根對(duì)稱于虛軸的一對(duì)實(shí)根24例例 圖示系統(tǒng)，確定K、a取何值時(shí)，系統(tǒng)維持以=2 s-1的持續(xù)振蕩。12) 1(23sasssKXi(s)Xo(s)1012121) 1()2() 1()(012323ksakkskasksKsKasssKsGB系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩，說(shuō)明系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，則勞斯行列式的第一列會(huì)出現(xiàn)0元素。75. 0, 22 j2j02)2)() 1()(22aKKsKsKsassKsGB)2(1012KaKaKK25注：同一題目在第五、六版教材中的題號(hào)可能不同。26 5.3.1 幅角原理 5.3

13、.2 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 5.3.3 開環(huán)含有積分環(huán)節(jié) 情況1.了解Nyquist判據(jù)的依據(jù)幅角原理 2.掌握Nyquist判據(jù)的使用方法 3.熟悉開環(huán)含有積分環(huán)節(jié) 時(shí)奈氏軌跡的繪制判斷Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性來(lái)判斷系統(tǒng)特征方程 的根是否全部具有負(fù)實(shí)部，是一種幾何判據(jù)，并且還能夠判斷系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。奈氏判據(jù)的依據(jù)是幅角原理。27)()()()()(sDsMsHsGsGkkkH(s)G(s)Xi(s)Xo(s)Es+_Bs)()()()()()()(1)()()(1)()(sDsMsDsMsDsGsGsGsHsGsGsbbkkkk)()()()()()(1)()(1)

14、(sDsDsDsMsDsGsHsGsFkbkkkkDb(s):閉環(huán)特征多項(xiàng)式Dk(s):開環(huán)特征多項(xiàng)式28n 設(shè)Ls為s平面上一條封閉曲線，F(xiàn)(s)在Ls上解析，Z、P分別為F(s)在Ls內(nèi)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)。當(dāng)s按順時(shí)針方向沿Ls變化一周時(shí)，向量F(s)在F平面所形成的曲線LF將包圍原點(diǎn)N次，且 N = Z- P。pN0：F(s)繞F平面原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)N 圈；pN1時(shí)，Nyquist軌跡逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)一圈，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定（N=-1）；n當(dāng)0K1時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定（N=0）； 當(dāng)K=1時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定（Nyquist軌跡穿過(-1，j0)點(diǎn)對(duì)應(yīng)F(s)穿過F平面的原點(diǎn)）。0 TGTKGKKa

15、rctan)j (1)()j (2（1）作開環(huán)Nyquist圖34.) 1)(1)(12() 1)(1()()(321221sTsTsTsTsTsTKsHsGba已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)有一個(gè)不穩(wěn)定極點(diǎn)(P=1),而 由 -到+變化時(shí)， GH 平面的軌跡 GK(j ) 逆時(shí)針包圍點(diǎn)(-1,j0)一圈(N=-1)，因此Z=N+P=0,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 ImRe 00(-1, j0)的Nyquist軌跡如圖，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性p雖然開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)可以穩(wěn)定，但這種系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)品質(zhì)通常不好，應(yīng)當(dāng)盡量避免。35n 問題的提出 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)（原點(diǎn)處存在極點(diǎn)）或者在虛軸上存在極

16、點(diǎn)時(shí)，由于GK(s) 在 Ls 上不再是解析函數(shù)，因此不可直接應(yīng)用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解決這一問題的基本思路是：用半徑 0的半圓在虛軸上極點(diǎn)的右側(cè)繞過這些極點(diǎn)，即將這些極點(diǎn)劃到s左半平面，從而使得GK(s) 在Ls 上仍然是解析函數(shù)。36原點(diǎn)處右半圓弧的數(shù)學(xué)方程r 0 時(shí)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)verKreDMsGrrkkreskrj00jlimlim)()0()0()(j0ns平面原點(diǎn)處極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的Nyquist軌跡s = re j (r0)()()()(sDssMsGkkk系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 從00+：20: )(:)(vsGsGkk其Nyquist軌跡為GH上幅值為無(wú)窮大，弧度

17、為 -v/2的圓弧。rjO0+0-s 從0/2：（s平面）（Gk平面）37n原點(diǎn)處有極點(diǎn)的系統(tǒng)開環(huán)原點(diǎn)處有極點(diǎn)的系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡軌跡：（1）一般情況=0+=0+作出 由 變化時(shí)的曲線;從開始，以 的半徑逆時(shí)針補(bǔ)畫的圓弧(輔助線)。 rjO0+38n原點(diǎn)處有極點(diǎn)的系統(tǒng)開環(huán)原點(diǎn)處有極點(diǎn)的系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡軌跡：（2）最小相位系統(tǒng)veerKGjj)0 j (其輔助線的起始點(diǎn)始終在無(wú)窮遠(yuǎn)的正實(shí)軸上。（如果是非最小相位系統(tǒng)，且v=2，應(yīng)如何作輔助線？）)20:(p對(duì)于最小相位系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)以半徑為無(wú)窮大的圓弧順時(shí)針方向連接正實(shí)軸端和 G(j) H(j)軌跡的起始端。392102101180

18、-(jNyquistarctanarctan90)j (TTGTTGjj）可如下求出：軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)頻率由于開環(huán)Nyquist軌跡順時(shí)針包圍(-1，j0)兩圈，且P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)Z=2。 =+ =- 則系統(tǒng)不穩(wěn)定。若）（又,1)j ()j ()(1T1 )j (2121212121212221TTTTKTTKTTGTTKTTGTKGjj 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ，和開環(huán)Nyquist圖，應(yīng)用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ) 1)(1()(21sTsTsKsG40 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其開環(huán)Nyquist圖如下，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性) 1)(1)(1() 1()(3

19、214sTsTsTssTKsGK曲線(2)為T4較大時(shí)，由于導(dǎo)前環(huán)節(jié)的正相位使Gk(j)過負(fù)實(shí)軸的頻率增加，系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡不包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定；43210arctanarctanarctanarctan90)j (TTTTGK曲線(1)為T4較小時(shí)，由于導(dǎo)前環(huán)節(jié)的正相位起作用的頻率較高，Gk(j)在較低頻率時(shí)即穿越負(fù)實(shí)軸，系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)兩圈，系統(tǒng)不穩(wěn)定。p|Gk(j)|隨頻率的增加而單調(diào)衰減。41 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ) 1()(TssKsG系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。作系統(tǒng)開環(huán) Nyqui

20、st曲線，如圖。判斷p開環(huán)穩(wěn)定P=0；p開環(huán) Nyquist曲線不包圍(-1, j0)點(diǎn)；420+：A(0+),(0+)180：A()0, ()180221222211)(TTKA 212121,)(arctanarctanTTTTTT 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，繪制其Nyquist軌跡，并判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。pT1 T2，Nyquist軌跡順時(shí)針包圍（-1, j0 ）點(diǎn)2次（N=2），而P0，即Z=N+P =2 系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。) 1() 1()()(122sTssTKsHsG43 445.4.1 Nyquist圖與Bode 圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 5.4.2 相位穿越的概念 5.4.3 Bode穩(wěn)定判

21、據(jù)1.掌握Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 2.熟悉Nyquist圖與Bode 圖的相位穿越的概念3.掌握用Bode判據(jù)分析 系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法 45相連相連( 為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)起始點(diǎn) (0+) p Nyquist曲 線的輔助線: (0+) +v 90線Nyquist圖Bode圖單位圓0分貝線單位圓以外 L( )0的部分單位圓內(nèi)部 L( )0 的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線 ( )(含輔助線)與-180線的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。自上而下自下而上負(fù)穿越自下而上 自上而下正穿越對(duì)數(shù)值范圍內(nèi)相頻(j)穿越-線穿過負(fù)實(shí)軸(-1-)段Bode判據(jù)與N

22、yquist判據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系51開環(huán)特征方程有兩個(gè)右根P=2,正負(fù)穿越數(shù)之差-1.P=2開環(huán)特征方程無(wú)右根P=0,正負(fù)穿越數(shù)之差0 。P=0開環(huán)特征方程有兩個(gè)右根P=2,正負(fù)穿越數(shù)之差為+1，所以.P=252開環(huán)特征方程無(wú)右根P=0，L()0范圍內(nèi)()和-線不相交即正負(fù)穿越數(shù)之差為0 閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定。n例例2 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 和Bode圖如下，分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。) 1005. 0)(102. 0() 15() 125. 1 (100)()(22ssssssHsG0.20.85020053n開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的Bode判據(jù)判據(jù)特別地，當(dāng)P=0(開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定)時(shí)， Bode判據(jù)可

23、簡(jiǎn)述如下： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定; 閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定; 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。ImReoGK(j)gcImReoGK(j)gcImReoGK(j)gcp開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)Bode判據(jù)與Nyquist判據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系十分明顯，該判據(jù)的正確運(yùn)用是本節(jié)必須要掌握的內(nèi)容.54n 說(shuō)明說(shuō)明：若有多個(gè)，則取最大的 進(jìn)行判斷。上圖中，對(duì) c3而言， 因?yàn)?c30o，Kg1（或Kg0 dB）G(j )H(j )穩(wěn)定裕度在Nyquist圖上的表示) 1,0(0Kg KgdB)0,0(0Kg穩(wěn)定裕度在Bode圖上的表示60n不穩(wěn)定系統(tǒng)的不穩(wěn)定系統(tǒng)的“穩(wěn)定裕量穩(wěn)定裕量” 及其標(biāo)注及其標(biāo)注 0o, Kg1(或或Kg0 dB).G(j )H (j )軌跡軌跡 (1