一維空間中的結(jié)構(gòu)

1、一維空間中的結(jié)構(gòu)學(xué)生：張玲梅指導(dǎo)教師：王文霞(太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 14014班 山西太原 030012)內(nèi)容提要：在學(xué)習(xí)了諸如n維歐氏空間，度量空間，線性賦范空間等一些空間的基礎(chǔ)上，我們對(duì)最簡(jiǎn)單的一維空間進(jìn)行分析，看看一維空間上的結(jié)構(gòu)是怎樣的.關(guān)鍵詞：一維空間距離結(jié)構(gòu)線性結(jié)構(gòu)范數(shù)結(jié)構(gòu)內(nèi)積結(jié)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)序結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)，它是這樣定義的： 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,對(duì)燈君A0,當(dāng)x x0 = &x父6時(shí)，有f(X0x) - f (x°)xf(x0. ：x) f(x0)x存在時(shí)，則稱(chēng)函數(shù) f (x)在點(diǎn)x0可導(dǎo).在這個(gè)定義中涉及到R空間中的兩個(gè)結(jié)構(gòu)

2、：一個(gè)是距離結(jié)構(gòu),即包 =f (x0+x) - f (x0) , W = x x0 ；另一個(gè)是線性結(jié)構(gòu)，即x0 + Ax w R .在這兩種結(jié)構(gòu)的xAx保證下導(dǎo)數(shù)才得以定義.那么R空間中都有一些什么結(jié)構(gòu)呢？本文以抽象空間的理論為依據(jù)來(lái)分析一維空間R的結(jié)構(gòu).一、度量結(jié)構(gòu)定義12:設(shè)X是一個(gè)非空集合，d是一個(gè)在X父X上的實(shí)值函數(shù)，即對(duì)于 Vx,y X ,對(duì)于實(shí)數(shù)d(x,y).若對(duì)于Vx, y,zWX,滿足： d(x, y) > 0 , d(x, y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x = y (非負(fù)性) d(x, y) = d(y,x)(對(duì)稱(chēng)性) d (x, y) < d (x, z) + d (z, y

3、)(三角不等式性),(X,d)稱(chēng)為度量空間.對(duì)于則稱(chēng)d為X上的度量(metric)或稱(chēng)為距離函數(shù) (distance function)給定的x,ywX, d (x, y)稱(chēng)為x與y的距離.定義24設(shè)Xn w(Z, d),若三xw X ,使得lim d(4,x) = 0,則稱(chēng)序列xn是收斂的.x稱(chēng)為xn的極限，記為lim xn =x. n .二二定義34:設(shè)xn是(X,M)中的序列.若存在xw x ,使得1mxn -x則稱(chēng)xn依范數(shù)收斂于若對(duì)V© >0,存在正整數(shù) N ,使得對(duì)一切 m, n > N ,都有|xm -xn| <s ,則稱(chēng)xn是X中的Cauchy序列.

4、定義44：在度量空間 X中，若每一個(gè)Cauchy序列都收斂，則稱(chēng)X是完備的.Banach空間是完備的賦范空間.設(shè)R為實(shí)數(shù)集，在 RmR上定義映射d如下：d :(x,y)T x-yVx,y,ze R,顯而易見(jiàn)，它滿足度量空間定義的非負(fù)性，對(duì)稱(chēng)性和三角不等式性.證明如下: 有： x - y > 0 xy=0u x = y x -y = y -x x-ywxz + z y在上述定義下，R是一個(gè)度量，從而(R, d )為度量空間.度量結(jié)構(gòu)有對(duì)稱(chēng)性，即x和y的距離與y和x的距離相同，用字母表示即是 x-y = y-x且對(duì)距離具有下面的性質(zhì) ：任意的x, y,有：|x-y|-為一%卜 x % +|y

5、 y卜面給出證明.由x yw x -x1+x1y,x1y1wx1y + y y1,則有上式左邊=x x1 +x1_y_x1_y+y_y1x - Xi - y - yJl < x-Xi +|y y1二右邊.口由度量空間中收斂序列的定義，在R中，實(shí)數(shù)列an收斂于a的定義為：對(duì)審名>0,三N>0, 使得對(duì)一切的n a N ,總有an - a <e成立.顯然，R在此度量結(jié)構(gòu)下的5收斂即與數(shù)學(xué)分析中的數(shù)列收斂的定義是一致的.R是Banach空間.、線性結(jié)構(gòu)定義54:設(shè)X是一個(gè)非空集合，K是數(shù)域(實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域).若定義 X中兩元素的加法運(yùn)算以及數(shù)與 X中的元素之間的數(shù)乘運(yùn)算并且滿

6、足下面的條件：加法運(yùn)算“ +”，即這樣一個(gè) X x X到X的映射，使得對(duì)每一個(gè) (x, y) w X父X ,對(duì)應(yīng)于 x + y w X ,滿足下列條件：(1) x y = y x (x y) z = x (y z) 存在0 e X ,使得對(duì)于一切 xX,有x+6=x.(日稱(chēng)為零元素)(4)對(duì)于任意x W X ,存在x的加法逆元素 x,使彳# x + (-x) = 8數(shù)乘運(yùn)算“ ”，即這樣一個(gè) K MX到X的映射，使得對(duì)每個(gè)(a,x) K X X ,對(duì)應(yīng)于a x = X , 滿足下列條件：(：x)=(：工 I-') x 1 x = x 二(x y):：x : y(:工一戶)x = ： x

7、 x則X稱(chēng)為數(shù)域 K上的線性空間(linear space) .當(dāng)K = R時(shí)，X稱(chēng)為實(shí)線性空間.X上的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為線性運(yùn)算.設(shè) M =Xi,X2,，xn U X ,若關(guān)系式 %Xi +%x2 + nxn =0,其中% w K(i =1,2,n),僅當(dāng)a1 =% =an =0時(shí)才成立，則 M稱(chēng)為是線性無(wú)關(guān)的.(linearly independent) .若M不是線性無(wú)關(guān)的，則 M稱(chēng)為是線性相關(guān)的 (linearlyindependent).當(dāng)M線性相關(guān)時(shí)，必存在一組不全為零的數(shù)%產(chǎn)2,9n使得上述式子成立.線性空間 X稱(chēng)為是有限維的 finite dimensional) ,若存

8、在一個(gè)正整數(shù)n,使得 X包含一個(gè)由n個(gè)元素組成的線性無(wú)關(guān)集. 任何多于或等于n+1個(gè)元素組成的集都是線性相關(guān)的.這時(shí)，正整數(shù)稱(chēng)為的維數(shù) (dimension),記為dim X =n.設(shè)x,y,z是R上任意三點(diǎn)，口，P是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，加法定義為普通數(shù)的加法，乘法定義為一般意義下數(shù)的乘法，而這樣的定義滿足線性空間的八個(gè)條件： x y = y x (x y) z = x (y z) 存在ewR,使得對(duì)于一切 xw R,有x+e =x.這里8 =0.(4)對(duì)于任意x W X ,存在x的加法逆元素 x,使得x+(x)=日=0： ( I;- -x)=(：工 I ') x 1 x = x二(x y)

9、二二 x 一 y(:工-F) x = ： x 一 , x不難看出，零元素 日=0和R上的任何元素 x的逆元素-x都是唯一的.R是一維空間，線性無(wú)關(guān)組為任一非零實(shí)數(shù).R上具有的線性結(jié)構(gòu)這些性質(zhì)的運(yùn)算不難看出，就是我們?cè)谥行W(xué)所學(xué)到過(guò)的一般意義上的加 法和乘法的交換律，結(jié)合律等基本的加乘法則.但是在這里，它已經(jīng)上升到了一個(gè)線性空間的結(jié)構(gòu) 一R中的線性結(jié)構(gòu).三、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)定義64:設(shè)J是非空集合 X的子集為元素的一個(gè)集族，滿足： X w J,0 w J ; 任意多個(gè)J中元素的并仍是 J中的元素，即若 Uw J(a w D),則 U Uw J:必Dn有限多個(gè)J中元素的交仍是 J中的元素，即若 UjWJ(

10、i=1,，帝，則。5W1. i 1則J稱(chēng)為集上的一個(gè)拓?fù)洌?X,d)稱(chēng)為拓?fù)淇臻g.定義77:設(shè)(X,J)是拓?fù)淇臻g.若對(duì)于Vx, yw X,x#y,存在x與y的開(kāi)鄰域U,V,使得U QV =0,則(X , J )稱(chēng)為 Hausdorff 空間(Hausdorff space).定義87：設(shè)D為拓?fù)淇臻g X的子集，若 D的閉包等于 X (即C(D) = X ),則D稱(chēng)為X的 稠密子集.有可數(shù)稠密子集的拓?fù)淇臻g稱(chēng)為可分的空間.定義97:設(shè)X為拓?fù)淇臻g，如果 X的每一個(gè)開(kāi)覆蓋都有可數(shù)子覆蓋，則稱(chēng) X為L(zhǎng)indelof空定義105：設(shè)xo為度量空間 X中任意一點(diǎn)，r為正實(shí)數(shù)，則稱(chēng)S(x0,a)=xw

11、X d(x,%) <8 為開(kāi)球.以x0為心，r為半徑的開(kāi)球又稱(chēng)為 x0的8一鄰域.定義115：設(shè)X是度量空間，G u X,% w X,如果存在x0的某鄰域S(x0,w)u G,則稱(chēng)凡是G的內(nèi)點(diǎn).如果 G中所有的點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則G是開(kāi)集.性質(zhì)1 ：開(kāi)集具有下面的性質(zhì)：X是開(kāi)集，0也是開(kāi)集.任意多個(gè)開(kāi)集的并是開(kāi)集.有限多個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集. 證明：因?yàn)槊恳粋€(gè) xX至少有一個(gè)球形鄰域，因而X的每一點(diǎn)x都有一個(gè)球形鄰域，這個(gè)球形鄰域當(dāng)然包含在 X中，所以X滿足開(kāi)集的條件.0中沒(méi)有任何一點(diǎn)，也自然地可認(rèn)為0滿足開(kāi)集的條件.設(shè)G后是一族開(kāi)集，G =UGi .若xw G ,則存在i w D,使彳導(dǎo)xW

12、Gi,于是存在r>0,使得 IDB(x, r)u G二G,因此G是開(kāi)集.僅就兩個(gè)開(kāi)集情況.設(shè)A, A2是開(kāi)集.若x w AA2,則存在r1 a 0,r2 a 0 ,使得B(x,1r)匚 A, B(x2 巨),2Ar = min( 口上)，則 B(x,r)u A D A2,因此 A D A 是開(kāi)集.口根據(jù)開(kāi)集的定義知平時(shí)的區(qū)間中(-笛,收)(a,b ),。都是開(kāi)集，而(a,b!(-笛，a%,")都不是開(kāi)集.在度量空間(X,d)中，令J=AUX A為X中的開(kāi)集,由性質(zhì)1易見(jiàn)J為(X,d)中的拓?fù)洌Q(chēng)為由度量所誘導(dǎo)的拓?fù)?由全文的第一部分知，R在度量d(x,y)= x-y的誘導(dǎo)下為

13、拓?fù)淇臻g.此時(shí)其拓?fù)錇镽中通常意義下的所有開(kāi)集.性質(zhì)2： R是Hausdorff空間.rr.這是因?yàn)閷?duì)于任意相異的兩點(diǎn)x,y ,有d (x, y )= r > 0, S(x, ), S( y,)分別是x與y的鄰域且22互不相交.具體到R來(lái)說(shuō)：x - y = r a 0,( x,匚),(y,匚)是其鄰域且互不交.口22性質(zhì)3: R是可分的.因?yàn)镽中可數(shù)稠密子集為有理數(shù)集.性質(zhì)4： R是Lindelof 空間.四、賦范結(jié)構(gòu)在線性空間的基礎(chǔ)上，我們就可以定義線性賦范空間了.定義124：設(shè)E是數(shù)域上的線性空間， 在E上定義實(shí)值泛函：f : Et R ,對(duì)于每一個(gè) xw E ,其對(duì)應(yīng)的值 f(x)

14、記為JX .若滿足下列范數(shù)公理：對(duì)任意 x, y w E,q w R ,有：|X| > 0| X = 0當(dāng)且僅當(dāng)x = 0 (非負(fù)性) |ax| =|ot| x|(正齊性)|x +y| < |x| +|y|(三角不等式)則稱(chēng)口 x II為x的范數(shù)(norm), ( E, II - II )稱(chēng)為線性賦范空間( normde linear space )R上定義范數(shù)為|x = x ,這時(shí)，(R, 口 II )是線性賦范空間.事實(shí)上， R滿足三條： x > 0 x=0ux = 0 |ctx =|cx|x x + y w x +| y該空間實(shí)際上就是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.五、內(nèi)積結(jié)構(gòu)在線性

15、空間中可定義內(nèi)積概念如下：定義134：設(shè)X是數(shù)域K(K為實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域)上的線性空間.若映射(，)： X父X t K ,對(duì)任意的x, y, zw X以及ot, P w K ,滿足如下性質(zhì)：(1)對(duì)第一變?cè)€性：(二:x - :y,z) = ： (x, z) ( y, z)(2)共軻對(duì)稱(chēng)性:(x, y) = (y, x)(3)非負(fù)性：(x,x) >0并且(x,x) = 0當(dāng)且僅當(dāng)x=0.則(，)稱(chēng)為 X 上的內(nèi)積(inner product ), ( X ,( , , )稱(chēng)為內(nèi)積空間(inner product space ),對(duì)于給定的 x, y w X , (x, y)稱(chēng)為x與y的內(nèi)積

16、.定義144 : Hilbert空間是完備的內(nèi)積空間.在R中，定義Rm R至iJ R的映射如下：(x, y) =xy(x, y亡R),易證該映射滿足上述內(nèi)積定義中 的三條性質(zhì)，故而R是內(nèi)積空間.接下來(lái)我們考察 R空間中三種結(jié)構(gòu)：度量，范數(shù)以及內(nèi)積的關(guān)系.R的度量結(jié)構(gòu)等價(jià)于R的賦范結(jié)構(gòu).證明：在R的賦范結(jié)構(gòu)中，我們定義 d(x,y)=|x-y ,則由第四部分對(duì)賦范空間的討論，R為度量空間.反之，R為度量空間，此時(shí)對(duì) yx,定義|X = d(x,0) =|x,由前面第一部分對(duì)度量空間的考察知，R是線性賦范空間.口1 .| 221 ., 2(x,y) =-( x + y - x-y )=-(x +

17、y - x 44知R為內(nèi)積空間.R的賦范結(jié)構(gòu)等價(jià)于 R的內(nèi)積結(jié)構(gòu). 證明：R為線性賦范空間，由范數(shù)定義內(nèi)積2、1 ,，一，一-，、，、“-y )=- 4xy = xy,由對(duì)內(nèi)積的討論, 4反之，R為內(nèi)積空間時(shí)，我們定義v(x,x) =|x|，在R中有 帆二|x,驗(yàn)證定義中的三條： x = (x,x) > 0(x, x) = 0= x = 1222Ctx=(o( x, a x)=£xx +y2=(x + y,x + y)=(x,x)+ (y, y) +(x,y) +(y,x)=|x2 +2(x,y)+|y2&x2 + y+2 x y =(x + y)2即證為線性賦范空間.

18、口注 由上述三種結(jié)構(gòu)的等價(jià)性及R在度量d(x, y)= x-y下的完備性可知：R既是Banach空間，又是Hilbert 空間.六、序結(jié)構(gòu)定義156:設(shè)E是實(shí)Banach空間，如果 P是E中某非空凸閉集，并且滿足下面兩個(gè)條件：(i ) x W P,九 >0二九xW P(ii) xW P,xW P= x=e 6表E中零元素，則稱(chēng) P是E中的一個(gè)錐.注意：給 定E當(dāng)中一個(gè)錐 P后，則可 在E中的元素間 引入半序；xwy (x,yWE如果 y - x P).在R中，定義P為正的實(shí)半軸，此時(shí)可在R中誘導(dǎo)序如下：xwy (x, yWR), y -x= P ,這樣，序的結(jié)構(gòu)就是平時(shí)我們所認(rèn)為的結(jié)構(gòu)了

19、.該序具有如下性質(zhì)：TH1 (次序的全序性)對(duì)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù) a, b,則必滿足下列三個(gè)關(guān)系之一：a>b,a<b, a = b.TH2 (次序的對(duì)逆性)對(duì)上述任意的a,b,若a>b則b<a;若a<b5Uba.Th3 (次序的傳遞性)對(duì)上述任意的a,b,c,若a<b, b<c,則a<c;若ab,bc,則ac.現(xiàn)在來(lái)證明其中的次序?qū)δ嫘?首先來(lái)看一個(gè)定義.如果有限集合 A和B的基數(shù)記為a和b ,那么當(dāng)AB時(shí)，稱(chēng)a等于b,記彳a = b .當(dāng)A'u A, A'B時(shí)，稱(chēng)a大于b,記為a>b.當(dāng)B'u B,AB'時(shí)，稱(chēng)

20、a小于b,記為a <b.現(xiàn)用上述定義來(lái)證明對(duì)逆性.要證b<a,由定義中的，只須證存在 A'u A,使BA',但條件是 a >b,由定義中的，有 A”u A,使A”B,令A(yù)' = A""UA' B.由集合的等價(jià)關(guān)系性質(zhì)有BA'.即證.同理可證反之.正是由于R上的序結(jié)構(gòu)，才有了數(shù)字大小的可比性.才有了函數(shù)的單調(diào)性的研究，有了極值及 最值問(wèn)題的研究.在對(duì)一維空間進(jìn)行結(jié)構(gòu)分類(lèi)討論時(shí)，我們對(duì)一維空間有了更為深入的了解.一維空間是我們學(xué) 過(guò)的最簡(jiǎn)單也是最基礎(chǔ)的空間，只有對(duì)它進(jìn)行深入的了解，在學(xué)習(xí)抽象空間時(shí)，才能夠由抽象到具 體，由具體到抽象進(jìn)行聯(lián)系，才能對(duì)抽象空間理解的更透徹.參考文獻(xiàn)：1梁紹君，初等代數(shù)研究，四川大學(xué)出版社，四川， 2002, 8.2程其襄等，實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)，高等教育出版社，北京，1983, 12.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，北京，1981, 4.4熊洪允等，勒貝格積分與泛函分析基礎(chǔ)，高等教育出版社，哈爾濱，1992, 5.5劉世偉等，泛函分析概要，高等教育出版社，河北，1987, 11.6郭大鈞，非線性泛函分析，山東科學(xué)技術(shù)出版社，山東，1985, 5.7熊金成，點(diǎn)集拓?fù)渲v義，高等教育出版社，北京， 1981, 10.The construction