專題10數(shù)列求和及其應(yīng)用(教學(xué)案)-2018年高考文數(shù)二輪復(fù)習(xí)精品資料(教師版)

1、專業(yè)文檔 珍貴文檔 專題10數(shù)列求和及其應(yīng)用(講學(xué)案 高考對本節(jié)內(nèi)容的考查仍將以常用方法求和為主，尤其是錯位相減法及裂項求和，題型延續(xù)解答題的 形式“明年高考對數(shù)列求和仍是考查的重點“數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列與函數(shù)等的綜合的命題趨勢較強，復(fù)習(xí) 時應(yīng)予以關(guān)注. 1 .數(shù)列求和的方法技巧 (1) 公式法：直接應(yīng)用等差、等比數(shù)列的求和公式求和. (2) 錯位相減法 這種方法主要用于求數(shù)列 an bn的前n項和，其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. (3) 倒序相加法 這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前 n項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列 (反序)，當(dāng)它與原數(shù) 列相加時若有公因式可提，并且剩余項的和易

2、于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和. (4) 裂項相消法 利用通項變形，將通項分裂成兩項或幾項的差， 通過相加過程中的相互抵消， 最后只剩下有限項的和. (5) 分組轉(zhuǎn)化求和法 有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比 數(shù)列或常見的數(shù)列，可先分別求和，然后再合并. 2 “數(shù)列的綜合問題 (1) 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合. (2) 數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、解析幾何等知識的綜合. (3) 增長率、分期付款、利潤成本效益的增減等實際應(yīng)用問題. 數(shù)列的實際應(yīng)用問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長，反映的事物背景陌生，知識涉及面廣，因此要解好應(yīng)用題， 首先應(yīng)當(dāng)

3、提高閱讀文解能力，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號，實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再 用數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)推文予以解決 【誤區(qū)警示】 專業(yè)文檔 珍貴文檔 1 “應(yīng)用錯位相減法求和時，注意項的對應(yīng). 2 “正確區(qū)分等差與等比數(shù)列模型，正確區(qū)分實際問題中的量是通項還是前 n項和. 高頻考點突破 考點一由遞推關(guān)系求通項 例 1、（2016 高考全國卷川）（本小題滿分 12 分）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列 a（滿足 ai = 1, a2- （2an+仃 1）an 2an+1= 0. （1）求 a2, a3； 求an的通項公式. 解：由題青得 02=專閔弓 由 A （2OM+I 2OJI+I=0 得 2 處 I

4、（0M+ 1、二 a（口卄 1） 因為血的各項都為正數(shù)，所嘆 故伽是苜項為 1,公比為抽等比數(shù)列， 因此偽二#丫 12分分 【方法規(guī)律】求數(shù)列通項的常用方法 1 “歸納猜想法：已知數(shù)列的前幾項，求數(shù)列的通項公式，可采用歸納猜想法. S1, n= 1, 2 .已知 Sn與 an的關(guān)系，利用 an= 2 求 an. 3. 累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如 an+1= an+ f（n）,其中數(shù)列f（n）前 n項和可求，這種類型的數(shù)列求通項 公式時，常用累加法（疊加法）. 4. 累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系形如 an+1 = g（n）an，其中數(shù)列g(shù)（n）前 n 項積可求，此數(shù)列求通項公式一般 采用累乘法（疊乘法）.

5、 5. 構(gòu)造法：（1）遞推關(guān)系形如 an+1= pan + q（p, q 為常數(shù)）可化為 an+1+ p= p an+ p（p豐豐1 的形式, 利用 an+芝是以 P 為公比的等比數(shù)列求解. （2）遞推關(guān)系形如 an+1= P：np（p 為非零常數(shù)）可化為 1 = 的形式. an+ p an + 1 an p專業(yè)文檔 珍貴文檔 【變式探究】數(shù)列an的前 n項和為 Sn，且 ai= 3, a* = 20-1 + 3n(n 2)則該數(shù)列的通項公式為 an= 【答案】(2n + 1)3n-1 【解析】“ an = 2Sn-1 + 3，an-1 = 2Sn -2 + 3 1 (n3)兩式相減得：an

6、an- 1 = 2an- 1 + 2 1，即卩 an =3an-1+ 2X3n 1，-器=a + |(n 數(shù)列刖是以 1 為首項，3 為公差的等差數(shù)列，二；n= 1 + (n 1) , an= (2n + 1)3n-1. 考點二分組轉(zhuǎn)化法求和 例 2、(2016 高考全國卷n )Sn為等差數(shù)列an的前 n項和，且 a1 = 1, S?= 28.記 bn= lg a“，其中x表 示不超過 x的最大整數(shù)，如0.9 = 0, lg 99 = 1. (1)求 b1, bn, b101; 求數(shù)列bn的前 1 000 項和. 解：殳%的公差為 4 抿已知有 7 + 21Q2/鮮得 d, 所臥念的通項公式為

7、 6 加=陽 1=0, 11 = 1, iigi = lgl01=2. Q, ln10, b 10 1 = 1 893. 【方法規(guī)律】 1.若一個數(shù)列由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列組成， 則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法分別求和再相加減. 形如 an= ( 1)nf(n)類型，可采用相鄰兩項并項 (分組)后，再分組求和. 2 .分組求和中的分組策略 (1) 根據(jù)等差、等比數(shù)列分組. (2) 根據(jù)正號、負(fù)號分組. 【變式探究】已知 an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且 b2= 3, b3= 9, a1= b1, = b4. (1)求an的通項公式； 設(shè) Cn= an+ bn,求數(shù)列 Cn的前 n項和. 解: (

8、1)等比數(shù)列bn的公比 q =詈 3= 3, 所以 b1 =也=1, b4= b3q= 27. q 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d. 因為 a1 = b1 = 1, a14= b4= 27,因為bn= d=3f 所次 幾=4 十山一 1)燈=知+ L 6n+6 E (2)由(1)知，6= 3卄3 口=珈十 1)卽 1 所以&=G + G + 6 =3xp?21+ 3x2J +. +（+ 1）X2B+1| 2 耳=3x2 x2J + 3 x2 斗 + + + 1）沁小, 兩式相減得一 *=外2 乳嚴(yán)十 2】+巧+盯 1 一 （卄 l）x2+1 4 1-2H _ =3x 4+；- M + 1

9、煜”丄 L 1 2 = -3rt-2+1, 所以 A=3n 2+ 0, 所以 Tn Bn. 2 綜上所述，當(dāng) n= 1 時，TnV 2 ； 2 當(dāng) n = 2 時，Tn= 2 ；n； 2 當(dāng) n3寸，Tn 2 ；n. 專業(yè)文檔 珍貴文檔 考點四裂項相消法求和 例 4、【2017 課標(biāo) 3，文 17】設(shè)數(shù)列：片滿足a (2n-1)0 = 2n. (1)求尋 1 的通項公式; (2)求數(shù)列 0n 的前n項和. 2n +1, 1 1 1 +嚴(yán)，是否存在整數(shù) m,使對任意 n N ,不等式 T.奇恒成立？若存 S2n 在，求出 m 的最小值；若不存在，請說明理由.【答(1) an 2； n N ; (

10、2) 2n -1 2n 2n 1 【解當(dāng)和=1時衛(wèi)i = 2 2時匚由tt i + ( 2zi 1) u tl = 2n Tffi 自1 十 + + (2“ 一 3) 一得(2“ 一 1)也1 = 2很卩們 =2(” 一 1). 2 - (H 211-1 囚臉證旳=2符合上式，所以 5 二喬+ Z). 9 9 JLgi (2). 1 (2“ - l)(2n + 1)加二 1 1 1 1 2rT+T, 1 2H + 1 【變式探究】 已知數(shù)列 2n的前 n 項和為 Sn，且滿足: a1+ 1 a2+ 1 a3+1 + + +-= n, n N* an+ 1 (1)求 an. 設(shè)幾=丄+丄+ Sn

11、 + 1 Sn+ 2 Sn+ 3 專業(yè)文檔 珍貴文檔 解：當(dāng)曲=1 時，注斤=1, 衛(wèi)1+ 1 + 一得-n-T=L 即條二？1 一 1(也】 十】 所以處=用一 1, “Ex： (2)在整數(shù)札使得對任意底叫使關(guān)于程的不等式 恒成立，即 由(1 卻 S-尹_ W 單調(diào)遞減，當(dāng) Q1 時幾取得最大値 h心心1 時關(guān)于的不等式T3恒成立 【方法規(guī)律】 1 “裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適 1 1 用于一 或一 (其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和. 3nan+ 1 anan +2 2 “裂項相消的規(guī)律 (1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差.

12、裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多. 【方法規(guī)律】 1 * 已知數(shù)列an的前 n項和是 Sn,且 Sn+ an= 1(n N). (1)求數(shù)列an的通項公式. 設(shè) bn= log4(1 - Sn +1)( n N* ), Tn= 盤+ 盤+，求使舞 8 成立的最小的正整數(shù) 門的 值. 解：(1)當(dāng) n = 1 時，a1= S1, 由 S1+ !a1 =II? a1 = 3, 3 4 1 II Sn-1 + 3an-1= 1， dl+ 1 化十 1 (1 1、 5+1 n+2/ =垂- V1 + 17J Sn*2 j 專業(yè)文檔 珍貴文檔 當(dāng) n2時，Sn + 3an= 1, -，得伽+ - yOf

13、l 1 = 0 艮卩an掃 i、 2 1 所以血是以為苜項J抄公比的等比數(shù)列* 帥 f). 1 /IX (2)由(1 族口 l-St+i=n=aL 1 = I 二 _J _ L_ bnbn+1 n+ 1 M+2 M4-1 M+ 2 心丄+丄+斗丄 爲(wèi)拭比十也宓十十&時】 _ _ 生00&；口 丄- G+l n+2j 2卄田宅 61 阿 亍孔+2=2 018 故使空曙|成立的最小的正整數(shù)的值為 2 016. m 悟 廠 1. 【2017 山東，文 19】(本小題滿分 12 分)已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 ，且 31 32 = 6,曰倉二比. (I) 求數(shù)列an通項公式； (

14、II) bn為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和Sn,已知S2n訂=00 1 ,求數(shù)列 的前n項和Tn. PnJ 【答案】(I ) SI =2n. ( n ) Tn = 5- 2n n 5. 2 【解析】 (I)設(shè) a的公比為q,由題意知： S1 1 q =6,a!2q二a2. 又4 0, 解得：a(=2,q = 2, n 所以an =2 .卜 E+G 1 n 也 016, 專業(yè)文檔 珍貴文檔 (II)由題竜知：Sg川=(2 闖+ 1)1， 又+1 =恥卄 1Q+】H 0: 所以乞=加+ 1 2 + 1 Y a/和等比數(shù)列 bn/滿足 ai= bi=1, a2+ a4=10, b2b4= a5.

15、(I)求可匚的通項公式; ()求和:b+a+bH +供4. 3n-1 【答案】(I)珀=2n1 ;(n)2 【解析】 (I )設(shè)等差數(shù)列an的公差為d. 因為 a2+ a4=10，所以 2a1+4d=10. 解得d=2. 所以 an=2 n- 1. (n )設(shè)等比數(shù)列的公比為 q. 2.【2017 北京，文 15】已知等差數(shù)列 則 5 = 因此 又丄 72+G + r + 2 * 2 亠于 24 所以石二 5 2吃亠1 專業(yè)文檔 珍貴文檔 因為 b2b4= a5，所以 b1qb 1q3=9.專業(yè)文檔 珍貴文檔 解得q2=3. . . 2n - 2 1 所以 2 31 bL + b3 + b5

16、+ +b2n-l=1 + 3 + 3 +弓= 從而 和an 1的等差中項 (I)設(shè)Cn -S,n N*，求證：1c 鳥是等差數(shù)列; (n)設(shè) ai=d,Tn=E (-1)匕2,n e N*，求證： 丄 c 丄. k4 kzTk 2d 【答案】(I)詳見解析(n)詳見解析 【解析】 (I )證明：由題意得 b：二嚇二嚇小小 有 cn = -b= -ana = 2dan , 因此 Ji 一務(wù)|二加、所以q罡等差數(shù)列. (11 )證明:町=( (- -斗斗+號)+(或+町)(-&L1 +虬 丫超丫超(、+ 口斗 + -*+a、* I =站仏+%) -加 H (刀+ 1 人 2. 【2016

17、高考新課標(biāo) 3 文數(shù)】已知數(shù)列 的前 n項和sn 徘， 其中0 . (I) 證明4是等比數(shù)列，并求其通項公式； (II) 若 S5 = 31 ，求“ 32 【答案】(I) an 1 ()2； (n)二-1 【解析】 _ 1 1.【2016 高考天津文數(shù)】 已知 曲曲是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列, 公差為d，對任意的n N ,bn是an 2n 所以宕可二勞 g 燦七+1) 1- 并+1 專業(yè)文檔 珍貴文檔 (I)由題意得 a1 = S = 1 川 ia，故 _ 1 , a1 , at 嚴(yán) 0 “ 1 九專業(yè)文檔 珍貴文檔 由 31 = an, Si 1 =1 Qi i 得 Qi i = Qi i -

18、 Qi，即環(huán) 1( - 9 = Qi - 由 at = o, A - 0 得 an = 0，所以 Qn 1 Qn -1 1 因此Q是首項為 1 ，公比為 1 丸 的等比數(shù)列，于是 -1 n 一丄一1）- 由（I E Si -占，由 V 得 W，即（日嗚， 解得- -1. 3.【2016 高考浙江文數(shù)】設(shè)數(shù)列 滿足 Qnd1 7 （|）證Qi 亠2心加卜2 ）, XN*; (II) 若 an 【答案】 （I） 證明見解析；（II）證明見解析. 【解析】由務(wù)務(wù)- -警警1 得 HL 故 eN*j 所以 Ai Ji 專業(yè)文檔 珍貴文檔 w 均有 由科的任意性得殆 2 jr- 與式矛盾* 綜上，對于任

19、意斤亡 N均有|2. 4. 【2016 年高考北京文數(shù)】(本小題 13 分) 設(shè)數(shù)列A: ai , a2 , -ON(N-).如果對小于n(2 - n-N)的每個正整數(shù)k都有 a a1，則G(A)； (3) 證明：若數(shù)列 A 滿足On-anv W 1 ( n=2,3, ，則G(A)的元素個數(shù)不小于 ON - 否則存在% %已已 2有叫 2 ,取正整數(shù)叫叫 log 4 ：ai，所以N |2 口蘭N 印得0 . 記 m =min t = N|2 蘭i 蘭 N q a aj, 則m -2，且對任意正整數(shù) k m,ak乞ai am. 因此 m G(A)，從而 G(A) (川)當(dāng)ON - Q時，結(jié)論成立

20、 以下設(shè)ON P. 由(口)知 GM20” 設(shè) G() = 珂.砒認(rèn)/叫 生 八 c 竹-記兔=1- 貝|曙 an a 對 j = 0:l- 、記 G =；上 E 苦FT； i玉 A a. a。弋- 如果 Gr *0 ,取叫二 min G. 貝 ijrfftfl 1 Ar a- a a . 從而叫 e 蟲小且叫叫= =% % - - 又因為是 G(Q 中的最大元素所以乞=0 一 從而對任意乙fcN f ar f特別地，ax al： 對 f = Ql0 , n N 專業(yè)文檔 珍貴文檔 (I)若202,03,02 2成等差數(shù)列，求4的通項公式； 2 y2 5 4n-3n (H)設(shè)雙曲線x -2=1

21、的離心率為en ，且e2 = 5 ，證明： 2 en yn_i an 3 3 . 【答案】(I) an=qn-1 ； (H)詳見解析. 【解析】 1 都咸立” 所兒 數(shù)列紅是首項為 1,公比為 g 的等比數(shù)列. 從而a 冋冋 t t 由 2 如 勾嗎+2 成等比數(shù)列，可得 2a =3+2,即 2gMg+Z,則(2-l)(g-2)-0? 由已知遭0,故故g-2. 所以屯-2*(neN*). (11)由(I )可知，嚴(yán)一 所以雙曲線 T 一厶 r n 1 的離卜率比=+?=陽亍 fl/ 目 f s 4 宙q=+=解得?- 因為嚴(yán)】嚴(yán)】 嚴(yán)嚴(yán) J J所以廣認(rèn)“ - * _ g 1 于罡哥 一一&am

22、p; & - - e i-q- -q = - - Z 古攵昂一逐一逐 - 4 43 3?- - 6. 【2016 高考上海文數(shù)】(本題滿分 18 分)本題共有 3 個小題，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分，第 3小題滿分 8 分. 若無窮數(shù)列 an 滿足：只要 即=爲(wèi)(卩,qN )，必有ap41 =為卅, 則稱%具有性質(zhì)P. (1 )若On具有性質(zhì) P，且 Q =“2 =2,印=3注=2, as az a-21,求 a3； (2) 若無窮數(shù)列bn是等差數(shù)列，無窮數(shù)列Cn是公比為正數(shù)的等比數(shù)列， 3 =1, R =C| =81, 專業(yè)文檔 珍貴文檔 徘=bn Cn判斷a

23、n是否具有性質(zhì) P，并說明文由； (3) 設(shè)tn是無窮數(shù)列，已知an sinan(n N*)求證： 對任意耳,佝都具有性質(zhì)P 的專業(yè)文檔 珍貴文檔 充要條件為 bn是常數(shù)列 【答案】（1） 03 =16. . （ 2） Q?不具有性質(zhì)?. （3 ）見解析. 【解析】（1）因為硯=6，所以 = 6 , G -a-3 f叫二他=2 . 于杲還+牛+込=氐+ 3 + 2，又因為 G- + G + 7： = 21 ,解得0=16 冊的公差為 20 ,匕的公比為 t, 3 =20w-19+35_fl . 見 *1 *1 304 硯=碼=82 , f 旦匕丁 = 48，= - 、工， 3 所以礙不具有性質(zhì)

24、F. （3）證氐分性： 當(dāng)乞為常數(shù)列時%詁+血 對任意給定的嗎,只要口廠,則由坊+曲勺=耳+ sin %，必有口卻=% 充分性得證. 必要性： 用反證法證明“假設(shè) E 不是常數(shù)列，則存在 k “:, 使得 b =b = = bk =b,而 bknt 式b. 下面證明存在滿足 外1二bn sinan的，使得a（ 二二比1，但 兔2 = 0|b|，貝y f m 二m-b 0 , f m 二m-b ：0，故存在 c使得 f c =0. 取Q=C，因為 a=b+sinan（ 1 蘭n蘭k）,所以 Q=b+sinc=c=a!, 依此類推，得目=a2二二比i二c. 所 = l+20(rt-l)=20n-1

25、9 專業(yè)文檔 珍貴文檔 但a2 二bk i sinak 1 二h 1 sinc= b sine,即比 2 = a i. 所以 g,不具有性質(zhì)二矛盾.專業(yè)文檔 珍貴文檔 必要性得證. 綜上，對任意a, sn：f都具有性質(zhì) 尹的充要條件為 是常數(shù)列. 7. 【2016高考新課標(biāo) 2文數(shù)】Sn為等差數(shù)列 1#的前n項和，且a( = 1 -28.IE 0 =臨8丨，其中 l.x丨表示不超過X的最大整數(shù)，如1.0.91=0JJg99 1=1. (I)求 h, b，匕01； (n)求數(shù)列 u 的前 1 000 項和. 【答案】(I) b=,匕1=1,匕01=2; (n) 1893. 【解析】 如=Igl0

26、1 = 2. ln10: 10?r100T 100?1 + 5. 設(shè)數(shù)列3的公差為 所tA=3tt+l. 又 7；二 5 +ca + + + 彳導(dǎo) 7； =3x2x22 +?x2 日+4x2*+(兀+1)冥 2 聯(lián) I、 27；=3x2x23 + 3x24+4x25- -+O7 + l)x2fHif 兩式作差，得 -7；=3X2X232-24 + + 2/I*1(M+1)X2，1+2 =3 x4 十倫* _D_+1)H2 川 2-1 =-知 2 刈 所以坊=3 科 2 祕 9. 【2016 高考江蘇卷】(本小題滿分 16 分) 記UT2,100l對數(shù)列nN*和U的子集若T =-,定義 S =

27、0;若 T 篩2,，tj，定義 Sr at2 -+atk.例如：T=1,3,66時，Sr = a(任+珈現(xiàn)設(shè) n，N*是公比為 3 的等比數(shù)列，且當(dāng)T=2,4時，Sr=30. (1) 求數(shù)列、a/的通項公式； (2) 對任意正整數(shù)k 100，若T H,2-,k;，求證：耳:比十； (3) 設(shè) C U,D U,&-SD,求證：Q 牟 D-2SD.噸 ;:駕 ,可解得 專業(yè)文檔 珍貴文檔 已知數(shù)列 的前n項和 Sn=3 n2+8 n , Mn / 是等差數(shù)列，且a=tn bni. (i)求數(shù)列 的通項公式； ( + i)n 卑 (n)令=(an ) n .求數(shù)列g(shù) 1的前n項和Tn. (b

28、n +2)n 【答案】(I) b 3n 1 ； (n) Tn=3n.2n2. 【解析】 I )由題青知當(dāng)科王 2 時，弧=S 十 Sp = 6w + 5 , 當(dāng)科=1B 寸，a1 = = 11 j 所以弧=6M+5. 設(shè)數(shù)列毎的公差為d , a. = , + i?-, 11 = 23 亠刀 由 ,叭 ，可解得=4 = 3, 色=知+玄(17 = 2 +3d 1 .業(yè)業(yè) N 3 1 丄丄 所以 bn = 3n+l. (II)由(I )知 3 葉 1).2 (JM + 3) 又人=6+5+8 + 5 彳導(dǎo) 7； =3x2x22+3x23+4x24+ +(w+l)x21, 27； = 3x2x25-

29、3x24+4x25+-+(tt-l)x2, 兩式作差得 -T, =3 2 22 23 2 2n 1 -(n 1) 2n 2 =3 4 4(2二1) _(n 1)2n 2 2-1 -3n 2n 2 所以 Tn =3n 2n 2 【2015 江蘇高考, 11 】數(shù)列an滿足 a1 = 1 ,且 an 1 - a n = n、1 的前 10 專業(yè)文檔 珍貴文檔 項和為 【答案】20 11 【解析】由題意得： 4 =（anan）+（an丄一尋）+ +（a2aj+d = n + n/t 申2皆=n；1） 1 1 1 1 2n 所以 an =2(n -n .嚴(yán)(1 - n -1n 1，So 2亠吃為偶數(shù)一

30、 20 11 【2015 高考天津，文 18】（本小題滿分 13 分） 已知數(shù)列an滿足 an 2 = qa n(q 為實數(shù)，且 q =1), n .二 N *, a1 =1, a? =2，且 a2 + as, as + a4, 成等差數(shù)列 （I）求q的值和an的通項公. lOg2 a2n a2n A 【答案】（I） an = 2n2，n 為奇數(shù)；（）Sn； 22, n 為偶數(shù) 【解析】（I ）由已知，有（fl3+ a）-（02 + a3） = （a4 + -（u5 + a4） J 即角一口廠色 所以= 又因為 故a3=a2=2r 由a3 = W-1 當(dāng)“2 血-1（兀小）時，比二嘰=2=2

31、丁 當(dāng)心（応 A7*）時，a = 4 所以“/的通項公式為勺= 2 : 科為奇數(shù), (ii)由(I)得 bn =log2a2n 一 a2nd 2n 4， 設(shè)數(shù)列 g 的前r項和為Sn，則 專業(yè)文檔 珍貴文檔 Sn =1 漢士 +2 匯*+3 匯家卡 ；Sn 1 2 + n 匯丄 2n 兩式相減得 專業(yè)文檔 珍貴文檔 (1)求數(shù)列an的通項公式; 【答案】(1) Oi =2 ；( 2)10. 【解析】(1由已知生=2 陽一口 1，有弧=$廠卜】=2ait-2a1(n I), 即 = 2(1). 從而込=2 匕“礙=4 一 又因為“ +g 成等差數(shù)列，即紂+碼二 2(勺+1), 所以衛(wèi) 1+斗口】

32、=2(2% + 1),解得 = 2 所以，數(shù)列是首項為2,公比為 2 的等比數(shù)列. 故 = (2)由 C1)得丄二丄 陽 2 1 1 n ，得 |1 一 : 一1| :： 1 ，即 2n 1000 . 2 1000 因為 29 =512 =: 1000 0 , OI an= 4Sn 3. (I)求an 的通項公式;n 2n n _2 2 2* 2* n 2n， 整文得Sn =4 - n n 2 2n- 所以數(shù)列匯!的前n項和為 【2015 高考四川，文 16】 n 2 4 一一n 1 , n 2 - 設(shè)數(shù)列an的前n項和 Sn = 2a n - ai 且ai , a2 1, a3成等差數(shù)列.

33、(2)記數(shù)列 - 的前 n項和Tn，求得|Tn -1| an 1 d a -Id，占芒 0 ）. 假設(shè)存在碼，使得，打云，討依次構(gòu)成等比數(shù)列 貝貝|_口=（一）口亠力，且（a +d = a1 a-ld 令 r = -, Jl = （l-（l+/） 且（1-）（1+盯（- a 八/ 、 . 、 ， 2 化簡得 f + 2t2-2 = 0 （）# 且 r =r+l 將t2 =r+l 代入（事）式， (n)設(shè) bn : an3n ,求數(shù)列bn 的前n項和. （ID a6 4 科十百 專業(yè)文檔 珍貴文檔 +1 + 2（r+1 -=芥 + 3r 匸 r+1 + 3r 二t 1 二 0：貝 ll二, 4

34、顯然t = 不是上面方程得解,矛盾,所以假設(shè)不成立 4 2 3 4 因此不存在ai, d，使得ai , a2, 03, a4依次構(gòu)成等比數(shù)列. n n k n *2 k n 13 k （3） 假設(shè)存在ai , d及正整數(shù)n, k，使得0 , a2 , a3 , a4 依次構(gòu)成等比數(shù)列， n . n Ek, 2fn+ n4k n_Bk 2fnd2k 則 6 6 2d a! d ，且印 d a! 3d a! 2d . d 分別在兩個等式的兩邊同除以 O2嚴(yán) 及aT粋），并令t=-（ - , t式0）, a（ 3 鼻 n 占k $ 2血姝 n* nBk 2fnH2k 則 1 2t 1 t ，且 1

35、t 1 3t 1 2t . 將上述兩個等式兩邊取對數(shù)，得 n 2k l n2t = 2 n，k I nt , 且 n k In 1 t n 3k In 1 3t = 2 n 2k In 1 2t . 化簡得 2k |In 1 2t -In 1 t 二 n |2ln 1 t -In 1 2t , 且3k |In 1 3t -In 1 t 二 n |3In 1 t -In 1 3t 再將這兩式相除，化簡得 In 1 3t In 1 2t 31 n 1 2t In 1 t = 41 n 1 3t In 1 t ）. 令 g 11=4In 1 3t In 1 t -1 n 1 3t In 1 2t -

36、31 n 1 2t In 1 t ,專業(yè)文檔 珍貴文檔 2 (l+3f)；ln(l+3f)-3(l-2rfln(l+2f) + 3(l-ryin(l + f| 令卩(f)二(l_3r)2ln(H)-3(l + 2r ln(l + 2/)+3(l+ri； ln(l+r), 則財=6(L+3)ki(L+引)_2(l+2rlfl(l+2f)+(l+)lii(l+S. 令 (r) = 0(),則(r) = 6|_31n(l+3r)-41n(l + 2;)+ln(14-r). 由容(o) =卩(o) =當(dāng)(o)=眄(o) = o,對 W f 1 、 知輕，巒(f), p(r), g()在 f 亍 0和(

37、0 廠丈 1 上均單調(diào) 故劭只有唯一零點 20,即方程()只有唯一解 20,故假設(shè)不成立. 所以不存在口“ d 及正整數(shù)心使得殲，口廣，口嚴(yán)鐵口:碎依次構(gòu)成等比數(shù)列 【2015 高考浙江，文 20】已知數(shù)列玄1滿足ai = 1且an 1= an - a3 4 ( n. N*) 2 (1 )證明：1 蘭-蘭 2 ( n N*)； an* (2 )設(shè)數(shù)列 W 的前頤和為Sn，證明由蘭半命(-N*) 【答案】(1 )詳見解析；(2 )詳見解析 21 【解析】(1 )由題意得，耳卅可=an - 0，即an卡蘭an， anE，由an=(1_an)an 2 3 得 an=(1-an)(1-an_2)(1-

38、a1)a1 - 0，由 0：an 得， 4 (l+f)(l+2)(1+3r) 令吐二塚()，則促二 12 11+f )(1 ) 11 + 3f) 0 1 1 -an 1,2，即 1 an 2 ； an書 (2 )由題意得 2 _ an 一 an an 2 專業(yè)文檔 珍貴文檔 Sn =a1 _an+ ，由 丄= -O和 1 _a 2得, an an an an 出 1 1 1 1 * “ n 2n，因此 乞an1豈 (n N )，由得 an+ a1 2(n+1) n + 2 S1, 12 4心 【解析】（1）因為+ 3 所兒 2O1 = 3 + 3=3. 當(dāng)n 時,2_L = 3l+3; 此時，

39、2%=2 耳公】=歹一曠、即礙=玳 1 w = L 所兒務(wù)二仁“ I 3 旳珂 （II 因為碼 A 二 1 隅心，所以知=2 3 當(dāng)心 I 時，乞二嚴(yán) 1 跆“二（科-1）尸 所臥 當(dāng)1 時 1 Tn f b2 b3 亠亠bn = 132 3H n -1 31 3 所以 3Tn =1 1 30 2 3尸口 n -1 32亠 兩式相減，得 13 6n 3 6 2 3n 所以T J3 6n 3 12 4 3n 經(jīng)檢驗, n =1 時也適合， 綜上可得：Tn 13 6n 3 = - T - n 12 4 3n 2Tn =： 3 332_ n _1 31 1 n 2 1-3 3 1 -3 -n-1 3

40、1* Xn是曲線yx221在點（1,2）處的切線與 x 軸交點的橫坐 專業(yè)文檔 珍貴文檔 【2015 高考安徽，文 18】設(shè) n N專業(yè)文檔 珍貴文檔 2 2 n -1,2可得 a2 -a p，a3 -a?二 P = a2 =1 P，S3 二 P P 1,因為 a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，所以 4 a 2 二 a 3 a3 * 4(1+p) = 1+3(p2+p+1 戶 3p2_p=0n p=2或0, 3 當(dāng)p =0時，數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列不符合數(shù)列是遞增數(shù)列，所以p. 32 2 2 (n)記 Tn - X1X3 X?n 1，證明 Tn 1 4n 【答案】(I) Xn二0 ； () n十1

41、.1 Tn 4n (I)求數(shù)列Xn的通項公式; 【解析】 (1 )解：y1 = (x + l) =(2+2).1,曲旳亠 1 在點2)處的切線斜率為 22 從而切線方程為片 2 心+ 2 如).令嚴(yán) 0,解得切線空軸交點、的橫坐標(biāo)-占=活 (II)證：由題設(shè)和 I 中的計算結(jié)果知 1 2M_1 - r- 2 刃 T* -對塘戰(zhàn)= 2 、r “4 2 1.2 (2w 1)* 當(dāng)科王 2 時，因為=(-r=. 2n 2n) Qn-l 丹_1)亠一 1 _ 斗幵 2 4w _ 1 W 1 2 n-1 1 X 天一 XX - = . 2 3 n 綜上可得對任意的均有厶二丄一 4/7 所決 7； 4)

42、1.【2014 高考湖南文第 20 題】已知數(shù)列aj滿足印=1,尋出-an (1)若乞門為遞增數(shù)列，且a!, 2a2,3 a3成等差數(shù)列，求P的值； 若p =!,且a?n/是遞增數(shù)列，a2n是遞減數(shù)列，求數(shù)列 的通項公式 2 【答案】 1 3an =4321為奇數(shù)或a di為偶數(shù) n =4 _ 33 2n4 【解析】 (1)因為數(shù)列 曲為遞增數(shù)列，所以an 1 an _ 0 則 an 1 an = pn 二 an41 an = pn，分別令 專業(yè)文檔 珍貴文檔 由題可得an 1 an = 丄=2n丄，*2n .2 - &2n 1 = 2n 1，因為 *2n十是遞增數(shù)列且 a . a :

43、a2n匚是遞減數(shù)列 ，所以 a2n * 32 n 1 且 82 n 平 W a2n 則有 二 a?n 1 a? n 芝 a? n 申一a?n _|2，因為 - 02n-2 rl n 如 7解住呷 當(dāng)亦（U時， 溥鳥,由單調(diào)性可亀 G(O 3) 2 1 . （3 ）由題得，3%曲乞3務(wù)，且數(shù)列內(nèi)4； a k成等差數(shù)列，at = 1 , 1 ；1 (n -1)d 1 nd 31 (n 1)d，二 1)2, (nk-1), d(2 n- 3)一-2 所以 n =1 時，2 乞 d 冬 2 , 2 乞 n k -1 時，d - 2 ，所以 d ：一2 _ 2 3 2n+1 2k-1 3 ._ 2 d

44、- ,2 2k 1 2n 1 = 1000 , Sk 二 d k2 (印 一 d)k = d k2 (1 - d)k 二 1000 2 2 2 2 .2000 -2k _2 ,2，解得，k 32,1999 , k N k -k 2k-1 1 “d=2000 -2k k -k “ k的最大值為 1999，此時公差為 d = - - . 1999 【考點定位】解不等式（組）、數(shù)列的單調(diào)性、分類討論、等差（比）數(shù)列的前 r項和. 7.【2014 高考上海文科第 8 題】設(shè)無窮等比數(shù)列an 的公比為 q，若a lim.（a3 a ），則 q=_ . 【答案】（1） 3, 6 ; （2） 1,2 ； （

45、3 ） k的最大值為 1999，此時公差為d = 3 1999 【解析】 -x6 3 農(nóng) 6 -93 1.3 2）由題得，丁亍兔盂3 礙，且數(shù)列礙是等比數(shù)列，坷=1, 叫-扣。,.如 4 q aYg _ 3) 5 Q n 二當(dāng)=1 時=5+1 鯊鈿對刃恒成立，滿足題意. 3 專業(yè)文檔 珍貴文檔 【答案】 土逅 2 項和Tn . 2-n_2 【答案】(1)Sh 二 n(n-3)； (2)人二 【解析】( 1)鳥=2丐=2工6役4 2?6d =2?7d,d =2，所以 Sr = -2 科 + H07 - 1) = - 3) 將fg求導(dǎo)得fr(x) = 2 ln2,所以子二嚴(yán)在(礙上 J 處的切線為

46、 一工=221 In ；令$ = 0 得一鳥=(2丸丸 In 2)x(xa3).x = aa Ln2 所tkd=2l =1._aH =nI 傢= 2”所以牛 廿一.Udn F 1 2 3 旳一 甘刖旳項和町=寸+卡+去 +歹丁十、 Jn 兩邊乘以 2 得：-專+” A. 【考點定位】等差數(shù)列與等比數(shù)列 9 .【2014 高考天津第 19 題】已知q和 n均為給定的大于 1 的自然數(shù).設(shè)集合 M = 0,1,2 ,q- 1, + Xnqn-1,Xj ? M ,i 1,2, ,n: a 【解析】由題意叫計知1_; 2 a1 1 -q ，:叭 0,q 1, -1 +J5 二q 二 2 【考點定位】

47、無窮遞縮等比數(shù)列的和 8.【2014 高考四川第 16 題】設(shè)等差數(shù)列an 的公差為d， 點(an,)在函數(shù) f (x) = 2x的圖象上 (1) 若a = _2，點(a8, 4b7)在函數(shù)f (x)的圖象上，求數(shù)列 an的前n項和S (2) 若a1 =1 ,函,求數(shù)列 ln 2 的前n 2n 1 1 -得:2Tn_T! 1 久二-；，所以八1廠2 集合 Ahl x x = x1 + x2q + 專業(yè)文檔 珍貴文檔 (I)當(dāng)q=2, n = 3時，用列舉法表示集合 A ; ()設(shè) s,t?A, s= ai+ sbq+ + anqn-1, t = + b2q + +dqn-1，其中 ai , b

48、i ? M , i 1,2, , n .證明：若 an bn，則 s t. 【答案】( (1 ) A= 0,1, 2,3,4,5, 6,7 ; ( 2 )詳見解析 【解析】( (1 )當(dāng) q = 2 , n = 3 時，M = 0,1 , A= x|x=為 + x?2 X3孜2 , x M , i = 1,2,3,可得， =0,1.2,33,5.6,7. (2由應(yīng)=珂+角 g - 口曲.t = 込 g - $ $左左2 *礙=玄 wAf , f = 1. 2T tt7M及 込 丈 br oj 彳導(dǎo) s t = ：,】一】一q )+1 a _h 1 g _ 5._- =+ 工 q 冬(裁一 1) + 1)孕 + . ,I 1 . 一彳 一 1 曠-gi -一 7- = -1 0 .注 01c5040J3n5 時,H-L 叱4氏二 2=（小） 1 1 1 fl i）由（ 1）知，Cn葛花藥書n+1丿 nn1 n1 n2 n1 n-2 nn1 551 2門 _ 2卅 2門卅 0