同濟大學高等數學《導數及其應用》word教案

1、 第 9 次課 2 學時上次課復習：本次課題（或教材章節(jié)題目）：第二章 導數與微分第一節(jié) 導數的概念教學要求： 理解導數的定義，理解導數的幾何意義，掌握函數在一點可導與連續(xù)的區(qū)別，會利用導數的定義求一些簡單函數的導數重 點：導數的定義，可導與連續(xù)的聯(lián)系和區(qū)別難 點：導數的定義及不同形式的掌握教學手段及教具：板演式，使用電子教案講授內容及時間分配： 引例 15分鐘 導數的定義 25分鐘 倒數的幾何意義 10分鐘 連續(xù)與可導的關系 15分鐘 求導舉例 35分鐘課后作業(yè)習題 2-1 3 4 5 （5 7） 9 11 12 13 15 18參考資料高等數學同步精講一書第二章 導數與微分導數和微分是高等

2、數學中的重要內容之一，也是今后討論一切問題的基礎。導數反映出函數相對于自變量的變化快慢的程度，而微分則指明當自變量有微小變化時函數大體上變化多少，它從根本上反映了函數的變化情況。本章主要學習和討論導數和微分的概念以及它們的計算方法，以后將陸續(xù)的介紹它們的用途。 §2、1 導數的概念一、 引例1、 切線問題：切線的概念在中學已見過。從幾何上看，在某點的切線就是一直線，它在該點和曲線相切。準確地說，曲線在其上某點的切線是割線當沿該曲線無限地接近于點的極限位置。設曲線方程為，設點的坐標為，動點的坐標為，要求出曲線在點的切線，只須求出點切線的斜率。由上知，恰好為割線的斜率的極限。我們不難求得

3、的斜率為：；因此，當時，其極限存在的話，其值就是，即。若設為切線的傾角，則有。2、速度問題：設在直線上運動的一質點的位置方程為（表示時刻），又設當為時刻時，位置在處，問：質點在時刻的瞬時速度是多少？為此，可取近鄰的時刻，也可取，在由到這一段時間內，質點的平均速度為,顯然當與越近，用代替的瞬時速度的效果越佳，特別地，當時，某常值，那么必為點的瞬時速度，此時， 二、 導數的定義綜合上兩個問題，它們均歸納為這一極限（其中為自變量在的增量，為相應的因變量的增量），若該極限存在，它就是所要講的導數。定義：設函數在點的某鄰域內有定義，且當自變量在點有一增量（仍在該鄰域中）時，函數相應地有增量，若增量比極限

4、：即存在，就稱函數 在x0處可導，并稱這個極限值為在點的導數，記為，或。即等等，這時，也稱在點可導或有導數，導數存在。注 1：導數的常見形式還有：； ； ； （h即自變量的增量） 2：反映的是曲線在上的平均變化率，而是在點的變化率，它反映了函數隨而變化的快慢程度。 3：這里與中的與是一個整體記號，而不能視為分子或與分母，待到后面再討論。 4：若極限即不存在，就稱在點不可導。特別地，若，也可稱在的導數為，因為此時在點的切線存在，它是垂直于軸的直線。若在開區(qū)間內的每一點處均可導，就稱在內可導，且對，均有一導數值，這時就構造了一新的函數，稱之為在內的導函數，記為，或，等。事實上， 或注 5：上兩式中

5、，為內的某一點，一旦選定，在極限過程中就為不變，而與是變量。但在導函數中，是變量。 6：在的導數就是導函數在點的值，不要認為是； 7：為方便起見，導函數就稱為導數，而是在點的導數?！纠?】 設，證明欲，那么。證明：因為所以?！纠?】 若在點可導，問：？解： 。反過來，亦證明：。三、 求導數舉例【例1】求函數（為常數）的導數。解： 即注：這里是指在任一點的導數均為0，即導函數為0?！纠?】求（為正整數）在點的導數。解：即，亦即，若將視為任一點，并用代換，即得注：更一般地，（為常數）的導數為，由此可見， , 。【例3】 求在點的導數。解： ,即 同理：若視為任意值，并用代換，使得，即。注：同理可證

6、：?！纠?】 求的導數。解：所以。注：特別地，?！纠?】 求的導數。解：。注 1：等最后講到反函數求導時，可將作為的反函數來求導； 2：一般地說，求導有四步：一、給出；二、算出；三、求增量比；四、求極限。3、?！纠?】 討論在處的導數。解：考慮，由§1.4例4知不存在，故在點不可導。 然而，及，這就提出了一個單側導數的問題，一般地，若，即即 存在，就稱其值為在點的右（左）導數，并記為，即 。定理1：在點可導在點的左導數和右導數均存在且相等，即 。注1：例6的左導數為-1，右導數為1。因為，所以在點不可導； 2：例6也說明左可導又右可導，也不能保證可導； 3：左、右導數統(tǒng)稱為單側導數；

7、 4：若在內可導，且在點右可導，在點左可導，即存在，就稱在上可導。四、 導數的幾何意義由前面的討論知：函數在的導數就是該曲線在點處的切線斜率，即，或為切線的傾角。從而，得切線方程為。若，或 切線方程為：。過切點，且與點切線垂直的直線稱為在點的法線。如果，法線的斜率為，此時，法線的方程為：。 如果=0，法線方程為?！纠?】 求曲線在點處的切線與法線方程。解：由于，所以在處的切線方程為： 當時，法線方程為： 當時，法線方程為： ?！纠?】求等邊雙曲線在點處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和法線方程。解 根據導數的幾何意義知道，所求切線的斜率為 由于 于是 從而所求的切線方程為 即所求的法線斜

8、率為 于是所求的法線方程為 ，即 五 函數的可導性與連續(xù)性的關系定理2：如果函數在點可導，那么在該點必連續(xù)。證明：由條件知：是存在的，其中， 由§1、5定理1(i) （為無窮?。?顯然當時，有，所以由§1、9定義1，即得函數在點連續(xù)，證畢。注：本定理的逆定理不成立，即連續(xù)未必可導。 反例：在點連續(xù)，但不可導?！纠?】 求常數使得在點可導。解：若使在點可導，必使之連續(xù)，故 。 又若使在點可導，必使之左右導數存在，且相等，由函數知，左右導數是存在的，且， 所以若有，則，此時在點可導，所以所求常數為 。由以上討論知，函數在某點連續(xù)是函數在該點可導的必要條件，但不是充分條件。 小結

9、 本節(jié)講述了導數的定義、導數的幾何意義、函數可導和連續(xù)的關系。同學們一定要掌握和理解導數的定義，并會用定義求一些簡單函數的導數。第 10 次課 2 學時上次課復習：導數的定義導數的幾何意義函數的可導與連續(xù)的關系 導數定義的幾種不同形式本次課題（或教材章節(jié)題目）第二節(jié) 函數的和、差、積、商的求導法則教學要求： 掌握導數的四則運算法則，掌握基本初等函數的的求導公式 會計算初等函數的導數重 點：求導法則難 點：法則的證明教學手段及教具：板演式教學，以講授為主，使用電子教案講授內容及時間分配：函數和、差、的求導法則 15分鐘函數的積的求導法則 15分鐘函數的商的求導法則 25分鐘運算法則的應用舉例 2

10、5分鐘處理習題1 -11 20分鐘課后作業(yè)習題 22 2、（2 5 8 12 14 19） 3、（3）參考資料高等數學同步精講一書§2、2函數的和、差、積、商的求導法則上一節(jié)學習了導數定義，利用定義可求一些簡單的函數的導數。但對比較復雜的函數直接用定義求導往往很困難。下面介紹求導數的幾個基本法則和公式。法則 1：若函數和在點都可導，則在點也可導，且 。即兩個可導函數之和（差）的導數等于這兩個函數的導數之和（差）。證明： = 所以。注 ：本法則可推廣到任意有限個可導函數的情形。 ：本法則的結論也常簡記為。 例如法則2：若和在點可導，則在點可導，且有。證明： = = = =即函數積的求導

11、法則：兩個可導函數乘積的導數等于第一個因子的導數與第二個因子的乘積，加上第一個因子與第二個因子的導數的乘積。 注 ：若取為常數，則有：； ：本法則可推廣到有限個可導函數的乘積上去，例如： 等。法則3：若都在點可導，且，則在點也可導，且。證明： = = =即 函數商的求導法則：兩個可導函數之商的導數等于分子的導數與分母的乘積減去分母的導數與分子的乘積，再除于分母的平方。注：本法則也可通過，及的求導公式來得；：本公式簡化為；：以上法則13中的，若視為任意，并用代替，使得函數的和、差、積、商的求導函數公式?！纠?】 設，求。解： 。【例2】 設，求。解：。【例3】 求解 即 正切函數求導公式【例4】

12、 求 解 即 正割函數求導公式用類似的方法，還可求得余切函數及余割函數的求導公式： 第 13 次課 2學時上次課復習：導數的四則運算法則 基本初等函數的求導公式本次課題（或教材章節(jié)題目）：第三節(jié)反函數的導數、復合函數的求導法則教學要求： 掌握反函數的求導法則，掌握復合函數的求到發(fā)則，會求常見的反函數和復合函數的導數，會求初等函數的導數重 點： 反函數的求導 復合函數的求導難 點： 復合函數的求導教學手段及教具：板演式教學，使用電子教案講授內容及時間分配： 反函數的求導法則 20分鐘 復合函數的求導法則 30分鐘 反三角函數和對數函數的導數 20分鐘 復合函數的求導法則應用舉例 20分鐘課后作業(yè)

13、習題2-3 1 （7、9、10） 2（7、8、9、10）3 （5、7、8） 4 5參考資料高等數學同步精講一書注：本頁為每次課教案首頁§2.3 反函數的導數、復合函數的求導法則一、反函數的導數定理1：設為的反函數，若在的某鄰域內連續(xù)，嚴格單調，且，則在（即點有導數），且。證明： , 所以 。注：，因為在點附近連續(xù)，嚴格單調； ：若視為任意，并用代替，使得或，其中均為整體記號，各代表不同的意義； ：和的“”均表示求導，但意義不同；：定理1即說：反函數的導數等于直接函數導數的倒數； ：注意區(qū)別反函數的導數與商的導數公式?！纠?】 求的導數，解：由于，是的反函數，由定理1得：。注：同理可證

14、：； ：?！纠?】 求的導數。解：利用指數函數的導數，自己做。二、復合函數的求導公式到目前為止，對于 ，那樣的函數我們還不知其可導否，若可導怎樣求導數。這就是要學習的復合函數的求導問題。 復合函數的求導問題是最最常見的問題，對一復合函數往往有這二個問題：1.是否可導2.即使可導，導數如何求？復合函數的求導公式解決的就是這個問題。 定理2（復合函數求導法則）：如果在點可導，且在 點也可導，那么，以為外函數，以為內函數，所復合的復合函數在點可導，且，或證明： =所以。注 ：若視為任意，并用代替，便得導函數：，或或。 ：與不同，前者是對變量求導，后者是對變量求導。：注意區(qū)別復合函數的求導與函數乘積的

15、求導。：復合函數求導可推廣到有限個函數復合的復合函數上去，如：等。【例3】 求的導數。解：可看成與復合而成， ?！纠?】 求（為常數）的導數。解：是，復合而成的。所以。這就驗證了前面§2、1的例4。由此可見，初等函數的求導數必須熟悉(i)基本初等函數的求導；(ii)復合函數的分解； (iii)復合函數的求導公式；只有這樣才能做到準確。在解題時，若對復合函數的復合過程非常熟悉，可不必寫出中間變量，而直接寫出結果?！纠?】，求。解。 【例6】，求。解： ?！纠?】，求。解：=?！纠?】，求。解：?！纠?】，即。同理，?！纠?0】，求。解：。同理： 。第 14 次課 2 學時上次課復習：本

16、次課題（或教材章節(jié)題目）：第四節(jié) 初等函數的導數、雙曲函數和反雙曲函數的導數第五節(jié) 高階導數教學要求： 會計算雙曲和反雙曲函數的倒數、掌握萊布尼茲公式 會求簡單的高階導數重 點：初等函數的求導問題難 點：握萊布尼茲公式教學手段及教具：板演式，使用電子教案講授內容及時間分配： 初等函數的求導問題 20分鐘 雙曲函數和反雙曲函數的導數 25分鐘 高階導數 35分鐘 處理前幾節(jié)課的部分習題 20分鐘課后作業(yè)習題 2-4 2（3 8 ） 3（2 9） 習題2-5 1（3 9 10） 10（3 5） 11 （3）參考資料高等數學同步精講一書注：本頁為每次課教案首頁§2、4 初等函數的求導公式

17、雙曲函數與反雙曲函數的導數一、初等函數的求導問題1、 數和基本初等函數的求導公式：（1） （2）（3） （4）（5） （6） （7） （8）（9） （10）（11） （12） （13） （14） （15） （16）（17） （18）（19） （20）（21）（22）2、 函數的四則運算的求導法則：設，則(i) (ii) (iii) (iv) 3、 復合函數的求導法則：設的導數為： 或 或 二、雙曲函數與反雙曲函數的導數 雙曲函數和反雙曲函數都是初等函數，它們的導數都可有前面的求導公式和求導法則求出。由 ， 有所以，雙曲正弦的求導公式為 類似地，由 得 由 得 即 由 得 由 得 由 得以上幾個

18、公式可由同學們自己推導出來。§ 2.5 高階導數 前面講過，若質點的運動方程，則物體的運動速度為，或 ，而加速度是速度對時間的變化率，即是速度對時間的導數： 或，由上可見，加速度是的導函數的導數，這樣就產生了高階導數，一般地，先給出下面的定義： 定義：若函數的導函數在點可導，就稱在點的導數為函數在點處的二階導數，記為，即，此時，也稱函數在點處二階可導。 注：若在區(qū)間上的每一點都二次可導，則稱在區(qū)間上二次可導，并稱為在上的二階導函數，簡稱二階導數； ：仿上定義，由二階導數可定義三階導數，由三階導數可定義四階導數，一般地，可由階導數定義階導數； ：二階以上的導數稱為高階導數，高階導數與高

19、階導函數分別記為：，或與或； ：開始所述的加速度就是對的二階導數，依上記法，可記或；：未必任何函數所有高階導數都存在； ：由定義不難知道，對函數，其導數（也稱為一階導數）的導數為二階導數，二階導數的導數為三階導數，三階導數的導數為四階導數，一般地，階導數的導數為階導數。因此，求高階導數是一個逐次向上求導的過程，無須其它新方法，只用前面的求導方法就可以了?！纠?】，求。解：?！纠?】，求各階導數。解：，顯然易見，對任何，有，即?！纠?】，求各階導數。解： 一般地，有，即 。同樣可求得 ?！纠?】，求各階導數。解：，一般地，有 即 ?！纠?】，為任意常數，求各階導數。解：，一般地， 即 。(i)

20、當為正整數時，時，； 時，；時，；(ii)當為正整數時，必存在一自然數，使得當，在處不存在。如：然而，在處是無意義，即說明在處無導數，或在處不存在?！纠?】，求。解： ，。注：高階導數有如下運算法則：(1)，(2)，+。其中。 Leibinz公式【例7】上例中，求。解： =?！纠?】驗證滿足關系式：（其中為任意常數）。解：所以?！纠?】驗證滿足關系式：。解：又所以。第 15 次課 2 學時上次課復習： 雙曲和反雙曲函數的導數高階導數萊布尼茲公式本次課題（或教材章節(jié)題目）：第二章 導數與微分第六節(jié) 隱函數的導數 由參數方程確定的函數的導數 相關變化率教學要求： 掌握隱函數的概念，掌握隱函數的求導

21、法則，掌握由參數方程所確定的函數的導數，了解相關變化率重 點：隱函數的導數，參數方程的導數難 點：隱函數的導數教學手段及教具：板演式，使用電子教案講授內容及時間分配： 隱函數的導數 25分鐘 由參數方程確定的函數的導數 35分鐘 相關變化率 25分鐘 對數求導法 15分鐘課后作業(yè)習題 2-6 1（2 3 ）2 3（3） 4 （1 3）5（1）7（2）8（2 4）9（2） 12參考資料高等數學同步精講一書注：本頁為每次課教案首頁§2、6 隱函數的導數 由參數方程所確定的函數的導數 相關變化率一、隱函數的導數函數表示兩個變量與之間的對應關系，這種對應關系可以用各種不同方式表達。前面我們遇

22、到的函數，例如，等，這種函數表達方式的特點是：等號左端是因變量的符號，而右端是含有自變量的式子，當自變量取定義域內任一值時，由這式子能確定對應的函數值。用這種方式表達的函數叫做顯函數。有些函數的表達方式卻不是這樣，例如，方程表示一個函數，因為當變量在內取值時，變量有確定的值與之對應。例如，當時，；當時，等等。這樣的函數稱為隱函數。一般地，如果在方程中，當取某區(qū)間內的任一值時，相應地總有滿足這方程的唯一的值存在，那么就說方程在該區(qū)間內確定了一個隱函數。把一個隱函數化成顯函數，叫做隱函數的顯化。例如從方程解出，就把隱函數化成了顯函數。隱函數的顯化有時是有困難的，甚至是不可能的。但在實際問題中，有時

23、需要計算隱函數的導數，因此，我們希望有一種方法，不管隱函數能否顯化，都能直接由方程算出它所確定的隱函數的導數來。下面通過具體例子來說明這種方法。例1 求由方程所確定的隱函數的導數。解：我們把方程兩邊分別對求導數，注意是的函數。方程左邊對求導得，方程右邊對求導得 。由于等式兩邊對x的導數相等，所以，從而 。在這個結果中，分式中的是由方程所確定的隱函數。隱函數求導方法小結：（1）方程兩端同時對求導數，注意把當作復合函數求導的中間變量來看待，例如。（2）從求導后的方程中解出來。（3）隱函數求導允許其結果中含有。但求一點的導數時不但要把值代進去，還要把對應的值代進去。例2 ，確定了是的函數，求。解：，

24、時，。課堂練習：（1），求。（2），求。（3），求。（4），求。特殊方法：對數求導法對于冪指函數是沒有求導公式的，我們可以通過方程兩端取對數化冪指函數為隱函數，從而求出導數。例3 求的導數。解：這函數既不是冪函數也不是指數函數，通常稱為冪指函數。為了求這函數的導數，可以先在兩邊取對數，得；上式兩邊對求導，注意到是的函數，得，于是 。由于對數具有化積商為和差的性質，因此我們可以把多因子乘積開方的求導運算，通過取對數得到化簡。例4 求的導數。解：先在兩邊取對數（假定），得，上式兩邊對求導，注意到是的函數，得，于是 。當時，；當時，；用同樣方法可得與上面相同的結果。注：關于冪指函數求導，除了取對數的

25、方法也可以采取化指數的辦法。例如，這樣就可把冪指函數求導轉化為復合函數求導；例如求的導數時，化指數方法比取對數方法來得簡單，且不容易出錯。二、由參數方程確定的函數的導數若由參數方程確定了是的函數，如果函數具有單調連續(xù)反函數，且此反函數能與函數復合成復合函數，那么由參數方程所確定的函數可以看成是由函數、復合而成的函數?，F在，要計算這個復合函數的導數。為此，再假定函數、都可導，而且。于是根據復合函數的求導法則與反函數的導數公式，就有，即 。上式也可寫成 。如果、還是二階可導的，由還可導出對的二階導數公式：，即 【例1】 求在處切線方程。解、當時，曲線上相應的點的坐標是 ，曲線在點的切線斜率為；代入

26、點斜式方程，即得曲線在點的切線方程 ，化簡后得 【例2】已知， 求。解 n為整數 （， 為整數） 三、相關變化率設及都是可導函數，而變量與間存在某種關系，從而變化率與間也存在一定的關系。這兩個相互依賴的變化率稱為相關變化率。我們研究它們之間的關系，便可從一個變化率求出另一個變化率?！纠?】 一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升，其速率為140m/min（分）。當氣球高度為500m時，觀察員視線的仰角為增加率是多少？ 解 設氣球上升ts（秒）后，其高度為h，觀察員視線的仰角為,則tan=其中及h都是時間t的函數。上式兩邊對t求導，可得sec=已知=140/min.又當h=500m時，tan

27、=1,sec=2.帶如上式得2=.140，所以 =0.14(rad(弧度)/min).即觀察員視線得仰角增加率是0.14/min.第 16 次課 2 學時上次課復習： 隱函數的導數由參數方程確定的函數的導數對數求導法 本次課題（或教材章節(jié)題目）：第二章 導數與微分 第七節(jié) 函數的微分教學要求： 理解函數的微分概念，掌握函數的微分與導數之間，熟悉微分的運算法則，會計算函數的微分。重 點：微分得定義，可導與可微之間的聯(lián)系難 點：微分形式的不變性教學手段及教具：板演式，使用電子教案講授內容及時間分配： 微分的定義 20分鐘 基本初等函數的微分公式 15分鐘 微分四則運算法則 15分鐘 復合函數的微分

28、法則 20分鐘 求導微分舉例 30分鐘課后作業(yè)習題 2-7 1 3（3 7 9） 4 （4 7 ）參考資料高等數學同步精講一書注：本頁為每次課教案首頁§7 函數的微分一、微分的定義計算函數增量是我們非常關心的。一般說來函數的增量的計算是比較復雜的，我們希望尋求計算函數增量的近似計算方法。圖2-1先分析一個具體問題，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由變到（圖2-1），問此薄片的面積改變了多少？設此薄片的邊長為，面積為，則是的函數：。薄片受溫度變化的影響時面積的改變量，可以看成是當自變量自取得增量時，函數相應的增量，即。從上式可以看出，分成兩部分，第一部分是的線性函數，即圖中帶

29、有斜線的兩個矩形面積之和，而第二部分在圖中是帶有交叉斜線的小正方形的面積，當時，第二部分是比高階的無窮小，即。由此可見，如果邊長改變很微小，即很小時，面積的改變量可近似地用第一部分來代替。一般地，如果函數滿足一定條件，則函數的增量可表示為，其中是不依賴于的常數，因此是的線性函數，且它與之差，是比高階的無窮小。所以，當，且很小時，我們就可近似地用來代替。定義 設函數在某區(qū)間內有定義，及x在這區(qū)間內，如果函數的增量可表示為 ， 其中是不依賴于的常數，而是比高階的無窮小，那么稱函數在點是可微的，而叫做函數在點相應于自變量增量的微分，記作，即 。下面討論函數可微的條件。設函數在點可微，則按定義有式成立。式兩邊除以，得