浙江大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計論文

1、浙江大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)設(shè)計優(yōu)化方法與程序設(shè)計研究一最優(yōu)化理論與方法綜述優(yōu)化理論是以數(shù)量分析為基礎(chǔ)，以尋找具有確定的資源、技術(shù)約束的系統(tǒng)最大限度地滿足特定活動目標(biāo)要求的方案為目的，幫助決策者或決策計算機(jī)構(gòu)對其所控制的活動進(jìn)行實(shí)現(xiàn)優(yōu)化決策的應(yīng)用性理論。優(yōu)化理論又稱為數(shù)學(xué)規(guī)劃，依據(jù)優(yōu)化理論對具體活動進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法成為優(yōu)化方法。在中國，優(yōu)化理論通常被劃為運(yùn)籌學(xué)的范疇，所以在有些書籍中，線性規(guī)劃理論被稱為運(yùn)籌學(xué)的一個分支。優(yōu)化理論的主要分支結(jié)構(gòu)為：優(yōu)化理論線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃目標(biāo)規(guī)劃非線性規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃隨機(jī)規(guī)劃最優(yōu)化理論與算法是一個重要的數(shù)學(xué)分支，它所研究的問題是討論在眾多的方案中什么樣的方案最優(yōu)以

2、及怎樣找出最優(yōu)方案。這類問題普遍存在。例如，工程設(shè)計中怎樣選擇設(shè)計參數(shù)，使得設(shè)計方案滿足設(shè)計要求，又能降低成本；資源分配中，怎樣分配有限資源，使得分配方案既能滿足各方面的基本要求，又能獲得好的經(jīng)濟(jì)效益；生產(chǎn)評價安排中，選擇怎樣的計劃方案才能提高產(chǎn)值和利潤；原料配比問題中，怎樣確定各種成分的比例，才能提高質(zhì)量，降低成本；城建規(guī)劃中，怎樣安排工廠、機(jī)關(guān)、學(xué)校、商店、醫(yī)院、住戶和其他單位的合理布局，才能方便群眾，有利于城市各行各業(yè)的發(fā)展；農(nóng)田規(guī)劃中，怎樣安排各種農(nóng)作物的合理布局，才能保持高產(chǎn)穩(wěn)產(chǎn)，發(fā)揮地區(qū)優(yōu)勢；軍事指揮中，怎樣確定最佳作戰(zhàn)方案，才能有效地消滅敵人，保存自己，有利于戰(zhàn)爭的全局；在人類活

3、動的各個領(lǐng)域中，諸如此類，不勝枚舉。最優(yōu)化這一數(shù)學(xué)分支，正是為這些問題的解決，提供理論基礎(chǔ)和求解方法，它是一門應(yīng)用廣泛、實(shí)用性強(qiáng)的學(xué)科。最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的一般形式為： 無約束優(yōu)化問題的解法解析解法數(shù)值解法：最速下降法；Newton法；共軛梯度法；擬Newton法；信賴域法約束優(yōu)化問題的解法解析方法：Lagrange法數(shù)值解法：外罰函數(shù)法內(nèi)障礙罰函數(shù)方法廣義Lagrange乘子法序列二次規(guī)劃方法線性規(guī)劃的解法：單純形法：小型對偶單純形法內(nèi)點(diǎn)算法：大型整數(shù)規(guī)劃的解法：分支定界法割平面法求解非線性規(guī)劃問題的MATLAB命令為 1)x=constr(fun,x0) 2)x=constr(fun,x0

4、,options) 3)x=constr(fun,x0,options,vlb,vub)實(shí)例：設(shè)有400萬元資金, 要求4年內(nèi)使用完, 若在一年內(nèi)使用資金x萬元, 則可得效益萬元(效益不能再使用),當(dāng)年不用的資金可存入銀行, 年利率為10%. 試制定出資金的使用計劃, 以使4年效益之和為最大.設(shè)變量表示第i年所使用的資金數(shù),則有 建立函數(shù)文件FUN44.Mfunction f,g=fun44(x)f=-(sqrt(x(1)+sqrt(x(2)+sqrt(x(3)+sqrt(x(4);g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*

5、x(2)+x(3)-484;g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;鍵入命令x0=1;1;1;1;vlb=0;0;0;0;vub=;options=;x=constr('fun44',x0,options,vlb,vub)fun44(x)得到 二多因素條件下作物施肥效果分析本文是關(guān)于作物施肥數(shù)量與結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題，根據(jù)不同目標(biāo)對施肥量與肥料搭配比例進(jìn)行調(diào)整，達(dá)到各目標(biāo)的最優(yōu)。首先，基于一元線性回歸模型，以一種肥料作為自變量，另外兩種肥料固定在第七水平，建立了六個一元回歸方程，分別研究某一種肥料變化時，該肥料施肥量與產(chǎn)量的關(guān)系。根

6、據(jù)散點(diǎn)圖趨勢，初步選取適當(dāng)?shù)囊辉瘮?shù)，為了使散點(diǎn)圖更直觀準(zhǔn)確，將原數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理，得到0到1間的值。利用eviews軟件進(jìn)一步對一元函數(shù)進(jìn)行擬合，選取顯著性最高的擬合結(jié)果，求解時，對非線性的回歸方程，通過取對數(shù)將其線性化，得到結(jié)果后再將其轉(zhuǎn)換成原函數(shù)形式，最終得到六個反映施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的一元回歸模型。為了提高六個回歸方程整體的顯著性，本文以三種肥料的施肥量同時作為自變量，建立三元二次回歸模型，檢驗(yàn)均通過，并具有高度的顯著性，擬合效果較好。其次，基于問題一中的一元線性回歸模型與三元二次回歸模型分別求解回歸方程的最大值，即產(chǎn)量最大值。比較兩個模型的結(jié)果，看出，由三元二次回歸模型得到的產(chǎn)量更

7、大，其中土豆與生菜產(chǎn)量的最大值分別為44.95t/ha，23.04t/ha。土豆對應(yīng)的N、P、K肥料的施肥量分別為293.13kg/ha，250.0kg/ha，540.0kg/ha。生菜對應(yīng)的N、P、K肥料的施肥量分別為212.06kg/ha，426.91kg/ha，665.69kg/ha。再次，考慮到施肥的經(jīng)濟(jì)性，以產(chǎn)值和施肥費(fèi)用作為自變量，以總收益作為因變量，建立收益最大化模型。分別基于反映產(chǎn)量與施肥量關(guān)系的一元回歸模型與三元二次回歸模型，進(jìn)行求解。由一元回歸模型得到結(jié)果，當(dāng)生菜K肥施肥量無窮大時，收益也趨近于無窮大，顯然不合理，本文以一元二次函數(shù)對六個回歸方程重新進(jìn)行擬合，檢驗(yàn)看出，顯著

8、性不高，但基于新的回歸方程得到的結(jié)果更加合理，更符合實(shí)際情況，具有較高的實(shí)用性?；谌位貧w模型進(jìn)行求解時，通過（0,0,0,0）點(diǎn)的引入，增加了三種肥料交互影響產(chǎn)生的交叉項(xiàng)，避免了肥料搭配不合理造成的大量浪費(fèi)。比較兩種模型的結(jié)果看出，基于三元二次回歸方程得到的收益更大，土豆與生菜的最大值分別為102500元/公頃，52023元/公頃。再次，引入環(huán)保因素時，通過兩種方法實(shí)現(xiàn)，一是基于收益最大化模型，將污染指數(shù)作為限制條件，以收益最大為目標(biāo)，建立線性規(guī)劃收益最大化模型。二是引入目標(biāo)偏差變量，以偏差變量之和最小為目標(biāo)，以污染指數(shù)，肥料搭配比例作為約束條件，建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，以環(huán)境指數(shù)小于25

9、為前提，追求收益盡量大。比較兩種模型的結(jié)果看出，多目標(biāo)規(guī)劃的的結(jié)果更符合本問的要求，土豆與生菜的最大收益值分別為，環(huán)境指數(shù)為25，屬于輕度污染， K肥施肥量超過滿意值，但K肥適當(dāng)增加能夠增大收益，對土地沒有造成污染，收益實(shí)際值與滿意值相差不大，結(jié)果比較合理，符合本問的要求。 最后對模型應(yīng)用效果作量化估計，難點(diǎn)在于如何對優(yōu)化模型進(jìn)行改進(jìn)，得到評價模型。本文利用多目標(biāo)規(guī)劃結(jié)果中滿意值與偏差值的差值占滿意值的比例作為單目標(biāo)的滿意度，利用層次分析法得到單目標(biāo)權(quán)重值，根據(jù)單目標(biāo)的權(quán)重值與滿意度求和可以得到多目標(biāo)滿意度，根據(jù)多目標(biāo)總體的滿意度對模型應(yīng)用效果作量化估計。從而建立基于層次分析法與多目標(biāo)規(guī)劃的評

10、價模型。最后對模型的推廣作初步討論，驗(yàn)證了模型較高的應(yīng)用價值。 1.問題的重述 農(nóng)作物生長所需的營養(yǎng)素主要是氮(N)、磷(P)、鉀(K)。某作物研究所在某地區(qū)對土豆與生菜做了一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下列表所示，其中ha 表示公頃，t 表示噸，kg 表示公斤。當(dāng)一個營養(yǎng)素的施肥量變化時，總將另兩個營養(yǎng)素的施肥量保持在第七個水平上，如對土豆產(chǎn)量關(guān)于N 的施肥量做實(shí)驗(yàn)時，P 與K 的施肥量分別取為196kg/ha與372kg/ha。(1)試分析施肥量與產(chǎn)量之間關(guān)系；(2)試以作物產(chǎn)量最大化為目標(biāo)，建立作物施肥數(shù)量與結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型，并求解每公頃土豆和生菜的施肥量的數(shù)量和結(jié)構(gòu)；(3)作物產(chǎn)量最大化，不

11、一定是最經(jīng)濟(jì)的，請考慮施肥的經(jīng)濟(jì)性，建立作物施肥數(shù)量與結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型，并根據(jù)主要肥料的營養(yǎng)素含量、市場價格情況，以及農(nóng)產(chǎn)品的價格情況等，優(yōu)化每公頃土豆和生菜的肥料使用數(shù)量與結(jié)構(gòu)；(4)有研究表明，我國大部分地區(qū)作物生產(chǎn)的施肥量超過了土地承受能力，除加重農(nóng)民負(fù)擔(dān)外，土壤退化、江河湖海的富營養(yǎng)化正在成為農(nóng)業(yè)和環(huán)境可持續(xù)發(fā)展的嚴(yán)重障礙。由于施肥給蔬菜帶來的污染有兩個途徑，其一是通過肥料中所含有的有毒有害物質(zhì)，如重金屬、病原微生物等直接對蔬菜或土壤的污染；其二是通過不合理施入大量氮素肥料造成蔬菜體內(nèi)硝酸鹽的過量積累，導(dǎo)致蔬菜品質(zhì)和口感較差。鑒于以上情況，請在問題(3)的優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步改進(jìn)你的

12、模型，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并進(jìn)行合理的數(shù)值假定，優(yōu)化每公頃土豆和生菜的肥料使用數(shù)量與結(jié)構(gòu)。(5)對所得模型與結(jié)果從如何改進(jìn)與應(yīng)用價值與效果等方面做出量化估計。2.問題的假設(shè)1.假設(shè)本文搜到的數(shù)據(jù)是科學(xué)準(zhǔn)確的，不會在短期內(nèi)變動。2.假設(shè)N、P、K三種肥料都是農(nóng)作物生長的基本肥料要素，本文近似認(rèn)為如果三種肥料都不施用，農(nóng)作物沒有產(chǎn)量。3.假設(shè)生產(chǎn)的農(nóng)作物可以以標(biāo)準(zhǔn)價格售出，并且其他因素的支出暫時算入收益考慮。4.假設(shè)土壤中含有N、P、K元素標(biāo)準(zhǔn)，對模型影響忽略不計。3.符號的說明主要符號符號意義N、P、K氮、磷、鉀肥表示施用N肥的產(chǎn)量表示施用P肥的產(chǎn)量表示施用K肥的產(chǎn)量表示總產(chǎn)量表示蔬菜售價、表示N、P

13、、K肥的售價、表示施用N、P、K肥的是施肥量施肥量、表示施用N、P、K肥時的收益總體滿意度、 為最滿意產(chǎn)量值、最滿意效益值4.問題的分析及建模流程圖本問題涉及的是作物施肥數(shù)量與結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題，要解決的問題是如何建立及深化模型，逐步引入限制因素，達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)，其中如何分配施肥量的數(shù)量和結(jié)構(gòu)，達(dá)到多目標(biāo)最優(yōu)，是需要解決的核心問題。4.1基本思路根據(jù)N、P、K肥料施肥量與作物產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，構(gòu)造函數(shù)可以擬合出施肥量與產(chǎn)量的關(guān)系，該擬合函數(shù)的最大值即對應(yīng)產(chǎn)量的最大值。考慮到施肥的經(jīng)濟(jì)性時，通過對產(chǎn)量最大化模型進(jìn)行改進(jìn)，以收益最大化為目標(biāo)，得到收益最大時肥料的使用數(shù)量與結(jié)構(gòu)。引入環(huán)保因素時，有兩種方法可以考

14、慮實(shí)現(xiàn)，第一是在收益最大化模型的基礎(chǔ)上改進(jìn)，將污染指數(shù)作為限制條件，求解最大收益。第二種是將污染程度,收益作為目標(biāo)，將污染指數(shù)，肥料搭配比例作為約束條件，建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，得到多目標(biāo)最優(yōu)解。4.2具體分析問題一：分析施肥量與產(chǎn)量的關(guān)系，選取適當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)是關(guān)鍵，有兩種方法。一是以一個肥料的施肥量作為自變量，將另外兩個肥料的施肥量保持在第七水平，以產(chǎn)量作為自變量構(gòu)造六個一元函數(shù)，表示三種肥料分別作為自變量時，兩種作物施肥量與產(chǎn)量的關(guān)系。二是以三種肥料作為自變量，以產(chǎn)量作為因變量，構(gòu)造三元函數(shù)，擬合施肥量與產(chǎn)量的關(guān)系。具體的函數(shù)擬合結(jié)果的求解通過eviews,Matlab軟件實(shí)現(xiàn)。問題二：問題一

15、中擬合函數(shù)的最大值即產(chǎn)量的最大值，基于問題一中的模型，通過求解其產(chǎn)量最大值，得到產(chǎn)量最大時各肥料的施肥量和結(jié)構(gòu)。 問題三：考慮到施肥的經(jīng)濟(jì)性，以收益最大化為目標(biāo)，通過作物產(chǎn)量與售價得到產(chǎn)值，求解產(chǎn)值時可以基于反映產(chǎn)量與施肥量關(guān)系的一元函數(shù)，也可以基于三元二次函數(shù)。通過施肥量與肥料售價得到施肥成本，以產(chǎn)值與施肥成本作為自變量。以施加肥料產(chǎn)生的收益作為因變量（因其它成本產(chǎn)生的收益為定值，近似忽略不計），構(gòu)造二元函數(shù)。該函數(shù)的最大值即為收益的最大值，由此時自變量的值得到肥料使用數(shù)量與結(jié)構(gòu)。問題四：引入環(huán)保因素時，有兩種方法可以考慮實(shí)現(xiàn)，第一是在收益最大化模型的基礎(chǔ)上改進(jìn)，將污染指數(shù)作為限制條件，求解

16、最大收益。第二種是將污染程度,收益作為目標(biāo)，將污染指數(shù)，肥料搭配比例作為約束條件，建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，得到多目標(biāo)最優(yōu)解。問題五：對模型應(yīng)用效果作量化估計，難點(diǎn)在于如何對優(yōu)化模型進(jìn)行改進(jìn)，得到評價模型。本文利用多目標(biāo)規(guī)劃結(jié)果中滿意值與偏差值的差值占滿意值的比例作為單目標(biāo)的滿意度，利用層次分析法得到單目標(biāo)權(quán)重值，根據(jù)單目標(biāo)的權(quán)重值與滿意度求和可以得到多目標(biāo)滿意度，根據(jù)多目標(biāo)總體的滿意度對模型應(yīng)用效果作量化估計。從而建立基于層次分析法與多目標(biāo)規(guī)劃的評價模型。最后對模型的推廣作初步討論，驗(yàn)證了模型較高的應(yīng)用價值。4.3流程圖5模型的建立與求解5.1模型的準(zhǔn)備在長期的實(shí)踐中，農(nóng)學(xué)家們已經(jīng)總結(jié)出關(guān)于作物施

17、肥效果的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，并建立了相應(yīng)的理論11. 公理1（Nickla和Miller理論）：設(shè)為達(dá)到最高產(chǎn)量時的施肥量，邊際產(chǎn)量與成正比例關(guān)系。即，從而有.2. 公里2（米采利希學(xué)說）：只增加某種養(yǎng)分時，引起產(chǎn)量的增量與該種養(yǎng)分供應(yīng)充足時達(dá)到的最高產(chǎn)量與現(xiàn)在產(chǎn)量之差正比。即，從而有5.2問題一5.2.1一元線性回歸模型的選擇與建立為分析施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系，本文以產(chǎn)量作為因變量，以施肥量作為自變量，建立一元線性回歸模型研究兩者間的關(guān)系，根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢，構(gòu)造適當(dāng)?shù)囊辉瘮?shù)進(jìn)行求解。設(shè)與的函數(shù)為： （1）其中，為回歸系數(shù)，為隨機(jī)誤差。利用最小二乘法求下式成立的函數(shù) （2）綜上建立如下一元線性回歸模型

18、： （3）5.2.2一元線性回歸模型的求解 為了使散點(diǎn)圖更直觀、準(zhǔn)確，將施肥量的數(shù)據(jù)進(jìn)行量綱化處理，得到（0，1）間的值。利用Matlab軟件處理數(shù)據(jù)得到N，P，K的施肥量與土豆和生菜產(chǎn)量的散點(diǎn)圖。圖1土豆施肥量與產(chǎn)量的散點(diǎn)圖 圖2生菜施肥量與產(chǎn)量的散點(diǎn)圖根據(jù)散點(diǎn)圖趨勢，利用eviews軟件進(jìn)行多次擬合，通過P、F、DW的檢驗(yàn)值進(jìn)行判定，選取最優(yōu)的一元函數(shù)。得到如下N，P，K的施肥量與土豆和生菜產(chǎn)量的回歸模型： （4） （5）式（4）中的與式（5）中的為一元非線性回歸方程，分別對，等式兩邊取對數(shù)，使之線性化： （7） （8）利用eviews軟件計算得到: 將對數(shù)形式化為指數(shù)形式計算得到土豆的與

19、生菜的結(jié)果。 式（4）與式（5）中的其余方程為一元線性回歸方程，可直接利用eviews軟件進(jìn)行計算，綜上得到如下結(jié)果：結(jié)果分析：從回歸方程可看出，為一元二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，方程有最大值。隨著N肥用量的增加，農(nóng)作物的產(chǎn)量會增加，到一定用量后產(chǎn)量達(dá)到最大，然后當(dāng)N肥用量繼續(xù)增加時，農(nóng)作物的產(chǎn)量反而會降低。在一定范圍內(nèi)，農(nóng)作物產(chǎn)量隨著P肥和K肥的用量的增加一直增加。5.2.3一元線性回歸模型的檢驗(yàn)利用eviews軟件處理數(shù)據(jù)，得到六組回歸方程的檢驗(yàn)值如下： 表1 一元回歸方程的檢驗(yàn)值作物肥料 土豆N0.00000.00000.00000.9862902.1419650.000000P0.00

20、000.00010.9114792.7451480.000062K0.00000.00050.8380491.2008790.000532生菜N0.00000.00000.00010.9249071.8496640.000116P0.00120.00000.9460200.9516930.000011K0.00000.03320.4519542.4561930.033204其中、分別表示方程常數(shù)a、前系數(shù)、前系數(shù)的檢驗(yàn)值。土豆的與生菜的為非線性方程，、對應(yīng)其線性形式即式（7）、式（8）中常數(shù)、前系數(shù)的檢驗(yàn)值。檢驗(yàn)均通過，說明模型的擬合度較高，能夠較好地反映施肥量與產(chǎn)量之間關(guān)系。利用Matlab

21、軟件處理原數(shù)據(jù)與回歸方程，得到六組回歸方程的實(shí)際值與擬合值的對比圖，實(shí)際值與擬合值基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。圖3土豆N肥對比圖 圖4土豆P肥對比圖 圖5土豆K肥對比圖圖6生菜N肥對比圖 圖7生菜P肥對比圖 圖8生菜K肥對比圖5.2.4模型的改進(jìn)表1中回歸方程的檢驗(yàn)值均通過，六個回歸方程并不都具有高度的顯著性，生菜中值為0.451954，與其它五個方程的檢驗(yàn)值有較大差異，生菜中值為0.951693，與理想值相差較大。二次函數(shù)能夠較好地反映肥料施肥量與產(chǎn)量的關(guān)系（公理1），為了提高回歸方程整體的顯著性，本文將三種肥料的施肥量最為自變量，以農(nóng)作物的產(chǎn)量作為因變量，擬合成三元二次函數(shù)，建立多

22、元回歸模型，進(jìn)一步分析施肥量與產(chǎn)量之間關(guān)系。 （9）利用eviews軟件處理數(shù)據(jù)計算得到土豆與生菜的回歸方程結(jié)果及檢驗(yàn)值： 結(jié)果分析：一元回歸方程只能反映一種肥料與產(chǎn)量的關(guān)系，改進(jìn)后的模型能夠反映出三種肥料搭配情況的不同對農(nóng)作物產(chǎn)量造成的影響，避免了多個回歸方程顯著性的不一致。 由，中一次項(xiàng)前的系數(shù)可反映各肥料對產(chǎn)量的影響程度，。此三種肥料的影響程度。表2三元二次回歸方程的檢驗(yàn)值作物 土豆0.0050.0000.0000.0010.0180.0000.0010.9121.4790.000生菜0.0110.0000.0000.0000.0050.0030.0200.8591.1070.000其中

23、表示系數(shù)的檢驗(yàn)值，檢驗(yàn)都通過，從檢驗(yàn)值看出兩個回歸方程均具有高度的顯著性，擬合效果較好。5.3問題二 :模型的建立及求解5.3.1基于一元二次回歸方程產(chǎn)量最大化模型的建立及求解本問只追求高產(chǎn)，則只要求出問題一中擬合出的函數(shù)的最大值即可。 分別對問題一中擬合的一元二次回歸模型和改進(jìn)后的三元二次回歸模型進(jìn)行求解。由原數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖及得到的擬合曲線知，N肥用量較少時，隨著N肥用量增加，農(nóng)作物產(chǎn)量會增加，到一定用量后達(dá)到最大，N肥繼續(xù)增加，農(nóng)作物產(chǎn)量反而會降低。P肥和K肥用量對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響隨著其用量的增加而一直增加，但P和K用量少時，效果顯著，當(dāng)P和K達(dá)到一定值時，產(chǎn)量增加將不明顯，因此基于一元二次回

24、歸方程求解產(chǎn)量最大化，可以簡化為P、K肥固定在較高水平，求解產(chǎn)量最大化時N肥的施肥量。本文將P、K肥固定在第7水平，利用問題一中土豆與生菜的一元二次回歸方程進(jìn)行求解。 (10)求導(dǎo)，令其為零，有則，當(dāng)時，取得最大值，即N肥使用量為時，產(chǎn)量最大。 綜上得到如下模型： (11) 經(jīng)計算得到P、K肥固定在第7水平時，產(chǎn)量最大化的結(jié)果。表3 P、K肥施肥量固定最大產(chǎn)量與N肥施肥量結(jié)果作物N施肥量P施肥量K施肥量最大產(chǎn)量土豆生菜 土豆與生菜N的施肥量分別為，產(chǎn)量最大，最大值分別為，。此時P、K施肥量保持在第七水平，即與。5.3.2基于三元二次回歸方程產(chǎn)量最大化模型的建立及求解根據(jù)改進(jìn)后的反映三種肥料與產(chǎn)

25、量關(guān)系的三元二次函數(shù)求解目標(biāo)最大值。對土豆與生菜的三元二次 ，分別求解其產(chǎn)量最大值與對應(yīng)的，三種肥料的施肥量。 利用Matlab軟件求解得到產(chǎn)量最大時土豆與生菜N、P、K三種肥料的施肥量與最大值如下表： 表4基于三元二次回歸方程最大產(chǎn)量與施肥量的求解結(jié)果作物N施肥量P施肥量K施肥量最大產(chǎn)量土豆生菜結(jié)果分析：以產(chǎn)量最大化為目標(biāo)，比較兩個模型得到的結(jié)果，看出，基于三元二次回歸方程求解得到的產(chǎn)量最大值更優(yōu)，因此本問采用表4的結(jié)果。5.4 問題三：模型的建立及求解5.4.1收益最大化模型的建立假設(shè)當(dāng)考慮到經(jīng)濟(jì)性時，作物產(chǎn)量以收益最大化為目標(biāo)。使用肥料所帶來的收入比用于購買肥料的費(fèi)用多時，就應(yīng)該施肥，否

26、則就不應(yīng)該多施肥。設(shè)某蔬菜的售價分別為，N、P及K化肥的售價分別為，施肥量為。 當(dāng)施肥量為時，對于該蔬菜的產(chǎn)量為： (12) 該蔬菜施用N肥料的費(fèi)用是： (13) 其中表示肥料的施肥量。施加肥料后的總收益為： (14) 其中表示因施加肥料產(chǎn)生的收益，為因其它成本產(chǎn)生的收益。為固定值，本文近似將看成總的收益。因此為本問追求的目標(biāo)，綜上可以得到如下的收益最大化模型 (15)5.4.2收益最大化模型的求解方法1：單獨(dú)以一種肥料為自變量，產(chǎn)量為因變量，將另外兩種肥料固定在第七水平，基于問題一得到的六個一元回歸方程進(jìn)行求解。方法2：基于以三種肥料為自變量，以產(chǎn)量為因變量的三元二次回歸方程進(jìn)行求解。5.4

27、.2.1基于一元回歸方程收益最大化模型的求解查找到的肥料與產(chǎn)量價格如下表。 表5肥料及產(chǎn)量價格（江蘇農(nóng)業(yè)網(wǎng)）商品N（元/噸）P（元/噸）K（元/噸）土豆（元/噸）生菜（元/噸）價格15603295350022002400以一種肥料施肥量作物自變量，另外兩種肥料施肥量固定在第七水平，將原數(shù)據(jù)以及肥料與產(chǎn)量價格數(shù)據(jù)帶入模型進(jìn)行求解，計算得到土豆的收益表達(dá)式為：生菜的收益表達(dá)式為：利用Matlab軟件求解得到如下最大收益結(jié)果： 表6作物最大收益與肥料施肥量作物收益施用量N肥P肥K肥土豆最大收益(元)928308884111506施肥量（kg）288.67410.685946生菜最大收益（元）4713

28、7134190施肥量（kg）209.0623154 其中以一種肥料施肥量作物自變量，另外兩種肥料施肥量固定的第七水平值表中沒有給出，例如當(dāng)土豆N肥的施肥量為，P、K肥施肥量分別為第七水平值，即、時產(chǎn)量最大。結(jié)果分析：觀察表6，看出生菜K肥施肥量無窮大時，收益也趨近于無窮大，這顯然不符合實(shí)際情況，因此基于一元線性回歸方程收益最大化模型需要改進(jìn)。5.4.2.2基于一元二次回歸方程收益最大化模型的改進(jìn)根據(jù)問題中一元線性回歸模型的結(jié)果，隨著N肥用量的增加，農(nóng)作物的產(chǎn)量會增加，到一定用量后產(chǎn)量達(dá)到最大，然后當(dāng)N肥用量繼續(xù)增加時，農(nóng)作物的產(chǎn)量反而會降低，在一定范圍內(nèi)，農(nóng)作物產(chǎn)量隨著P肥和K肥的用量的增加一

29、直增加。結(jié)合表5最大收益與肥料施肥量的結(jié)果，分析看出，N、P肥施肥量固定在第七水平，隨著K肥的施肥量的增加，K肥成本小于產(chǎn)量收益會造成收益趨近于無窮大。由問題一得到的反映施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的一元回歸方程如下： (15) (16) 只有土豆與生菜的為一元二次函數(shù)，雖然這六個函數(shù)是通過檢驗(yàn)值選取的，但題中數(shù)據(jù)有限，很可能產(chǎn)生偶然誤差，顯著性高并不一定能夠反映作物的實(shí)際規(guī)律，根據(jù)（公理1），一元二次回歸方程能夠較好地反映作物產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系，據(jù)此本文以六個一元二次函數(shù)重新對土豆與生菜作物產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系進(jìn)行擬合。 (17) 利用eviews軟件處理原數(shù)據(jù)得到如下回歸結(jié)果與檢驗(yàn)值： 表7一元二次回歸

30、方程檢驗(yàn)結(jié)果作物肥料土豆N0.00000.00000.00000.9862902.1419650.000000P0.00000.00320.02210.8644832.2173840.000916K0.00010.01970.11090.7885070.8438050.004350生菜N0.00000.00000.00010.9249071.8496640.000116P0.00020.00010.00180.9587871.5976170.000014K0.00000.51400.95390.4522352.4564590.121641其中p表示系數(shù)P值的檢驗(yàn)，生菜中K的檢驗(yàn)值未通過，由圖9

31、，生菜施肥量與產(chǎn)量的散點(diǎn)圖觀察得，散點(diǎn)圖各點(diǎn)分布極不規(guī)律，本文認(rèn)為是題中數(shù)據(jù)有限產(chǎn)生的偶然誤差，對此忽略不計。 圖9生菜施肥量與產(chǎn)量的散點(diǎn)圖 基于收益最大化模型： (18) 利用Matlab軟件求解得到如下最大收益結(jié)果： 表8作物最大收益與肥料施肥量作物收益施用量N肥P肥K肥土豆最大收益(元)928309024593661施用量（kg）288.6631251.7938534.4460生菜最大收益（元）471375319548513施用量（kg）209.0625542.84342656其中以一種肥料施肥量作物自變量，另外兩種肥料施肥量固定的第七水平值表中沒有給出，例如當(dāng)土豆N肥的施肥量為，P、K

32、肥施肥量分別為第七水平值，即、時產(chǎn)量最大。結(jié)果分析：觀察表8，與表6中的結(jié)果相比，結(jié)果更加合理，更符合實(shí)際情況，改進(jìn)后的模型具有較高的實(shí)用性。5.4.2.3基于三元二次回歸方程收益最大化模型的求解分析表3，表4最大產(chǎn)量與施肥量的結(jié)果可以看出，基于如下三元二次回歸方程求解造成了肥料大量的浪費(fèi)。 (19)表示不施肥的產(chǎn)量，為非負(fù)數(shù)值而利用該函數(shù)擬合出來的常數(shù)項(xiàng)為負(fù)，并且沒有N、P、K交叉相乘的項(xiàng)，沒有考慮到三種肥料的交互影響，造成結(jié)果中三種肥料搭配不科學(xué)情況的出現(xiàn)。因此加入經(jīng)濟(jì)因素后再基于該函數(shù)求解是不合理的，本文將該函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。N、P、K三種肥料都是農(nóng)作物生長的基本肥料要素，本文近似認(rèn)為如果三

33、種肥料都不施用，農(nóng)作物沒有產(chǎn)量。由于原點(diǎn)并不在數(shù)據(jù)的范圍，導(dǎo)致了擬合誤差。本文在已有數(shù)據(jù)上增加一個點(diǎn)，增加N、P、K三種肥料的交叉項(xiàng)。利用Eviews軟件處理原數(shù)據(jù)與增加的點(diǎn)對重新進(jìn)行三元二次擬合。得到反映產(chǎn)量與施肥量關(guān)系的三元二次方程： 表9改進(jìn)的三元二次回歸方程的檢驗(yàn)值作物 土豆0.000.000.000.020.000.000.00-0.951.54生菜0.000.000.000.000.000.01-0.000.911.11檢驗(yàn)均通過，擬合效果顯著?；谑找孀畲蠡Ｐ停?(20) 利用Matlab軟件計算得到如下結(jié)果： 表10作物最大收益與肥料施肥量作物最大收益(元)N肥（kg）P肥（

34、kg）K肥（kg）土豆102500 363.98243.80620.1生菜52023271.39699.39 407.61 結(jié)果分析：比較表8與表10的結(jié)果看出，基于改進(jìn)后的三元二次回歸方程求解得到的收益更大，模型更理想。5.5問題四：模型的選擇與建立5.5.1基于線性規(guī)劃收益最大化模型的選擇與建立根據(jù)文獻(xiàn)3，化肥污染主要是氮污染，本文近似認(rèn)為P、K肥不會產(chǎn)生污染,在宏觀估算農(nóng)田氮污染時，依據(jù)N肥的施肥量就可以判定N污染程度，建立了農(nóng)田氮污染評價指標(biāo)體系，為了便于計算，本文選取評價體系的宏觀指標(biāo)，并進(jìn)行了改善和簡化，得到如下的評價指標(biāo)。 表11氮肥污染程度評價體系表污染程度無污染輕度污染中度污

35、染重度污染強(qiáng)度污染污染指數(shù)<002525505070>70根據(jù)文獻(xiàn)4,我國大田作物無污染的施氮量標(biāo)準(zhǔn)為每季，此范圍的施氮量不會引起氮素的明顯流失，稱為“平均適宜施氮量”?；谑找孀畲蠡疚娜?，得到污染指數(shù)計算公式。 (21) 以N、P、K肥料的調(diào)配比例為作為約束條件，以n、p、k表示三種肥料的施肥量，以N肥的施肥量表示P、K肥的施肥量，得到：，其中、和、均為常系數(shù)，可以進(jìn)行人為設(shè)定。在此約束條件下，基于效益最大化模型，建立施加肥料的總收益: (22)綜上建立如下線性規(guī)劃收益最大化模型： (23) (24)5.5.2基于線性規(guī)劃收益最大化模型的求解 文獻(xiàn)5，經(jīng)統(tǒng)計N、P、K肥料施加

36、比例平均為時最有利于作物的生長，考慮到兩種作物存在偶然誤差，本文將該比例調(diào)整。即， ，以輕度污染作為約束條件，即 ，。根據(jù)問題三中的結(jié)果分析，通過改進(jìn)后的三元二次回歸方程求解得到的收益更大，模型更理想，因此本文基于如下回歸方程求解最大收益。 利用lingo軟件求解得到收益最大化結(jié)果 表12增加環(huán)保因素后作物收益最大化結(jié)果作物收益(元/ha)N肥（kg/ha）P肥（kg/ha）K肥（kg/ha）污染指數(shù)土豆77946 281.25196.88168.7525生菜26757244.19170.93 146.51 8.5 結(jié)果分析：比較表12與表10，看出，增加環(huán)保因素后，土豆與生菜的最大收益都有所

37、降低，但N肥的減少降低了污染，屬于輕度污染，基本符合要求。 5.5.3多目標(biāo)規(guī)劃模型的選擇與建立基于線性規(guī)劃求解最大收益時，本文以各目標(biāo)偏差變量之和最低為目標(biāo)，以污染指數(shù)公式，肥料調(diào)配比例作為約束條件，建立多目標(biāo)規(guī)模模型6，再結(jié)合收益最大化模型實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)求解。設(shè)為未達(dá)到環(huán)境指標(biāo)目標(biāo)的差值, 為超過目標(biāo)的差值，為使其盡可能不超過25，則有 (25)設(shè)為磷肥與氮肥使用量比的偏差變量，為鉀肥與氮肥使用量比的偏差變量，為使盡可能的接近最優(yōu)比例，則有 (26)設(shè)為收益的偏差變量，為使收益不小于需要值，有以各偏差變量之和最小作為目標(biāo) (27)其中，分別為污染程度、施肥比例、收益偏差的權(quán)重系數(shù)。對約束條件進(jìn)

38、行無量綱化處理，處理方法如下：例如設(shè) 處理得 將約束條件無量綱化處理后得到如下多目標(biāo)規(guī)劃模型： (28)5.5.4多目標(biāo)規(guī)劃模型的求解基于我國土壤退化十分嚴(yán)重的國情，本文以環(huán)境指數(shù)前提，追求最大收益，令土地被污染程度偏差的權(quán)重系數(shù)，三種肥料搭配比例偏差的權(quán)重系數(shù)，農(nóng)作物收益偏差權(quán)重系數(shù)。由 計算得到N肥施肥量的滿意范圍，以 作物N、P、K肥料的最佳搭配比例，根據(jù)此比例計算得到P、K肥施肥量的滿意范圍，以表10得到的最大收益結(jié)果作為滿意值，綜上經(jīng)計算得到表13兩種作物各目標(biāo)滿意值，最終結(jié)果若符合表13中的各目標(biāo)滿意值，則結(jié)果符合要求。表13作物各目標(biāo)滿意值作物N肥（kg/ha）P肥（kg/ha）

39、K肥（kg/ha）收益(元/ha)環(huán)境指數(shù)土豆100000生菜52000利用lingo軟件計算得到表14土豆與生菜各目標(biāo)的實(shí)際值。 表14多目標(biāo)規(guī)劃結(jié)果作物N肥（kg/ha）P肥（kg/ha）K肥（kg/ha）收益(元/ha)環(huán)境指數(shù)土豆281.25143.41245.288211625生菜281.25140.625485.334462725結(jié)果分析：環(huán)境指數(shù)為25，屬于輕度污染， K肥施肥量超過滿意值，但K肥適當(dāng)增加能夠增大收益，對土地沒有造成污染，收益實(shí)際值與滿意值相差不大，結(jié)果比較合理，符合本問的要求。 5.6問題五：基于層次分析法與多目標(biāo)規(guī)劃評價模型的選擇與建立利用多目標(biāo)規(guī)劃結(jié)果中滿意

40、值與偏差值的差值占滿意值的比例作為單目標(biāo)的滿意度，利用層次分析法得到單目標(biāo)權(quán)重值，根據(jù)單目標(biāo)的權(quán)重值與滿意度可以得到多目標(biāo)滿意度，從而建立如下基于層次分析法與多目標(biāo)規(guī)劃的評價模型。 (29)其中為一個的總體滿意度分?jǐn)?shù)，具體評價標(biāo)準(zhǔn)見表15，為單目標(biāo)滿意值，為單目標(biāo)偏差值，為各目標(biāo)權(quán)重。 表15滿意度評價標(biāo)準(zhǔn)滿意程度極不滿意不滿意滿意比較滿意非常滿意量化滿意值40606080809090100利用層次分析法，建立各目標(biāo)評價矩陣，由式（）計算得到目標(biāo)規(guī)劃模型中的環(huán)境指數(shù)和施肥比例都與N肥施肥量有關(guān)存在明顯的線性相關(guān)，為降低共線性本文對式（24）約束條件進(jìn)行改進(jìn)。以N肥的臨界值替換（24）原有值，降

41、低N肥的變化對P、K肥的影響。得到新的約束條件：為了提高模型的應(yīng)用價值，引入產(chǎn)量作為新的約束條件，設(shè)為產(chǎn)量的偏差變量，為使產(chǎn)量盡可能的不小于需要值，則有：新的目標(biāo)函數(shù)為： (30)綜上得到如下的評價模型： (31)其中，根據(jù)其重要程度，依次取值，為可承受的環(huán)境指數(shù)最大值，為磷肥與氮肥的最優(yōu)比，為鉀肥與氮肥的最優(yōu)比，為最滿意效益值，為最滿意產(chǎn)量值，均可主觀假定。5.6.1基于層次分析法與多目標(biāo)規(guī)劃評價模型的求解以土豆為例，對施肥后作物整體滿意度進(jìn)行評價。根據(jù)層次分析法求得單目標(biāo)的權(quán)重，為保證各目標(biāo)權(quán)重的均衡，本文將兩兩指標(biāo)標(biāo)度最大值定為4，得到如表16的判斷矩陣。 表16各目標(biāo)權(quán)重判斷矩陣A環(huán)境

42、指數(shù)施肥比例金錢效益蔬菜產(chǎn)量環(huán)境指數(shù)1423施肥比例0.2510.3330.5金錢效益0.5312蔬菜產(chǎn)量0.33320.51 計算得到：利用lingo軟件對多目標(biāo)規(guī)劃模型進(jìn)行求解，根據(jù)前面條件，取，計算結(jié)果如下。 表17多目標(biāo)規(guī)劃結(jié)果條件實(shí)際值偏差值滿意值環(huán)境指數(shù)25025施肥比例金錢效益86306369490000蔬菜產(chǎn)量40.101.9042根據(jù)式（31）計算得到滿意度：結(jié)果分析：觀察表17，看出，環(huán)境指數(shù)為25，屬于較低污染，收益、產(chǎn)量與滿意值相差不大，綜合滿意度為86.7，滿意程度屬于比較滿意。5.6.2模型的推廣 通過控制各因子的權(quán)重可以將模型推廣到不同的方面。一般情況下，在控制環(huán)

43、境因素的條件下讓效益最大化，如果是國家級的試驗(yàn)田，則需要考慮在環(huán)境滿足的條件下，讓產(chǎn)量最大化。針對不同的應(yīng)用角度將模型的參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，極大地提高了模型的應(yīng)用價值。 6.模型的優(yōu)缺點(diǎn)模型的優(yōu)點(diǎn)1. 問題一，我們考慮了單一化肥的影響和三種化肥共同的影響，進(jìn)行了單元回歸和多元回歸，擬合出了相應(yīng)的函數(shù)模型，較精確的反應(yīng)了數(shù)據(jù)中肥料與產(chǎn)值的關(guān)系。2. 問題三中，基于已有數(shù)據(jù)的多元回歸方程中沒有交叉影響，由于不施加肥料時的產(chǎn)量很低，我們假設(shè)為零，因而引入了一組新的數(shù)據(jù)點(diǎn)并進(jìn)行重新擬合，可以得到一個存在交叉項(xiàng)的三元二次函數(shù)，繼而求解，更加準(zhǔn)確的反應(yīng)了實(shí)際效果。3. 問題四中，我們在線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上從

44、新建立了目標(biāo)規(guī)劃，并給出了滿意度函數(shù)，可以從環(huán)境、施肥比例和效益多方面考慮。4. 問題五中，我們對目標(biāo)規(guī)劃進(jìn)行了改善，引入了產(chǎn)量條件，并且在人為控制下，可以精確的得到模型價值和結(jié)果的量化滿意值。5. 可以運(yùn)用模型二和模型三預(yù)計產(chǎn)量最大值和效益最大值，繼而運(yùn)用模型五進(jìn)行滿意度量化估計。模型的缺點(diǎn)1. 模型只是在肥料的基礎(chǔ)上對產(chǎn)值和效益進(jìn)行估算，并沒有引入諸如人工勞動力、農(nóng)藥量等其他因子。2. 模型二和模型三的產(chǎn)量和效益值達(dá)到了最大，但施肥比例并不適用于實(shí)際情況。3. 模型中的化肥污染只著重的考慮了氮肥的污染，沒有體現(xiàn)磷肥和鉀肥的污染狀況。三應(yīng)用實(shí)例當(dāng)前的科學(xué)技術(shù)還不能有效地存儲電力，所以電力生產(chǎn)

45、和消費(fèi)在任何時刻都要相等，否則就會威脅電力系統(tǒng)安全運(yùn)行。為了能夠?qū)崟r平衡變化劇烈的電力負(fù)荷，電力部門往往需要根據(jù)預(yù)測的未來電力負(fù)荷安排發(fā)電機(jī)組起停計劃，在滿足電力系統(tǒng)安全運(yùn)行條件下，追求發(fā)電成本最小。在沒有電力負(fù)荷損耗以及一個小時之內(nèi)的電力負(fù)荷和發(fā)電機(jī)出力均不變的前提下，假定所有發(fā)電機(jī)組的發(fā)電成本都是由3部分組成:1.啟動成本（Startup Cost），2.空載成本（No load cost），3.增量成本（Incremental Cost）。需要考慮的約束有: 1負(fù)荷平衡約束2系統(tǒng)備用約束3輸電線路傳輸容量約束4發(fā)電機(jī)組出力范圍約束5機(jī)組增出力約束6機(jī)組降出力約束。問題1：3母線系統(tǒng)有一個

46、3母線系統(tǒng)，其中有2臺機(jī)組、1個負(fù)荷和3條輸電線路，已知4個小時的負(fù)荷和系統(tǒng)備用要求。請求出這4個小時的最優(yōu)機(jī)組組合計劃。最終結(jié)果應(yīng)該包括總成本、各小時各機(jī)組的狀態(tài)、各小時各機(jī)組的發(fā)電出力和各小時各機(jī)組提供的備用。問題2：3母線系統(tǒng)在問題1的基礎(chǔ)上，考慮發(fā)電機(jī)組的下列物理特性約束:1.發(fā)電機(jī)組的穩(wěn)定出力范圍約束2.機(jī)組啟動時的出力約束3.機(jī)組停運(yùn)時的出力約束4.機(jī)組最小運(yùn)行時間約束5.機(jī)組最小停運(yùn)時間約束。重新制定最優(yōu)機(jī)組組合計劃。問題3：IEEE 118系統(tǒng)用IEEE118節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)對問題2的求解模型進(jìn)行測試，試求出24個小時的最優(yōu)機(jī)組組合計劃。最終結(jié)果應(yīng)該包括總成本、各小時各機(jī)組的狀態(tài)、各小時各機(jī)組的發(fā)電出力和各小時各機(jī)組提供的備用。 二、問題的分析機(jī)組優(yōu)化組合和優(yōu)化啟停就是要在滿足約束條件的情況下，優(yōu)化地選定各時段參加運(yùn)行的機(jī)組，求出機(jī)組的最佳運(yùn)行方案，實(shí)現(xiàn)