高中物理競賽講義

1、力學競賽輔導漫談力學競賽輔導漫談序序1.物理競賽輔導的目標物理競賽輔導的目標2.物理競賽輔導具體任務物理競賽輔導具體任務（1）競賽所需的物理知識；）競賽所需的物理知識；（3）解決賽題的思路方法；）解決賽題的思路方法；（2）物理問題的思維方法；）物理問題的思維方法；（4）提高選手的賽場情商。）提高選手的賽場情商。 3.競賽試題與常規(guī)考題之間的區(qū)別：競賽試題與常規(guī)考題之間的區(qū)別： （1）考查的問題原型相同，但是綜合性或復雜性更強。）考查的問題原型相同，但是綜合性或復雜性更強。 對策：對策：熟悉各種原型問題。熟悉各種原型問題。 （2）在試題的入手上設置障礙，讓人難以下手，實際上還是對應于一些）在試題

2、的入手上設置障礙，讓人難以下手，實際上還是對應于一些基本的物理原型。基本的物理原型。 對策：對策：識破題目的障眼法，找到原型。識破題目的障眼法，找到原型。 (3) 題目的物理過程較多，有的是同一個物理原型的反復運用，加上各題目的物理過程較多，有的是同一個物理原型的反復運用，加上各種物理情形的討論，有的是多個不同物理原型的綜合。種物理情形的討論，有的是多個不同物理原型的綜合。 對策：對策：養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣。對于討論題不要想當然，問問自己，有幾養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣。對于討論題不要想當然，問問自己，有幾種可能？都要考慮進去。種可能？都要考慮進去。1、運動學、運動學 參照系。質點運動的位移和路程，速度

3、，加速度。參照系。質點運動的位移和路程，速度，加速度。 相對速度。相對速度。 矢量和標量。矢量的合成和分解。矢量和標量。矢量的合成和分解。 勻速及勻速直線運動及其圖象。運動的合成。拋體運動。勻速及勻速直線運動及其圖象。運動的合成。拋體運動。圓周運動。圓周運動。 剛體的平動和繞定軸的轉動。剛體的平動和繞定軸的轉動。力學競賽內容提要力學競賽內容提要2、牛頓運動定律、牛頓運動定律 力學中常見的幾種力力學中常見的幾種力 牛頓第一、二、三運動定律。慣性參照系的概念。牛頓第一、二、三運動定律。慣性參照系的概念。 摩擦力。摩擦力。 彈性力。胡克定律。彈性力。胡克定律。 萬有引力定律。均勻球殼對殼內和殼外質點

4、的引力公式萬有引力定律。均勻球殼對殼內和殼外質點的引力公式（不要求導出）。開普勒定律。行星和人造衛(wèi)星的運動。（不要求導出）。開普勒定律。行星和人造衛(wèi)星的運動。3、物體的平衡、物體的平衡 共點力作用下物體的平衡。力矩。剛體的平衡。重心。共點力作用下物體的平衡。力矩。剛體的平衡。重心。 物體平衡的種類。物體平衡的種類。4、動量、動量 沖量。動量。動量定理。沖量。動量。動量定理。 動量守恒定律。動量守恒定律。 反沖運動及火箭。反沖運動及火箭。5、機械能、機械能 功和功率。動能和動能定理。功和功率。動能和動能定理。 重力勢能。引力勢能。質點及均勻球殼殼內和殼外的引重力勢能。引力勢能。質點及均勻球殼殼內

5、和殼外的引力勢能公式（不要求導出）。彈簧的彈性勢能。力勢能公式（不要求導出）。彈簧的彈性勢能。 功能原理。機械能守恒定律。功能原理。機械能守恒定律。 碰撞。碰撞。7、振動、振動 簡揩振動。振幅。頻率和周期。位相。簡揩振動。振幅。頻率和周期。位相。 振動的圖象。振動的圖象。 參考圓。振動的速度和加速度。參考圓。振動的速度和加速度。 由動力學方程確定簡諧振動的頻率。由動力學方程確定簡諧振動的頻率。 阻尼振動。受迫振動和共振（定性了解）。阻尼振動。受迫振動和共振（定性了解）。8、波和聲、波和聲 橫波和縱波。波長、頻率和波速的關系。波的圖象。橫波和縱波。波長、頻率和波速的關系。波的圖象。 波的干涉和衍

6、射（定性）。波的干涉和衍射（定性）。 聲波。聲音的響度、音調和音品。聲音的共鳴。樂音聲波。聲音的響度、音調和音品。聲音的共鳴。樂音和噪聲。和噪聲。6、流體靜力學、流體靜力學 靜止流體中的壓強。靜止流體中的壓強。 浮力。浮力。話題話題1 1 剛體質心的確定：剛體質心的確定： （1）定義法（坐標法）定義法（坐標法）Cm=mixC=mixi/mCC的位置定義在坐標的位置定義在坐標(x,y,z)yC=miyi/mCzC=mixi/mCir 將質點組各質點參量記為將質點組各質點參量記為mi、 ，質，質點組的質心記為點組的質心記為C，則，則 例例1 如圖所示，一根豎直懸掛著的無限長細線上等距離如圖所示，一

7、根豎直懸掛著的無限長細線上等距離地固定著地固定著n個質量不等的質點小球，相鄰兩個小球之間的個質量不等的質點小球，相鄰兩個小球之間的距離為距離為a。已知最上端小球與懸點之間距離也為。已知最上端小球與懸點之間距離也為a，它的質，它的質量為量為m，其余各球的質量依次為，其余各球的質量依次為2m、3m、，一直到，一直到nm。求整個體系的質心位置到天花板的距離。求整個體系的質心位置到天花板的距離。(2n+1)a/3 （2 2）力矩法）力矩法ORR/2例例2 如圖所示，一個質量均如圖所示，一個質量均勻、半徑為勻、半徑為R、質量密度為、質量密度為的薄板?，F(xiàn)沿著一條半徑挖去的薄板?，F(xiàn)沿著一條半徑挖去其中半徑為

8、其中半徑為R/2的圓形薄板，的圓形薄板，求剩余薄板的質心位置。求剩余薄板的質心位置。 質心在原來圓心、挖去薄板圓心所在的直徑質心在原來圓心、挖去薄板圓心所在的直徑上，在圓心上，在圓心O的另一側，與的另一側，與O點距離為點距離為 R/6. 例例3 如圖所示，一根細長輕質硬棒上等距離地固定著如圖所示，一根細長輕質硬棒上等距離地固定著n個質量不等的質點小球，相鄰兩個小球之間的距離為個質量不等的質點小球，相鄰兩個小球之間的距離為a。已。已知最左端小球與左端點之間距離也為知最左端小球與左端點之間距離也為a，它的質量為，它的質量為m，其，其余各球的質量依次為余各球的質量依次為2m、3m、，一直到，一直到n

9、m。求整個。求整個體系的質心位置到左端點的距離。體系的質心位置到左端點的距離。(2n+1)a/3 （3）巴普斯定理）巴普斯定理1.內容：一個平面物體，質量均勻分布，令其上各質點沿垂內容：一個平面物體，質量均勻分布，令其上各質點沿垂直于平面的方向運動，在空間掃過一立體體積，則此體積等直于平面的方向運動，在空間掃過一立體體積，則此體積等于面物體面積乘以物體質心在運動中所經過的路程。于面物體面積乘以物體質心在運動中所經過的路程。2.討論討論： （1）若面物體上各質點以相同速度沿著一條與物體平面）若面物體上各質點以相同速度沿著一條與物體平面垂直的直線運動時，在空間掃過的體積是柱體垂直的直線運動時，在空

10、間掃過的體積是柱體。定理顯然成。定理顯然成立。立。 （2）若面物體上各質點速度不等，質心將沿曲線運動，）若面物體上各質點速度不等，質心將沿曲線運動，平面物體在空間掃出一個不規(guī)則體積。定理可證成立。平面物體在空間掃出一個不規(guī)則體積。定理可證成立。例例4 一直角三角形板質量分布均勻，兩直角邊長度分別一直角三角形板質量分布均勻，兩直角邊長度分別為為a和和b，求質心位置。，求質心位置。a b已知結論：已知結論： 質心將位于三中線交點。質心將位于三中線交點。驗證：驗證：設質心位置坐標為（設質心位置坐標為（x,y) 令直角三角形繞直角邊令直角三角形繞直角邊a旋旋轉一周，形成圓錐。轉一周，形成圓錐。 abx

11、ab212312x=b/3同理可得，同理可得，y=a/3.a bxy思考：思考：半徑為半徑為R、均勻半圓板的質心位置。、均勻半圓板的質心位置。34Rx 設質心離設質心離a邊邊x，則，則例例5 確定半徑為確定半徑為R、質量分布均勻半圓形金屬線環(huán)的質心位置。、質量分布均勻半圓形金屬線環(huán)的質心位置。A 0 Bx 解析：以解析：以AB為軸將線環(huán)旋轉為軸將線環(huán)旋轉360，得一球面，得得一球面，得RxR 242Rx2即：掃過的曲面面積質心在運動中走過的路程即：掃過的曲面面積質心在運動中走過的路程曲線長度。曲線長度。思考：思考：1/4周長的線環(huán)呢？周長的線環(huán)呢？Ryx2話題話題2. 靜力學問題解題思路。靜力

12、學問題解題思路。受力分析；受力分析； 寫出靜力學平衡方程寫出靜力學平衡方程 ： x方向上的平衡方程；方向上的平衡方程； y方向上的平衡方程；方向上的平衡方程； 力矩平衡方程。力矩平衡方程。確定研究對象；確定研究對象； 在平衡力的作用下，物體保持勻速直線運動或靜止狀態(tài)，在平衡力的作用下，物體保持勻速直線運動或靜止狀態(tài)，因此一個平衡力系統(tǒng)與物體不受力的情況相同，即合外力和合因此一個平衡力系統(tǒng)與物體不受力的情況相同，即合外力和合外力矩為零。外力矩為零。 F=Fi=0 M=Mi i= =0 對于某個力的力矩大小與支點或轉軸（或矩心）有關，因對于某個力的力矩大小與支點或轉軸（或矩心）有關，因為力矩與力臂

13、成正比，但力矩的平衡條件與支點或轉軸無關。為力矩與力臂成正比，但力矩的平衡條件與支點或轉軸無關。Fx=Fix=0Fix=0Fy=Fiy=0Fy=Fiy=0Fz=fiz=0fiz=0 F=Fi=0 Mx=Mix=0My=Miy=0Mz=Miz=0 M=Mi=0 平衡條件的解析式為平衡條件的解析式為例例6 一質量分布均勻的梯子一質量分布均勻的梯子AB，一端放在水平地面上，另一，一端放在水平地面上，另一端擱在豎直墻上，梯子與地面、梯子與墻面的動摩擦因數(shù)分端擱在豎直墻上，梯子與地面、梯子與墻面的動摩擦因數(shù)分別為別為1、2，求梯子平衡時與地面所成的最小夾角，求梯子平衡時與地面所成的最小夾角。關鍵：關鍵：

14、判斷臨界情況下，判斷臨界情況下，A、B兩端同時達兩端同時達到臨界，到臨界，A端達到端達到B端未達到，或是端未達到，或是B端達端達到而到而A端尚未達到？端尚未達到？結論：結論：梯子與地面成最小夾角梯子與地面成最小夾角而平衡而平衡時，時，A、B端同時達到最大靜摩擦力。端同時達到最大靜摩擦力。N1N2f1f2mg水平：水平：N2f1豎直：豎直：N1f2mg而而 f11N1 f22N2設梯子長度為設梯子長度為l，以，以B為支點，則為支點，則 mg（l/2)cos+ 1N1lcos=N1lcos12121arctan 例例7 三個完全相同的圓柱體，如圖所示，疊放在水平桌面上，三個完全相同的圓柱體，如圖所

15、示，疊放在水平桌面上，將將C 柱體放上柱體放上 去之前，去之前，A、B兩柱體接觸但無擠壓。兩柱體接觸但無擠壓。 假設桌面與假設桌面與柱體之間的動摩擦因數(shù)為柱體之間的動摩擦因數(shù)為0，柱體與柱體之間的動摩擦因數(shù)為，柱體與柱體之間的動摩擦因數(shù)為，若系統(tǒng)若系統(tǒng) 處于平衡狀態(tài)，處于平衡狀態(tài)，0和和必須必須滿足什么條件？滿足什么條件？ GNGNNffffNA對對C：GfN3A的水平方向，有的水平方向，有2123NffA的豎直方向，有的豎直方向，有2123fNGNA解得解得324,21,23GfGNGNA321,32610可以證明，各接觸點的摩擦力大小相等?？梢宰C明，各接觸點的摩擦力大小相等。話題話題3.虛

16、功原理虛功原理 1.虛位移虛位移 質點或質點系在給定瞬時約束系統(tǒng)許質點或質點系在給定瞬時約束系統(tǒng)許可的微小位移?？傻奈⑿∥灰?。 虛位移可以是線位移，也可以是角位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。 2.虛功虛功 力在虛位移上所做的元功。力在虛位移上所做的元功。 記為記為rFW 3.虛功原理虛功原理 質點或質點系在平衡狀態(tài)下，所有質點或質點系在平衡狀態(tài)下，所有力在任何虛位移上的虛功之和為零。力在任何虛位移上的虛功之和為零。0rFin1i靜力學的普遍原理靜力學的普遍原理虛位移與實位移虛位移與實位移 例例8 重為重為W的的6根均勻剛性棒光滑絞合成正六變形根均勻剛性棒光滑絞合成正六變形ABCDEF

17、,頂邊頂邊AB棒水平固定在天花板上，問在底邊棒水平固定在天花板上，問在底邊DE的中點加一個多大的豎直方向的力的中點加一個多大的豎直方向的力F，可維持正六邊形，可維持正六邊形的平衡？的平衡？ 解析：六根棒的重心在正六邊形的解析：六根棒的重心在正六邊形的幾何中心。幾何中心。 設底邊設底邊DE在外力在外力F作用下緩慢地上作用下緩慢地上升很小的位移升很小的位移x，則其重心升高，則其重心升高x/2。 由虛功原理由虛功原理 有有 F x=6W x/2 故故 F3W 例例9 如圖所示，一個半徑為如圖所示，一個半徑為R的四分之一光滑圓柱的四分之一光滑圓柱面固定在水平桌面上，柱面上有一條單位長度質量為面固定在水

18、平桌面上，柱面上有一條單位長度質量為的均勻鐵鏈。鐵鏈因的均勻鐵鏈。鐵鏈因A端受到水平拉力端受到水平拉力F的作用而平的作用而平衡，衡，B剛好與桌面接觸，求水平拉力剛好與桌面接觸，求水平拉力F的大小。的大小。 設在設在A端施加一個水平力端施加一個水平力F，且有虛位移且有虛位移r。則有。則有0RgrrFgRFFAB話題話題4 非慣性系和慣性力非慣性系和慣性力 牛頓運動定律只在慣性系中成立。相對慣性系做加速平動牛頓運動定律只在慣性系中成立。相對慣性系做加速平動和加速轉動的參照系就是非慣性系。和加速轉動的參照系就是非慣性系。 如果非慣性系平動加速度為如果非慣性系平動加速度為a，那么只要認為非慣性系中，那

19、么只要認為非慣性系中所有物體都受到一個大小為所有物體都受到一個大小為ma、方向與、方向與a相反的慣性力，牛相反的慣性力，牛頓定律同樣適用。頓定律同樣適用。 例例10 一個質量為一個質量為M、斜面傾角為、斜面傾角為的劈的劈A放在水平地面上，放在水平地面上，斜面上放上一塊質量為斜面上放上一塊質量為m的滑塊的滑塊B?，F(xiàn)將系統(tǒng)由靜止釋放，求釋?，F(xiàn)將系統(tǒng)由靜止釋放，求釋放后劈放后劈A對物塊對物塊B的壓力、劈的壓力、劈A相對地面的加速度各是多少？相對地面的加速度各是多少？（不計一切摩擦）（不計一切摩擦） A B NmgaANsin=MaA, (1)N對對A,2sincossinmMmgaA2sincosm

20、MMmgN解之得解之得aBxaByNsin=maBx, (2)mgNcos=maBy, (3)aBxaByaAaBy = (aBx+aA)tan (4)對對B,A、B加速度關聯(lián)加速度關聯(lián),解析方法解析方法1： 牽連加速度牽連加速度 A B NmgaAF=maANsin=MaA, (1)N對對A, 以以A為參照系為參照系,對對B物引入慣性力物引入慣性力F=maA，在以在以A的坐標系中，物塊的坐標系中，物塊B沿斜面加速下滑，沿斜面加速下滑，垂直斜面方向加速度為零。（在地面參考垂直斜面方向加速度為零。（在地面參考系中并非如此。）系中并非如此。）NFsin=mgcos, (2)F=maA, (3) 2

21、sincossinmMmgaA2sincosmMMmgN解之得解之得解析方法解析方法2： 引入慣性力引入慣性力sincos212aaaaayx 假設假設m相對相對M的加速度為的加速度為a2，方向沿斜面向下。，方向沿斜面向下。 sincos)cos(sin212maNmgaamN0cossin1NMgNMaN地2221sinsin)(sincossinmMgMmamMmga解析方法解析方法3：Mma1a2MgN地NM：mgNm：axay加速度還原法加速度還原法話題話題5 多物追及和相遇問題多物追及和相遇問題 【源題源題】(全俄中學生物理奧林匹克競賽題全俄中學生物理奧林匹克競賽題)兩兩兩兩相距均為

22、相距均為l的三個質點的三個質點A、B、C，同時分別以相同的，同時分別以相同的勻速率勻速率v運動，運動過程中運動，運動過程中A的運動速度方向始終指的運動速度方向始終指著當時著當時B所在的位置所在的位置、B始終指著當時始終指著當時C所在的位置、所在的位置、C始終指著當時始終指著當時A所在的位置。試問經過多少時間所在的位置。試問經過多少時間三個質點相遇？三個質點相遇？BC2AClA1A2B1B2C1l2l1 解析：根據(jù)題意，三質點均做等速率曲線運動，而且任意時刻解析：根據(jù)題意，三質點均做等速率曲線運動，而且任意時刻三個質點的位置分別在正三角形的三個頂點上，但是這個正三角三個質點的位置分別在正三角形的

23、三個頂點上，但是這個正三角形的邊長不斷縮小，如圖所示?，F(xiàn)把從開始到追上的時間形的邊長不斷縮小，如圖所示?，F(xiàn)把從開始到追上的時間t分成分成n個微小時間間隔個微小時間間隔t（t0），在每個微小時間間隔內，質點的），在每個微小時間間隔內，質點的運動可以近似為直線運動。于是，第一個末三者的位置運動可以近似為直線運動。于是，第一個末三者的位置A1、B1、C1如圖所示。這樣可依次作出以后每經如圖所示。這樣可依次作出以后每經t，以三個質點為頂點組，以三個質點為頂點組成的正三角形成的正三角形A2B2C2、A3B3C3、設每個正三角形的邊長依次設每個正三角形的邊長依次為為l1、l2、l3ln。顯然，當。顯然，當

24、ln0時，三個質點相遇。時，三個質點相遇。解法一：解法一：由前面分析，結合小量近似有：由前面分析，結合小量近似有：.2360cos0111tvlBBAAll.2322312tvltvll.2332323tvltvll .23tvnlln.23nlltvn 以上各式中，以上各式中，t0，n，并有，并有nt =t，ln0（三人相遇）。（三人相遇）。 所以，三個質點一起運動到目標于原正三角形所以，三個質點一起運動到目標于原正三角形ABC的中心，的中心，所需的時間為所需的時間為 .32vltntBC2AClA1A2B1B2C1l2l1解法二：解法二：設設t時刻三角形邊長為時刻三角形邊長為x，經極短時間

25、，經極短時間t后邊長變?yōu)楹筮呴L變?yōu)閤。根據(jù)圖中的幾何關系，應用三角形的余弦定理可得。根據(jù)圖中的幾何關系，應用三角形的余弦定理可得.3360cos)(2)()(222022/2tvtxvxtvxtvtvxtvx在在t0時，可略去二階小量時，可略去二階小量t 2項，因此項，因此 txvxx32/2)231 (3132/xtvxtxvxtxvxx.23/tvxx這表明等邊三角形邊長的收縮率為這表明等邊三角形邊長的收縮率為3v/2。從初始邊長從初始邊長l縮短到縮短到0需時間為需時間為 vlvlt3223BC2AClA1A2B1B2C1l2l1解法三：解法三：因為每一時刻三個質點總在正三角形的頂點上，且

26、因為每一時刻三個質點總在正三角形的頂點上，且運動過程中運動過程中A的運動速度方向始終指著當時的運動速度方向始終指著當時B所在的位置，所所在的位置，所以此時質點以此時質點A速度方向與速度方向與AO連線的夾角恒為連線的夾角恒為30（O為中心為中心點），即點），即A的運動速度沿的運動速度沿AO方向的分量方向的分量vcos30。質點。質點B、C也是如此。在下一時刻，因為三質點隊形如初，質點運動方也是如此。在下一時刻，因為三質點隊形如初，質點運動方向條件如初，所以質點向條件如初，所以質點A、B、C 的運動速度在質點與中心的運動速度在質點與中心O連線方向的分量仍為連線方向的分量仍為vcos30，且為定值。

27、最終三質點相遇在，且為定值。最終三質點相遇在O點，所以每個質點在質點與中心點，所以每個質點在質點與中心O的連線方向上運動了的連線方向上運動了2lsin60/3。.3230cos60sin32vlvltBC2AClA1A2B1B2C1l2l1 O所以根據(jù)分運動與和運動的等時性，相遇時間所以根據(jù)分運動與和運動的等時性，相遇時間 解法四：解法四：以以B為參照系，在兩者連線方向上為參照系，在兩者連線方向上A對對B的相對速的相對速率恒為率恒為v+vcos60。最終追及，相對運動距離為。最終追及，相對運動距離為l，所用時，所用時間為間為 vlvlt3223演變演變1：如四個質點從正方形頂點出發(fā)，已知正方形

28、邊長為如四個質點從正方形頂點出發(fā)，已知正方形邊長為l，結果如何？結果如何？ BC2AClA1A2B1B2C1l2l1（答案：（答案：t=l/v）演變演變2：有五個花樣滑冰運動員表演一種節(jié)目，表演有五個花樣滑冰運動員表演一種節(jié)目，表演的動作規(guī)定為：開始時五人分別從正五邊形的動作規(guī)定為：開始時五人分別從正五邊形ABCDE的五個頂點出發(fā)，以相同速率的五個頂點出發(fā)，以相同速率v運動，如圖所示。運運動，如圖所示。運動中動中A始終朝著始終朝著C，C始終朝著始終朝著E，E始終朝著始終朝著B，B始始終朝著終朝著D，D始終朝著始終朝著A，問經過多長時間五人相聚？，問經過多長時間五人相聚？（已知圓半徑為（已知圓半

29、徑為R） ABCDE（答案：（答案：t=1.05R/v） 話題話題6 曲率半徑問題曲率半徑問題 在向心加速度公式在向心加速度公式an=v2/中中為曲線上該點的曲率半徑。圓為曲線上該點的曲率半徑。圓上某點的曲率半徑與圓半徑相等，在中學物理中研究圓周運動上某點的曲率半徑與圓半徑相等，在中學物理中研究圓周運動問題時利用了這一特性順利地解決了動力學問題。我們應該注問題時利用了這一特性順利地解決了動力學問題。我們應該注意到，這也造成了中學生對意到，這也造成了中學生對意義的模糊，從而給其它運動的研意義的模糊，從而給其它運動的研究，如橢圓運動、拋體運動、旋輪線運動中的動力學問題設置究，如橢圓運動、拋體運動、

30、旋輪線運動中的動力學問題設置了障礙。本文擬就曲線上某點曲率半徑及確定方法作一些探討。了障礙。本文擬就曲線上某點曲率半徑及確定方法作一些探討。 曲率半徑是微積分概念，中學數(shù)學和中學物理都沒有介紹。曲率半徑是微積分概念，中學數(shù)學和中學物理都沒有介紹。曲率曲率K是用來描述曲線彎曲程度的概念。曲率越大，圓彎曲得是用來描述曲線彎曲程度的概念。曲率越大，圓彎曲得越厲害，曲率半徑越厲害，曲率半徑越小，且越小，且 =1/K。這就是說，曲線上一點。這就是說，曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù)。處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù)。 3曲線上某點曲率半徑的確定方法曲線上某點曲率半徑的確定方法（

31、1） 從向心加速度從向心加速度an的定義式的定義式an=v2/出發(fā)。出發(fā)。 將加速度沿著切向和法向進行分解，找到切向速度將加速度沿著切向和法向進行分解，找到切向速度v和和法向加速度法向加速度an，再利用，再利用an=v2/求出該點的曲率半徑求出該點的曲率半徑。 例例1 將將1kg的小球從的小球從A點以點以10m/s的初速度水平拋出，設的初速度水平拋出，設重力加速度重力加速度g10m/s2，求：（，求：（1）在拋出點的曲率半徑；）在拋出點的曲率半徑； （2）拋出后）拋出后1s時的曲率半徑時的曲率半徑。解析解析:（1）初時在）初時在A點向心加速度點向心加速度ang10m/s2，方向豎，方向豎直向下

32、，所以小球在曲線上直向下，所以小球在曲線上A點的曲率半徑點的曲率半徑A=10m. (2) 如圖，拋出后如圖，拋出后1s時到達時到達B點，切點，切向速度向速度v=10 m/s，45。 2 向心加速度向心加速度an=gcos45=5 m/s2。 2小球在小球在B點的曲率半徑點的曲率半徑B=20 m.2(2) 已知曲線已知曲線y=f (x)，由，由 可得某點曲率半徑?？傻媚滁c曲率半徑。yy 232)1 ( 證明：對于任意曲線證明：對于任意曲線y=f (x)，均可理解為，均可理解為x方向的勻速直方向的勻速直線運動及線運動及y方向的變速運動的疊加。方向的變速運動的疊加。0vvx0vydtdxdxdydt

33、dyvy 0 xa20222222vydtdxdxyddtyday 如圖，速度如圖，速度v沿切向，沿切向， oyxvyvvv21222)1 (2122)1 (tan1cosyaaaayyynyyyvyyvavn 232212202202)1 ()1 ()1 ( 例例2 筑路工人把從山上挖出來的土石，盛在一個籮筐里，沿一筑路工人把從山上挖出來的土石，盛在一個籮筐里，沿一條鋼索道滑到山下。如索道形狀為條鋼索道滑到山下。如索道形狀為x2=4ay的拋物線，且籮筐及它的拋物線，且籮筐及它所盛的土石可以看作質量所盛的土石可以看作質量m的質點。求籮筐自的質點。求籮筐自x=2a處自由滑至拋處自由滑至拋物線頂點

34、時籮筐對鋼索的壓力大小。物線頂點時籮筐對鋼索的壓力大小。解析：如圖所示，建立坐標系，鋼索呈頂點為坐標原點解析：如圖所示，建立坐標系，鋼索呈頂點為坐標原點O、開口、開口向上的拋物線。籮筐自向上的拋物線?；j筐自x=2a處自由滑至拋物線頂點時速度大處自由滑至拋物線頂點時速度大小小 ，方向沿，方向沿-x方向。方向。gav2拋物線拋物線x2=4ay上任意點的曲率半徑上任意點的曲率半徑aaxyyavn21)2(1 ()1 (2322322 在原點在原點O，x=0，所以，所以2a。 而此時而此時 ，所以，所以F=2mg。2vmmgF(3) 構造運動法構造運動法 構造兩個相互垂直的分運動，寫出分運動表達式。構

35、造兩個相互垂直的分運動，寫出分運動表達式。 如圖所示為橢圓如圖所示為橢圓 ，求橢圓上，求橢圓上A、B兩點處的兩點處的曲率半徑。曲率半徑。12222byax 解析：橢圓解析：橢圓 ，我們可，我們可以看成是兩個函數(shù)的合成。以看成是兩個函數(shù)的合成。 12222byaxx=acost ,y=bsint則則vx= -asint , vy=bcostax= -2acost ,ay=-2bsint在在A（a，0）處，）處，vy =b，ax=2a,abavn22同理可求得同理可求得B處的曲率半徑為處的曲率半徑為 . ba23233RGMmrrmMGFRrMVMVM 蘭色部分：不貢獻引力蘭色部分：不貢獻引力紅色

36、部分：貢獻引力，恰如位于球心的一個紅色部分：貢獻引力，恰如位于球心的一個 質點質點M，M是紅色部分的總質量是紅色部分的總質量話題話題7 質量均勻球殼（體）內的引力質量均勻球殼（體）內的引力MRrm Rr RGMmrRr rGMmF)()(32ORFr對處于球體內部的質點對處于球體內部的質點m而言而言 證明：證明：一質量分布均勻的球殼對球殼內任一質點的萬有引力一質量分布均勻的球殼對球殼內任一質點的萬有引力為零。為零。Ar1r2s2s1 解析：如圖，設想在一均勻球殼內的任一點解析：如圖，設想在一均勻球殼內的任一點A處置一質量為處置一質量為m的質點，在球面上取一極小的的質點，在球面上取一極小的面元面

37、元s1，以以r1表示表示s1與與A點的距離。設此均勻點的距離。設此均勻球面每單位面積的質量為球面每單位面積的質量為，則面元，則面元s1的質量的質量m1= s1，它對，它對A點的吸引力為點的吸引力為2112111rSmGrmGmF 又設想將又設想將s1邊界上各點與邊界上各點與A點的連線延長分別與點的連線延長分別與s1對面的球對面的球殼相交而圍成面元殼相交而圍成面元s2，設，設A與與s2的距離為的距離為r2，由于，由于s1 和和s2都都很小，可以把它們看作是一個平面圖形，顯然可以想象到它們是很小，可以把它們看作是一個平面圖形，顯然可以想象到它們是相似圖形，因而面元面積比例關系為相似圖形，因而面元面

38、積比例關系為 .222121rrSS面元面元s2對對A處質點的吸引力為處質點的吸引力為2222222rSmGrmGmF由上述三式得由上述三式得F1= F2. 例例 假設地球半徑為假設地球半徑為R，質量分布均勻，一隧道沿某條直，質量分布均勻，一隧道沿某條直徑穿越地球。現(xiàn)在隧道一個端口從靜止釋放質量為徑穿越地球?，F(xiàn)在隧道一個端口從靜止釋放質量為m的小球，的小球，求小球穿越地球所需的時間。小球運動中的阻力不計。求小球穿越地球所需的時間。小球運動中的阻力不計。Orm設質點設質點m位于位于r處，它受到的引力處，它受到的引力rRMmGrMmRrGF3233 可見，當可見，當r0時，即小球位于地球球心時，即

39、小球位于地球球心O處，處，受到的引力為受到的引力為0。O為小球的平衡位置。為小球的平衡位置。 F是小球受到的回復力，是小球受到的回復力，r為小球離開平衡位置為小球離開平衡位置O 的位的位移大小，小球做簡諧運動。移大小，小球做簡諧運動。Fr周期周期GMRRMmGmKmT33222GMRTt32 (2003年復賽題）年復賽題）有人提出了一種不用火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星有人提出了一種不用火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星的設想。其設想如下：沿地球的一條弦挖一通道，如圖所示。在的設想。其設想如下：沿地球的一條弦挖一通道，如圖所示。在通道的兩個出口處通道的兩個出口處A和和B，分別將質量為，分別將質量為M的物體和質量為的物

40、體和質量為m的的待發(fā)射衛(wèi)星同時自由釋放，只要待發(fā)射衛(wèi)星同時自由釋放，只要M比比m足夠大，碰撞后，質量為足夠大，碰撞后，質量為m的物體，即待發(fā)射的衛(wèi)星的物體，即待發(fā)射的衛(wèi)星B就會從通道口沖出通道；設待發(fā)衛(wèi)就會從通道口沖出通道；設待發(fā)衛(wèi)星上有一種裝置，在待發(fā)衛(wèi)星剛離開出口星上有一種裝置，在待發(fā)衛(wèi)星剛離開出口B時，立即把待發(fā)衛(wèi)星時，立即把待發(fā)衛(wèi)星的速度方向變?yōu)檠卦撎幍厍蚯芯€的方向，但不改變速度的大的速度方向變?yōu)檠卦撎幍厍蚯芯€的方向，但不改變速度的大小這樣待發(fā)衛(wèi)星便有可能繞地心運動，成為一個人造衛(wèi)星。若小這樣待發(fā)衛(wèi)星便有可能繞地心運動，成為一個人造衛(wèi)星。若人造衛(wèi)星正好沿地球表面繞地心做圓周運動，則地心

41、到該通道的人造衛(wèi)星正好沿地球表面繞地心做圓周運動，則地心到該通道的距離為多少？已知距離為多少？已知M20m，地球半徑，地球半徑R06400 km。假定地球。假定地球是質量均勻分布的球體，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性是質量均勻分布的球體，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性的。的。 解析：解析：自通道出口處將自通道出口處將M和和m待發(fā)射衛(wèi)星同時自由釋放，待發(fā)射衛(wèi)星同時自由釋放，在通道中兩物均會加速運動，碰撞地點發(fā)生在何處將是問題在通道中兩物均會加速運動，碰撞地點發(fā)生在何處將是問題的關鍵。聯(lián)想到沿地球直徑開鑿一條隧道時物體在其中將做的關鍵。聯(lián)想到沿地球直徑開鑿一條隧道時物體在其中將做簡諧運動，

42、我們猜想兩物也會做簡諧運動。所以，我們從論簡諧運動，我們猜想兩物也會做簡諧運動。所以，我們從論證物體的運動是否為簡諧運動入手。證物體的運動是否為簡諧運動入手。 質量為質量為m的物體所受地球的引力可以改的物體所受地球的引力可以改寫為寫為 43FG mr 作用于質量為作用于質量為m的物體的引力在通道方向的物體的引力在通道方向的分力的大小為的分力的大小為 f=Fsin，而，而sinx/r，0mgfxR所以所以 可見，可見，f與彈簧的彈力有同樣的性質，相應的與彈簧的彈力有同樣的性質，相應的“勁度系勁度系數(shù)數(shù)”k=mg/R0，物體將以，物體將以C為平衡位置作簡諧運動，振動周期為平衡位置作簡諧運動，振動周

43、期為為 ，式中，式中g為地球表面處的重力加速度?？梢姙榈厍虮砻嫣幍闹亓铀俣??？梢奙和和m 在通道中將做周期相同的簡諧運動，在通道中點在通道中將做周期相同的簡諧運動，在通道中點C處發(fā)生碰撞。處發(fā)生碰撞。02/TRgf)(8001010640023sgRTt2202121kAmv解析：火車在巴黎和倫敦的地下鐵道中作簡諧運動。解析：火車在巴黎和倫敦的地下鐵道中作簡諧運動。巴黎到倫敦的時間巴黎到倫敦的時間在鐵道中點在鐵道中點C處速度最大。處速度最大。 例題：例題：假定巴黎和倫敦之間由一條筆直的地下鐵道連接著。在兩假定巴黎和倫敦之間由一條筆直的地下鐵道連接著。在兩城市之間有一列火車飛駛，僅僅由地球的引

44、力作動力。試計算火城市之間有一列火車飛駛，僅僅由地球的引力作動力。試計算火車的最大速度和巴黎到倫敦的時間。設兩城市之間的直線距離為車的最大速度和巴黎到倫敦的時間。設兩城市之間的直線距離為300km, 地球的半徑為地球的半徑為6400km，忽略摩擦力。，忽略摩擦力。)/(5 .1871015016002230smATAAmkv彈性正碰彈性正碰（兩球的相對速度沿球心聯(lián)線）（兩球的相對速度沿球心聯(lián)線） m1u1m2u2(u1u2) 動量守恒原理話題話題8 碰撞問題碰撞問題/vmvmvmvm22112211彈性斜碰呢？彈性斜碰呢？22221122221121212121/vmvmvmvmmmaxsin

45、mmaxsin例題：例題：證明初速度為證明初速度為v、質量為、質量為m的球射向質量為的球射向質量為的靜止小球，的靜止小球，發(fā)生彈性碰撞的最大散射角發(fā)生彈性碰撞的最大散射角max滿足關系式滿足關系式 。mmvv0證明：質心系速度為證明：質心系速度為mmvvmvvm,在質心系中兩者速度大小在質心系中兩者速度大小r mvx mmvv在質心參照系中散射后兩者速度大小不變，方向發(fā)生變化，在質心參照系中散射后兩者速度大小不變，方向發(fā)生變化，所以所以m后來的速度為后來的速度為m球方向最大偏轉發(fā)生在其速度與球方向最大偏轉發(fā)生在其速度與vm矢徑圓相切的位置，矢徑圓相切的位置，如果如果m，則最大散射角為，則最大散

46、射角為180。證明：證明：在質心參照系中運動質點在質心參照系中運動質點m1與靜止質點與靜止質點m2發(fā)生彈性散發(fā)生彈性散射后，兩者速度大小不變，僅是方向發(fā)生變化。射后，兩者速度大小不變，僅是方向發(fā)生變化。m1m2v0碰前碰前m1m2v1v2碰后碰后設質心參考系的運動速度為設質心參考系的運動速度為vv )mmvm2101（0211vmmmv在質心系中，動量關系有在質心系中，動量關系有02211vmvm（柯尼希定理）（柯尼希定理）動能關系有動能關系有22221122120121212121)v(m)v(mv )mm(vm 由此可見，由此可見， v1、v2大小和方向與質量比值有關，兩者的方向大小和方向

47、與質量比值有關，兩者的方向一定在同一直線上。一定在同一直線上。 當然，對于每個質點來說，對于地面參照系的速度大小和方向當然，對于每個質點來說，對于地面參照系的速度大小和方向與質量比值有關。與質量比值有關。 例題：例題： N個相同的小球在光滑的水平桌面上均勻地排成半圓，它個相同的小球在光滑的水平桌面上均勻地排成半圓，它們的總質量是們的總質量是M。另外一個質量為。另外一個質量為m 的球從左邊以速度的球從左邊以速度v射向最射向最邊上的小球。在適當?shù)某跏紬l件下，邊上的小球。在適當?shù)某跏紬l件下，m與所有的與所有的N個小球依次發(fā)個小球依次發(fā)生彈性碰撞，最后又徑直向左離去。生彈性碰撞，最后又徑直向左離去。

48、(1)在在N的極限下，發(fā)生上述碰撞的極限下，發(fā)生上述碰撞M/m要滿足什么條件？要滿足什么條件？ （2）m離開半圓的速度是多少？離開半圓的速度是多少？本題中，每次偏角為本題中，每次偏角為N/mNMmNmMmsinmax而質量為而質量為m的質點與質量為的質點與質量為的質點之間發(fā)生彈的質點之間發(fā)生彈性碰撞時發(fā)生的最大偏轉角性碰撞時發(fā)生的最大偏轉角（2） 設質心參考系的運動速度為設質心參考系的運動速度為VV)Mmmv（vMmmV 在質心參照系中在質心參照系中m被被散射后速度大小不變，方向與原入射方散射后速度大小不變，方向與原入射方向相反，所以向相反，所以m后來的速度為后來的速度為 在質心參照系中在質心

49、參照系中m的入射的入射速度大小速度大小vMmMvmvmMmMVvMmMvm 有三個質量相等的質點小球，有三個質量相等的質點小球，1與與2中間夾置一個被充分壓中間夾置一個被充分壓縮了的輕質短彈簧，并用輕質細線縛在一起縮了的輕質短彈簧，并用輕質細線縛在一起(可視為一個小物體可視為一個小物體)，靜止地放置在光滑水平面上另一個小球靜止地放置在光滑水平面上另一個小球3沿該光滑水平面射向沿該光滑水平面射向它們它們3和和1相碰撞并粘連在一起運動后輕質細線自動崩斷，相碰撞并粘連在一起運動后輕質細線自動崩斷，使彈簧釋放，三個質點小球分成兩部分：一部分為小球使彈簧釋放，三個質點小球分成兩部分：一部分為小球2，另一

50、，另一部分為粘在一起的部分為粘在一起的1、3已知彈簧被充分壓縮時的彈性勢能是已知彈簧被充分壓縮時的彈性勢能是Ep.為了使被釋放出的小球為了使被釋放出的小球2的散射角保持在的散射角保持在30之內，求小球之內，求小球3入射時的動能應滿足什么條件入射時的動能應滿足什么條件 231v0Epv0/22Ep顯然，質心系速度顯然，質心系速度v=v0/3. 因彈簧安置的方向不同等原因，小球因彈簧安置的方向不同等原因，小球2將可能以不將可能以不同的速度向不同方向飛出，設同的速度向不同方向飛出，設v2與與v的夾角為的夾角為在細在細線崩斷過程中，小球線崩斷過程中，小球2和和1、3合成體由于受到彈力的沖合成體由于受到

51、彈力的沖量作用，都將產生相應的動量的增量，從而有相應的量作用，都將產生相應的動量的增量，從而有相應的速度增量速度增量 設設2的速度增量為的速度增量為v2，則在，則在Ep給定的條件給定的條件下，下，v2的大小是一定的，的大小是一定的，v2的大小和方向與的大小和方向與v2的方向有關，即與彈簧安置的方向有關，如圖的方向有關，即與彈簧安置的方向有關，如圖所示當所示當v2與與v2垂直時，垂直時，角最大，這時角最大，這時v2的方的方向沿圓的切線方向，所以在彈簧各種可能的安向沿圓的切線方向，所以在彈簧各種可能的安置方向中，以圖中所示的沿置方向中，以圖中所示的沿v2的方向安置時，的方向安置時，粒子粒子2有最大

52、散射角。要求粒子有最大散射角。要求粒子2的散射角保持的散射角保持在在30以內，必須要求以內，必須要求2|sin30 .vvv0/22Ep6202vvv2200311().4624 2pvEmmv所以要求小球所以要求小球3入射時的動能入射時的動能20124.2pmvE223() .4pEmv話題話題9 牽連沖量牽連沖量 例題：例題：三個質點三個質點A、B和和C ，質量分別為，質量分別為m1 、m2和和m3 ，用拉直，用拉直且不可伸長的繩子且不可伸長的繩子AB和和BC相連，靜止在水平面上，如圖所示，相連，靜止在水平面上，如圖所示，AB和和BC之間的夾角為（之間的夾角為（）?，F(xiàn)對質點）。現(xiàn)對質點C施

53、加以沖量施加以沖量I ，方向，方向沿沿BC ，試求質點，試求質點A開始運動的速度。開始運動的速度。 分析：分析：首先，注意首先，注意“開始運動開始運動”的理解，的理解，它指繩子恰被拉直，有作用力和沖量產生，它指繩子恰被拉直，有作用力和沖量產生，但是繩子的方位尚未發(fā)生變化。其二，對但是繩子的方位尚未發(fā)生變化。其二，對三個質點均可用動量定理，但是，三個質點均可用動量定理，但是， B質點質點受到的兩個沖量不在一條直線上，受到的兩個沖量不在一條直線上， 故最為故最為復雜，可采用分方向的形式表達。其三，復雜，可采用分方向的形式表達。其三，由于兩段繩子不可伸長，故三質由于兩段繩子不可伸長，故三質 點的瞬點

54、的瞬時速度可以尋求到兩個約束關系。時速度可以尋求到兩個約束關系。 設質點設質點A開始運動時運動速度為開始運動時運動速度為v，AB繩中的沖量為繩中的沖量為I2, BC繩中的沖量為繩中的沖量為I1,對對A球，球，I2m1v對對B球，球，I1cosI2m2v對對B球，球，I1I2cosm2v 設質點設質點C開始運動時運動速度為開始運動時運動速度為v，對對C球，球，II1m3v23132122sinmm)mmm(mcosImv另解：另解： 繩拉直瞬間，繩拉直瞬間，AB繩對繩對A、B兩質點的沖量大小相等（方向相兩質點的沖量大小相等（方向相反），設為反），設為I1 ，BC繩對繩對B、C兩質點的沖量大小相等（方向相兩質點的沖量大小相等（方向相反），設為反），設為I2 ；設；設A獲得速度獲得速度v1（由于（由于A受合沖量只有受合沖量只有I1 ,方向沿方向沿AB ，故，故v1的反向沿的反向沿AB