不定積分求解方法畢業(yè)論文設(shè)計(jì)

1、學(xué) 號(hào)Hunan Institute of Science and Technology本科畢業(yè)論文題目：關(guān)于不定積分解題思路的探討 作 者 何 宇 屆 別 2017系 別 數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師 羅德仁 職 稱 講 師完成時(shí)間 2017年5月關(guān)于不定積分解題思路的探討On the resolving idea of indefinite integral專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作 者:何宇指導(dǎo)老師: 羅德仁湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院二一七年五月 岳陽(yáng)湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文摘 要不定積分是求定積分的基礎(chǔ), 在一元微積分學(xué)中占有重要地位. 學(xué)好不定積分,

2、 對(duì)于導(dǎo)數(shù)和微分學(xué)中其他相關(guān)知識(shí)的鞏固很有幫助. 求解不定積分常用的方法主要有: 基本公式法, 換元積分法, 分部積分法, 有理函數(shù)的積分法. 如何快速找到解題的突破口, 靈活使用各類方法是關(guān)鍵. 我們從被積函數(shù)的特點(diǎn)出發(fā), 從易到難, 對(duì)不定積分進(jìn)行多角度的觀察和分析, 比較各類積分法, 發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律, 提高不定積分解題能力. 關(guān)鍵詞: 不定積分; 基本公式法; 換元積分法; 分部積分法; 有理函數(shù)的積分法AbstractIndefinite integral is the foundation of definite integral, it occupies an impor

3、tant position in unitary differential calculus. Grasp the solving methods of indefinite integral is helping to derivative and other relevant knowledge. Several methods of solving indefinite integral are frequently used, such as basic formula method, change the variable,

4、 integration by parts, primitives of rational functions. What matters is how to quickly find the ideas of subject and flexibly use various method.We observed and analysised the indefinite integral multi-angle, on the characteristics of integrand, from simple t

5、o difficult, compare various methods, sum up the laws, improve solving ability of the indefinite integral problem .Keywords:indefinite integral; basic formula method; change the variable; integration by parts;integration by parts primi

6、tives of rational functions I 目 錄摘 要IAbstractII0 引言11 原函數(shù)與不定積分11.1 原函數(shù)存在定理11.2 不定積分的定義22 不定積分的計(jì)算方法22.1 基本公式法22.1.1 不定積分線性運(yùn)算法則22.1.2 基本積分公式及基本公式法32.2 第一換元積分法42.2.1 觀察法和聯(lián)合“湊”微分42.2.2 多次“湊”微分62.3 第二換元積分法62.3.1 根式代換法72.3.2 三角代換法72.3.3 倒代換法82.4 分部積分法92.4.1 冪三指兩兩相乘u,v的選取92.4.2 冪對(duì)反兩兩相乘u,v的選取

7、102.5 有理函數(shù)的積分122.5.1 六個(gè)基本積分122.5.2 待定系數(shù)法13參考文獻(xiàn)150 引言不定積分與定積分構(gòu)成一元函數(shù)積分學(xué). 現(xiàn)實(shí)中許多問(wèn)題, 如: 已知加速度求速度; 已知速度求路程等都與不定積分有關(guān), 這些求導(dǎo)的逆運(yùn)算便是不定積分的求解. 首先第1章第1節(jié)我們利用變上限積分的定義和積分第一中值定理, 證明原函數(shù)的存在定理, 1.2節(jié)給出了不定積分的定義并總結(jié)了不定積分和原函數(shù)之間的關(guān)系. 第2章在給出不定積分各類解題方法的基礎(chǔ)上, 就解題思路和方法的選取技巧作進(jìn)一步探討. 1 原函數(shù)與不定積分1.1 原函數(shù)存在定理 定義1.1 設(shè)函數(shù)與區(qū)間上都有定義.若 (1.1)則稱為在

8、區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù). 定義1.2 設(shè)在上可積, 由可積的充要條件可知, 對(duì)任意的在上也可積, 定義變上限積分 (1.2) 定理1.1 若在上連續(xù), 則由上式（1.1）所定義的函數(shù)在上處處可導(dǎo), 有 (1.3)證 對(duì)任一確定的當(dāng)且時(shí), 由上式和積分第一中值, 存在使得 (1.4)因在處連續(xù), 故有 (1.5)由的任意性, 知是在上的原函數(shù). 1.2 不定積分的定義 定義1.3 函數(shù)在區(qū)間上的全體原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分，記作 (1.6)其中稱為積分號(hào), 為被積函數(shù), 為被積表達(dá)式, 為積分變量, (1.6)在使用時(shí)要看成一個(gè)整體.由定義3可知，不定積分和原函數(shù)是個(gè)體和總體的關(guān)系, 即如果為的

9、一個(gè)原函數(shù)那么的不定積分是一個(gè)函數(shù)族其中為任意常數(shù), 記作 (1.7)不難發(fā)現(xiàn), (1.8) (1.9)顯然, “存在原函數(shù)” 和 “存在不定積分” 說(shuō)法是一樣的.2 不定積分的計(jì)算方法2.1 基本公式法2.1.1 不定積分線性運(yùn)算法則我們平時(shí)做題都會(huì)發(fā)現(xiàn), 求導(dǎo)相對(duì)求原函數(shù)要簡(jiǎn)單很多. 因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的定義具有構(gòu)造性, 而原函數(shù)的定義只告訴我們, 它的導(dǎo)數(shù)恰好等于某個(gè)已知的函數(shù), 并沒(méi)有給出由已知函數(shù)求原函數(shù)的具體形式和途徑.下面先講述怎樣由導(dǎo)數(shù)線性運(yùn)算法則來(lái)求不定積分的線性運(yùn)算法則: 定理2.1 函數(shù)和在區(qū)間上都存在原函數(shù), 為任意常數(shù)，則在上也存在原函數(shù), 且當(dāng)不同為零時(shí), 有 (2.1)證

10、由導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)可知2.1.2 基本積分公式及基本公式法冪函數(shù) 為常數(shù), -1指數(shù)函數(shù) >0 , 1三角函數(shù)對(duì)數(shù)及反三角函數(shù)上表便是常用的積分公式. 如果遇到被積函數(shù)和公式里的一樣, 便可以直接利用公式; 但很多時(shí)候我們遇到的被積函數(shù)有所變化, 這時(shí)我們要將被積函數(shù)變形為積分公式中被積函數(shù)的代數(shù)和運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算.我們將這種方法稱為積分基本公式.例1 求.分析: 被積函數(shù)顯然是一個(gè)冪函數(shù), 通過(guò)化簡(jiǎn)便能利用積分公式直接求解.解 .例2 求.分析: 被積函數(shù)是兩個(gè)帶根號(hào)的分式, 并且兩個(gè)分母不同, 但我們觀察可以發(fā)現(xiàn)的乘積恰好是, 這不正好是我們積分公式里的形式嗎? 因此可將分子分母同乘一個(gè)

11、數(shù)再化簡(jiǎn)求解.解 . 求解不定積分的基本思路是: 先將被積函數(shù)變形為積分公式中被積函數(shù)的代數(shù)和運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算, 然后應(yīng)用不定積分的基本積分公式和線性運(yùn)算法則來(lái)求解.2.2 第一換元積分法定理2.2 設(shè)是可微函數(shù), 則 (2.2)上面求不定積分的方法稱之為第一換元法, 也叫 “湊” 微分法. 運(yùn)用公式(2.2), 關(guān)鍵在于尋找合適的, 使與湊微分, 然后進(jìn)行換元, 故這種方法又稱為 “湊” 微分法.使用第一換元法的基本步驟是: 2.2.1 觀察法和聯(lián)合“湊”微分有的被積函數(shù)通過(guò)觀察便能很快 “湊” 出來(lái), 比如以下的這種:例3 ; ; ; . 第一個(gè)式子中的能 “湊” 成的微分, 即. 中間變量

12、便是(2.2)中的.其余式子與此類似. 而有的被積函數(shù)則比較復(fù)雜, 再看一個(gè)例題: 例4 求.分析: 初看來(lái)無(wú)法下手, 但通過(guò)觀察和推敲可以發(fā)現(xiàn), 對(duì)分母中進(jìn)行求導(dǎo), 有. 故需將與湊微分, 稱為聯(lián)合湊微分法.解 由, 則.我們?cè)倏匆粋€(gè)例子:例5 求分析: 被積函數(shù)中分母為一個(gè)和式的高次冪, 和式應(yīng)當(dāng)成一個(gè)整體, 再看分子, 可以轉(zhuǎn)化為與和式相關(guān)的式子.解 2.2.2 多次“湊”微分有時(shí)候我們不能很快的就湊出微分, 這時(shí)需用到多次湊微分, 如例6.例6 求分析: 被積函數(shù)中含有多個(gè)復(fù)合函數(shù), 我們可以利用基本積分表中的積分公式，作多步的湊微分. 解 有的時(shí)候我們要多次同時(shí)湊微分, 這需要我們對(duì)

13、導(dǎo)數(shù)公式特別熟悉.用湊微分法求解不定積分時(shí), 首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù), 當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時(shí), 首先考慮這種方法, 為復(fù)合函數(shù)的中間變量“湊微分”. 當(dāng)看不清被積函數(shù)的特點(diǎn)時(shí), 不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式來(lái)求導(dǎo)嘗試, 或許從中可以得到某些啟發(fā). 2.3 第二換元積分法當(dāng)被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù), 還是有很大一部分中間變量的微分不好用第一換元法 “湊” 出來(lái), 這時(shí)我們可能用到第二換元積分法. 定理2.3 設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù), 且 具有原函數(shù), 則有. (2.3)其中是的反函數(shù).用好第二換元積分法, 關(guān)鍵在于找到合適的換元使積分變得簡(jiǎn)單, 但在換元過(guò)程中要注意需存在反函數(shù)且可導(dǎo), 故需要的可導(dǎo)性和單

14、調(diào)性.使用第二換元積分法的基本步驟是: 下面我們通過(guò)例題先介紹根式代換.2.3.1 根式代換法例 7 求.分析: 被積函數(shù)含有無(wú)理根式, 不管是基本公式法還是第一換元法, 都不好求解, 這時(shí)第二換元法恰到好處地解決了這個(gè)問(wèn)題: 將無(wú)理根式看成一個(gè)整體進(jìn)行根式代換. 解 令 . 由此可見(jiàn), 當(dāng)我們遇到被積函數(shù)為無(wú)理根式的時(shí)候, 可以優(yōu)先考慮根式代換法. 下面再講講三角代換.2.3.2 三角代換法 例8 求. 分析: 被積函數(shù)中讓人聯(lián)想到三角函數(shù)讓人聯(lián)想到三角函數(shù), 在一個(gè)直角三角形中,為斜邊, 為一直角邊, 如右下圖1.解 則 圖1 . 如遇被積函數(shù)中含, 考慮換元令;如遇被積函數(shù)中含, 考慮換

15、元令;如遇被積函數(shù)中含, 考慮換元令.碰到這些形式的, 都可以使用三角代換法. 2.3.3 倒代換法例9 求分析:被積函數(shù)中分母的冪函數(shù)次數(shù)很高, 能否找個(gè)中間變量使分母變成分子, 簡(jiǎn)化計(jì)算呢? 我們會(huì)想到以前的倒數(shù)!解 令則 不難發(fā)現(xiàn), 當(dāng)被積函數(shù)中分母的次數(shù)較高時(shí), 我們考慮倒代換.用第二換元積分法解題, 根式代換, 三角代換, 倒代換是常用手段. 兩類換元積分法的聯(lián)系: 基本方法都是換元, 進(jìn)行的都是求微分的核心運(yùn)算. 兩類換元積分法的區(qū)別: (1)第一換元法是將看成自變量, 第二換元法是將看當(dāng)成中間變量; (2)第一換元法先微分后換元, 第二換元法是先換元再微分; 2.4 分部積分法

16、設(shè)函數(shù)和都具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 則有分部積分公式: òò-= 或 . (2.4)其原理是函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則的逆用. 當(dāng)被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù), 三角函數(shù), 冪函數(shù), 對(duì)數(shù)函數(shù)或者反函數(shù)中任意兩個(gè)的乘積時(shí), ?？紤]用分部積分法. 關(guān)鍵在于找好, 把它湊成, 用兩個(gè)因式乘積減去的積分.那么, 在選取時(shí), 應(yīng)該注意哪些問(wèn)題呢? 下面通過(guò)例題來(lái)探討一下.2.4.1 冪三指兩兩相乘的選取例10 求.解 (方法一) 將看成, 則 (方法二) 將看成, 則 , 到這一步的時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)比原題更難, 因此題中的選取是有技巧的.當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)與冪函數(shù)的乘積時(shí), 把三角函數(shù)看成是有利于計(jì)算的.

17、下面繼續(xù)探討一種類型: 例11 求. 分析：被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的乘積, 發(fā)現(xiàn)選, 其余部分湊微分形成, 這樣在使用分部積分公式后可以對(duì)冪函數(shù)進(jìn)行降冪. 這里我們還要用到多次分部積分. 解 .如果選, 原式, 新積分不比原積分簡(jiǎn)單, 因此將冪函數(shù)看成, 指數(shù)函數(shù)看成. 同理, 當(dāng)被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積時(shí), 將指數(shù)函數(shù)看成, 這里還用到循環(huán)分部積分法.例12 求解 由于所以通過(guò)例題我們發(fā)現(xiàn), 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積時(shí), 要分部積分兩次. 2.4.2 冪對(duì)反兩兩相乘的選取 例13 求. 分析: 類似上面例題的思路, 發(fā)現(xiàn)選為更好. 解 當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的

18、乘積時(shí), 將對(duì)數(shù)函數(shù)看成, 冪函數(shù)看成無(wú)疑是更利于計(jì)算的. 下面再看下冪函數(shù)與反三角函數(shù)的例子, 這里我們還得對(duì)式子作適當(dāng)?shù)淖冃? 例14 求. 解 令, 則 有 . 當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積時(shí), 將冪函數(shù)看成. 同理, 若是對(duì)數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積, 將對(duì)數(shù)函數(shù)看成. 綜上所述, 分部積分法在選取時(shí), 有一定的選取技巧, 這樣使運(yùn)算更為方便: （1）根據(jù)容易求出;（2） 新積分比容易求. 一般的, 積分從反函數(shù)到指數(shù)函數(shù)會(huì)越來(lái)越簡(jiǎn)單. 被積函數(shù)中是 “反對(duì)冪三指” 5類函數(shù)的2種, 根據(jù)“反對(duì)冪三指” 先后順序, 前者為后者為. 如被積函數(shù)是三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積時(shí), 把三角

19、函數(shù)看成, 即的選取順序?yàn)橹笖?shù)函數(shù), 三角函數(shù), 冪函數(shù), 對(duì)數(shù)函數(shù), 反函數(shù). 2.5 有理函數(shù)的積分 我們把形如 (2.5)稱為有理函數(shù). 其中及為常數(shù), 且的次數(shù)小于的次數(shù), 稱分式為真分式; 的次數(shù)大于的次數(shù), 稱分式為假分式. 2.5.1 六個(gè)基本積分我們把被積函數(shù)分成基本類型的幾個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分時(shí), 總是假定它們可分成若干基本分式. 理論上任意一個(gè)有理真分式函數(shù)的積分, 都可以拆分成6個(gè)類型的基本積分的代數(shù)和:(1)(2)(3)(4)(5)(6) 可由遞推法求得. 例15 簡(jiǎn)單的有理真分式拆分, 如 . 有的時(shí)候, 被積函數(shù)不能很快地拆分成幾個(gè)基本分式, 下面介紹一種好用的方法. 2.5.2 待定系數(shù)法(1) 被積函數(shù)拆成多個(gè)分式后, 如分母中含有因式時(shí), 部分分式形式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)應(yīng)該是這樣:(2) 如分母中含有因式時(shí), 分式形式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)應(yīng)是這樣:例16 求.解 被積函數(shù)的分母分解成, 故可設(shè)