二維雙曲型方程的隱格式解法

1、 本科畢業(yè)論文設計 題 目 二維雙曲線型方程的交替方向隱格式解法 院系 數(shù)學系 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 學生姓名 周玲玲 學 號 10022156 指導教師 陳淼超 職稱 講師 論文字數(shù) 9500 完成日期: 2014年6月8日 / 巢湖學院本科畢業(yè)論文(設計)誠信承諾書本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文(設計)，是本人在導師的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果。除文中已經注明引用的內容外，本論文不含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要奉獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律結果由本人承當。本人簽名： 日期： 巢湖學院本科畢業(yè)論文

2、(設計)使用授權說明本人完全了解巢湖學院有關收集、保存和使用畢業(yè)論文 (設計)的規(guī)定，即：本科生在校期間進行畢業(yè)論文(設計)工作的知識產權單位屬巢湖學院。學校根據(jù)需要，有權保存并向國家有關部門或機構送交論文的復印件和電子版，允許畢業(yè)論文 (設計)被查閱和借閱；學?？梢詫厴I(yè)論文(設計)的全部或局部內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編畢業(yè)，并且本人電子文檔和紙質論文的內容相一致。保密的畢業(yè)論文(設計)在解密后遵守此規(guī)定。本人簽名： 日期： 導師簽名： 日期： 巢湖學院2013屆本科畢業(yè)論文設計二維雙曲型方程的交替方向隱格式解法摘要在解決偏微分方程中二維雙曲線型

3、方程的問題求解初邊值問題時，顯示格式的穩(wěn)定性是有條件的，并且多維的穩(wěn)定性條件更嚴，為得到穩(wěn)定性好的格式，隱式格式受到重視。用隱式格式求解二維問題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀，因此求解不甚便利，采用交替方向隱式ADI格式可以防止此問題。本文以根本概念和根本方法為主，同時結合算例實現(xiàn)算法。第一局部介紹二維雙曲線型方程的交替方向隱格式解法的根本概念，引入本文的研究對象二維波動方程： ，第二局部介紹上述方程的二維雙曲線型方程的交替方向隱格式及這種格式的存在性、收斂性與穩(wěn)定性。第三局部通過算例檢驗二維雙曲線型方程的交替方向隱格式的可行性。關鍵詞：二維雙曲型方程；交替方向隱格式；存在性；收斂性；穩(wěn)定

4、性Alternating direction implicit method for 2-D hyperbolic equationAbstractIn solving partial differential equations to solve the two-dimensional hyperbolic equation in the initial boundary value problem, the stability of the display format&

5、#160;is conditional, and the stability conditions of multidimensionalmore strict, in order to get the good stability of thescheme, implicit attention. By using implicit scheme for solving the two-dimensional problem of linear equations

6、whose coefficient matrix is a broad band, thus solving thenot very convenient, using the alternating direction implicit(ADI) scheme can avoid this problem. In this paper, the basic concepts and basic method, at the same timealgorithm&#

7、160;with an example.The first part is the introduction of two dimensionalhyperbolic equation of alternating direction implicit methodbasic concept - two-dimensional wave equation, the object of study is introduced in this paper:,The second part introduces

8、 the existence and stability oftwo dimensional hyperbolic equations, the convergence of the above equation alternating direction implicit schemeand this format.Feasibility of alternating direction implicit scheme third part through the examples

9、to test two-dimensionalhyperbolic equation. Keywords: hyperbolic equation, alternating direction implicit scheme, existence, convergence, stabilityI目 錄摘要IAbstractII1.前言12.差分格式的建立22.1差分格式的求解42.1.1算例63.差分格式解的先驗估計式84.差分格式解的存在性、收斂性和穩(wěn)定性94.1存在性94.2收斂性104.3穩(wěn)定性12參考文獻13致謝14附頁15 巢湖學院2013屆本

10、科畢業(yè)論文設計1.前言微分方程有著廣泛的自然科學與工程技術的背景，例如熱傳導問題，流體力學問題，波動問題都可以用微分方程來刻畫。然而，實際的運用中，大局部偏微分方程的解很難以解析形式表示出來，人們將研究的重心逐漸的向偏微分方程的數(shù)值解方向轉移，眾多科研家在研究偏微分方程的數(shù)值解方面做出了巨大的奉獻， 。 變分法，有限差分法與有限元方法是目前運用最為廣泛的偏微分方程的數(shù)值解法。其中，有限差分法以其 的特點被廣闊研究者所認可和研究。然而，利用有限差分法在求解偏微分方程的時也會有諸多的缺乏之處，比方不同步長情況下的穩(wěn)定性與精度相差很多，因此，經過幾代科學家的不懈努力，眾多穩(wěn)定性好，精度高的差分格式被

11、提出，比方 。在差分格式中，解決偏微分方程中二維雙曲線方程的問題求解初邊值問題時，顯示格式的穩(wěn)定性是有條件的，并且多維的穩(wěn)定性條件更嚴，為得到穩(wěn)定性好的格式，隱式格式受到重視。用隱式格式求解二維問題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀，因此求解不甚便利，采用交替方向隱式ADI格式可以防止此問題。本文將從根本概念和根本方法入手，通過簡單的二維波動方程，介紹二維雙曲線型方程的交替方向隱格式解法及其簡單的實際應用，起到初步介紹偏微分方程數(shù)值解法的目的。 12.差分格式的建立作為模型，考慮二維波動方程的初邊值問題 5.16-1 (5.16-2), (5.16-3)其中在結點處考慮方程5.16-1.由泰勒

12、展開式可得= (5.17-1) (5.17-2)= (5.17-3) , (5.17-4)其中 .且存在常數(shù)使得 5.18-1 5.18-2 (5.18-3) (5.18-4) (5.18-5)對定解問題5.16-1(5.16-3)建立如下差分格式= (5.19-1) (5.19-2)= (5.19-3) , (5.19-4)(5.19-4)等價于 差分格式(5.19-1) (5.19-4)的結點圖式見圖5.5.圖5.5. 差分格式(5.19-1) (5.19-4)的結點圖2.1差分格式的求解注意到=可將(5.19-1) (5.19-4)寫為或=+， 5.20令，那么有+， 5.21-1=.

13、5.21-2當?shù)趯?、第層的值時，由5.21-1求出過渡層上的值：對任意固定的，取邊界條件， ， 5.22-1求解 +， ， 5.22-2得到.當已求出時，由 5.21-2求出第層上的值：對固定的，取邊界條件 ， 5.23-1求解=. ， 5.23-2得到，.最后由 得到. 5.22-1和5.22-2是關于方向的隱格式，5.23-1和 5.23-2是關于方向的隱格式.它們均是三對角線性方程組，可用追趕法求解.我們把 5.21-1和5.21-2稱為交替方向隱格式.2.1.1算例用交替方向隱格式5.22-1和5.22-2計算定解問題， ， ， ， ， ， ， ，該定解問題的精確解為.表3.2給出了取

14、時計算得到的局部數(shù)值結果.表3.3給出了取不同步長時數(shù)值解的最大誤差從表3.3可以看出，當空間步長和時間步長同時縮小到原來的1/2時，最大誤差約縮小為原來的1/4.圖3.5和圖3.6分別給出了t=1時精確解得曲面圖和取步長所得數(shù)值解的曲面圖；圖3.7給出了t=1時取不同步長所得數(shù)值解的誤差曲面圖.(圖與編程見附頁)表3.2算例3,1局部結點處數(shù)值解，精確解和誤差的絕對值(x,y,t)數(shù)值解精確解|精確解-數(shù)值解|(0.25,0.25,0.25)1.0000061.0000005.753e-6(0.75,0.25,0.25)1.2840331.2840257.343e-6(0.25,0.75,0

15、.25)1.2840331.2840257.343e-6(0.75,0.75,0.25)1.6487311.6487219.737e-6(0.25,0.25,0.50) 0.7788050.7788014.162e-6(0.75,0.25,0.50)1.0000041.0000003.961e-6(0.25,0.75,0.50)1.0000041.0000003.961e-6(0.75,0.75,0.50)1.2840291.2840253.515e-6(0.25,0.25,0.75) 0.6065343 0.60653073.677e-6(0.75,0.25,0.75)0.77880360.

16、77880082.794e-6(0.25,0.75,0.75)0.77880360.77880082.794e-6(0.75,0.75,0.75)1.00000201.00000001.898e-6(0.25,0.25,1.00)0.47236140.47236665.194e-6(0.75,0.25,1.00)0.60652590.60653074.780e-6(0.25,0.75,1.00)0.60652590.60653074.780e-6(0.75,0.75,1.00)0.77879660.77880084.166e-6 表3.3 算例3.1取不同步長時數(shù)值解的最大誤差1/101/10

17、1.274e-31/201/203.540e-43.5991/401/409.519e-53.7191/801/802.493e-53.8181/1601/1606.414e-63.8873.差分格式解的先驗估計式定理3.1 設為差分方程組= 5.24-1， ， 5.24-2， ， 5.24-3， 5.24-4的解，那么對任意步長，有，其中.證明 用乘以5.24-1的兩邊，并對求和，得到 +=， 5.24-5注意到=，=，=， ，由5.25得， 或， 當時，有， 由Gronwall不等式，可得， 定理完畢.4.差分格式解的存在性、收斂性和穩(wěn)定性4.1存在性定理5.2.2差分格式 (5.19-1

18、)(5.19-4)是唯一可解的.證明 差分格式(5.19-1)(5.19-4)是線性的.考慮其齊次方程組= ， ， ， ， ， 由定理5.2.1，有.，易知 .因而差分方程組是(5.19-1)(5.19-4)唯一可解的.4.2收斂性定理5.2.3設為定解問題(5.16-1)(5.16-3)的解，為差分格式(5.19-1)(5.19-4)的解.記， ，那么對任意的步長比有,其中由(5.18-1)(5.18-5)定義.證明 將(5.17-1)(5.17-4)的分別與(5.19-1)(5.19-4)相減，可得誤差方程 ， ， ， ， ， 由定理5.2.1有 應用(5.18-1)(5.18-5)可得,

19、定理證畢.4.3穩(wěn)定性定理5.2.4差分格式(5.19-1)(5.19-4)對任意的步長s在下述意義下對初值和右端函數(shù)是穩(wěn)定的：設為差分方程組= ， ， ， ， ， 的解，那么有，證明直接應用定理5.2.1.參考文獻1陸金甫，關治.偏微分方程數(shù)值解法M北京：清華大學出版社.2004 2LeVeque R JNumerical Methods for Conservation Law sBasel： Birkhauser Velag ，19903徐長發(fā)，李紅偏微分方程數(shù)值解法M. 武漢: 華中科技大學出版社.20004李榮華. 偏微分方程數(shù)值解法M. 北京: 高等教育出版社.2010.5 孫志忠

20、，李雪玲. 反響擴散方程的緊交替方向的差分方法. 計算數(shù)學, 2005, 27(2):209224.6RAAdamsSobolev SpacesMNew York：Academic Press，(1975)7 張志躍. 一類非線性開展方程的交替分段顯隱并行數(shù)值方法. 計算力學學報, 2002,19(2):154158.8 Deng D, Zhang Z. A new high-order algorithm for a class of nonlinear evolution equation. J. Phys.A: Math. Theor., 2016, 41:015202.9JCXu an

21、d JZouSome nonoverlapping domain decomposition methodsJSIAM- Rev，40(4)，(1998)，857-91410WZDaiCompact ADI method for solving parabolicDifferential equationsJNumerMethods for PDE，18(2002)，129-142致謝 在我的論文設計過程中，陳淼超老師從選題指導、論文框架到細節(jié)修改，都給予了我細致的指導，提出了很多珍貴的意見與建議，老師以其嚴謹求實的治學態(tài)度、高度的敬業(yè)精神、兢兢業(yè)業(yè)、孜孜以求的工作作風和大膽創(chuàng)新的進取精神對我

22、產生重要影響。同時也感謝和我同組的組員，在設備上和技術上都給了我很大的幫助。另外，在校圖書館查找資料的時候，圖書館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。在此向幫助和指導過我的各位老師表示最衷心的感謝！這篇論文是在老師的精心指導和同組的伙伴們以及學校圖書館的工作人員的大力支持下才完成的感謝所有授我以業(yè)的老師，沒有這些年知識的積淀，我沒有這么大的動力和信心完成這篇論文。感恩之余，誠懇地請各位老師對我的論文多加批評指正，由于我的學術水平有限，所寫論文難免有缺乏之處，懇請各位老師和學友批評和指正！謹以此致謝最后，我要向百忙之中抽時間對本文進行審閱的各位老師表示衷心的感謝。附頁算例2.1.1的編程：取，那么，滿足穩(wěn)定性條件另取，那么，亦滿足穩(wěn)定性條件另取，那么，亦滿足穩(wěn)定性條件format long