CHP312隨機向量隨機變量的獨立性新ppt課件

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三章隨機變量與分布函數(shù) 第一節(jié)隨機變量及其分布第一節(jié)隨機變量及其分布 第二節(jié)隨機變量與隨機向量的獨立性第二節(jié)隨機變量與隨機向量的獨立性 第三節(jié)隨機變量的函數(shù)及其分布第三節(jié)隨機變量的函數(shù)及其分布機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二節(jié) 隨機變量及隨機向量的獨立性一、隨機向量及其分布一、隨機向量及其分布二、邊沿分布二、邊沿分布三、條件分布三、條件分布四、隨機變量的獨立性四、隨機變量的獨立性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、隨機向量及其分布一、隨機向量及其分布構成一個n維隨機變量或n維隨機向量。定義定義( , )P F假設隨機變量 定義在同一概率空間 上

2、，那么稱12( ),( ),( )n 12( )( ( ),( ),( )n 把它們作為一個隨機向量，我們不僅能研討各個分量的性質，而且可以調(diào)查它們之間的聯(lián)絡，對許多問題來說，這是非常必要的。 對于恣意的n個實數(shù) 12,nx xx1122 ( ),( ),( )nnxxx 1 ( )niiix F機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義 稱 n 元函數(shù)121122( ,) ( ),( ),( )nnnF x xxPxxx 為隨機向量 的結合分布函數(shù)。12( ),( ),( )n nR亦即對于 中的 n 維矩形 ，有1(,)nniiCx ( )nCF 利用測度論的方法還可以證明，假設 為 上任一

3、博雷爾點集，也有nBnR ( )nBF以后，我們將要用到這個結論。 給出了分布函數(shù)以后，我們可以計算事件111222( ),( ),( )nnnab abab 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的概率，例如當 時，有2n 2x1b1a2a2b01x111222,P ab ab類似于一元的場所，可以證明多元分布函數(shù)的一些性質1單調(diào)性：關于每個變元是單調(diào)不減函數(shù)。212( ,)0,nF x xx(,)1.F 3 關于每個變元左延續(xù)。1122,ab ab在二元場所，還應該有：對恣意 ，都有12121212( ,)( ,)( ,)( ,)0F b bF a bF b aF a a12121212(

4、,)( ,)( ,)( ,)F b bF a bF b aF a a4機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質4能推出單調(diào)性，但存在著反例闡明，由單調(diào)性并不能保證4式成立。這是多元場所與一元場所的不同之處。 隨機向量也有不同類型，最常見的也是離散型與延續(xù)型。 在離散型場所，概率分布集中在有限或可列個點上，重要的離散型分布有多項分布與多元超幾何分布，它們分別是二項分布和超幾何分布往多元場所的推行。 可以證明：滿足2，3，4這三條性質的二元函數(shù)必為某二元隨機變量的分布函數(shù)。因此，以后我們稱滿足以上三條性質的函數(shù) 為二元結合分布函數(shù)。( , )F x y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 反復這種實

5、驗 次，并假定這些實驗是相互獨立的，假設以 分別記 出現(xiàn)的次數(shù)，那么n12,r 12,rA AA1122,rrPkkk0ik 這里整數(shù) ，且僅當 時上式才成立，否那么為0。12rkkkn(),1,2, ,iiP Ap ir多項分布多項分布12,rA AA在實驗中，假設每次實驗的能夠結果為 ，而且121,rppp121212!.!rkkkrrnp ppk kk機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 多元超幾何分布多元超幾何分布袋中裝有 號球 只， ，從中隨機摸出 只，假設以 分別記 號球的出現(xiàn)數(shù)，那么iiN121,2,rir NNNNn12,r 1,2,r1122,rrPnnn0in 這里整數(shù) ，且

6、僅當 時上式才成立，否那么為0。12rnnnn 以上兩個分布在抽樣中常用，前者用于有放回場所，后者那么用于不放回場所。1212.rrNNNnnnNn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在延續(xù)型場所，存在著非負函數(shù) ，使12( ,)np x xx112121( ,)(,)nxxnnnF x xxp y yy dydy12( ,)np x xx這里的 稱為密度函數(shù)，滿足如下兩個條件12( ,)0;np x xx121( ,)1.nnp x xx dxdx均勻分布和 元正態(tài)分布是比較常見的多維延續(xù)型分布n均勻分布均勻分布G假設 為 中有限區(qū)域，其測度 ；那么由密度函數(shù)nR0S 1212121,( ,

7、)( ,)0,( ,)nnnx xxGp x xxSx xxG給出的分布稱為 上的均勻分布。G機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 多元正態(tài)分布多元正態(tài)分布()i jbB假設 是 階正定對稱矩陣，以 表示 的逆矩陣； 表示 的行列式的值。 是恣意實值行向量，那么由密度函數(shù)n1()i jrBBBdetB12( ,)na aaa1,12211exp()()2(2 ) (det)njkjjkknj krxaxaB12( ,)np x xx定義的分布稱為 元正態(tài)分布，簡稱為n( ,)N a Bn 元正態(tài)分布是最重要的一種多維分布，它在概率論、數(shù)理統(tǒng)計、隨機過程論中都占有重要位置，具有許多重要性質。機動

8、目錄 上頁 下頁 返回 結束 112211exp()()2(2 ) (det)nx-a Bx-aB12( ,)np x xx 元正態(tài)分布地密度函數(shù)可以寫為向量方式：n這里 表示向量 的轉置。()x-a()x-a 二維正態(tài)分布的結合密度函數(shù) 的圖形是一個鐘形曲面，它與平行于坐標平面 的程度平面相交的截口為橢圓，而與平行 于另外兩個坐標平面的豎直平面相交 的截口為正態(tài)曲線。 ( , )p x yOXY二維正態(tài)分布的圖形特點二維正態(tài)分布的圖形特點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、邊沿分布二、邊沿分布 為方便起見，討論將對二維場所進展，多維時這些結論依然成立。 思索二維離散型分布的場所，設 取值

9、 ； 取值 ，記12,x x 12,y y ( ,),1,2,ijijp x yPxyi j1( ),iip xPx2(),1,2,jjpyPyi j顯然( ,)0,ijp x y此外對固定的 和 ，有ij1( )( ,),iijjp xp x y2()( ,).jijipyp x y,( ,)1.iji jp x y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 通常用以下表格表示通常用以下表格表示(, )的分布律和邊沿分布律的分布律和邊沿分布律1y2yjy.1x.2x.ix.11(,)p x y12( ,)p x y1( ,)jp x y.11()p 11()p x12()p x2()p 21(,)p

10、 xy1( ,)ip x y22(,)p xy2( ,)ip x y2(,)jp xy( ,)ijp x y21()py22()py2()jpy1( )ip x 稱為結合概率分布， 稱為邊沿分布。( ,)ijp x y12( ),()ijp xpy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1( )( , )xF xp u v dudv 留意：留意： 結合分布不能由邊沿分布獨一確定，也就是說二維隨機向量的性質不能由它兩個分量的個別性質來確定，這時還必需思索它們之間的聯(lián)絡，這也闡明了研討多維隨機向量的作用。普通地，假設 是二維隨機向量，其分布函數(shù)為 ，我們能由 得出 或 的分布函數(shù)，現(xiàn)實上，( , )

11、( , )F x y( , )F x y1( ),( ,).F xPxPxF x 同理2( )(, ).F yPyFy 及 稱為 的邊沿分布函數(shù)。1( )F x2( )F y( , )F x y 假設 是延續(xù)型分布函數(shù)，有密度函數(shù) ，那么( , )F x y( , )p x y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2112122122, ,.ra ar Ba因此 是延續(xù)型分布函數(shù)，其密度函數(shù)為1( )F x1( )( , )p xp x y dy同理 也是延續(xù)型分布函數(shù)，其密度函數(shù)為2( )F x2( )( , )pyp x y dx 及 稱為 的邊沿分布密度函數(shù)。1( )p x2( )py(

12、, )p x y二元正態(tài)分布二元正態(tài)分布P 元正態(tài)分布 時的特殊情況。相應地n2n 二元正態(tài)分布的邊沿分布仍為正態(tài)分布。211(,)N a222(,)N a機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 問題：問題： 均勻分布的邊沿分布能否還是均勻分布？例例設 服從單位圓 上的均勻分布，試求它的邊沿密度函數(shù)。( , ) 22( , ):1Dx yxy解解( , ) 結合密度函數(shù)為：221( , ),1.p x yxy當 時， 故 ；而當 時，| 1x | 1x ( , )0p x y 1( )0p x 1( )( , )p xp x y dy對稱可得222( )( , )1.pyp x y dxy 因此，

13、單位圓上均勻分布的邊沿分布不是一維均勻分布。22121121.xxdyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、條件分布三、條件分布 對于多個隨機事件可以討論它們的條件概率，同樣地，對于多個隨機變量也可以討論它們的條件分布。 仍對二維的場所進展討論。也還是從離散型開場。假設知 那么事件 的條件概率為1( )0),iix p xjy1,( ,)|( )ijijjiiiPxyp x yPyxPxp x此式定義了隨機變量 關于隨機變量 的條件分布。2()jpy 在普通情況下，它不同于 ，這表示從 的取值可以得出關于 的某些信息。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對于普通隨機向量 ，我們也想定義條件

14、分布函數(shù)( , ) ，但是由于會出現(xiàn) ，因此我們不能像上式一樣簡單地定義。|Pyx()0Px自然會想到可以用下式來定義0|lim|xPyxPy xxx 0,limxP xxxyP xxx 0(, )( , )lim(,)( ,)xF xx yF x yF xxF x 特別對于有延續(xù)密度函數(shù)的場所，這定義導出0( , )|lim( , )xxyxxxxxp u v dudvPyxp u v dudv 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 11( , )( , )|.( )( )yyp x v dvp x vPyxdvp xp x因此在給定 的條件下， 的分布密度函數(shù)為y2( , ) | .( )p

15、 x yp x ypy因此在給定 的條件下， 的分布密度函數(shù)為x1( , ) | .( )p x yp y xp x利用積分中值定理， 當 時，1( )0p x 2( )0.py 這里當然也要求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2221( |),11.2 1p yxxyxx2222121( |) (),(1)FxN arxar2112122122, ,.ra ar Ba例例 二元正態(tài)分布 ，其中( , ) ()N a,B的條件分布依然是正態(tài)分布，即例例x假設 服從單位圓上的均勻分布，那么在 的條件下 的條件分布是區(qū)間 上的均勻分布，即( , ) 22(1, 1)xx 特別指出，這一條件分布的

16、均值是 的線性函數(shù)，這一結論在一些統(tǒng)計問題中很重要。x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、隨機變量的獨立性四、隨機變量的獨立性定義定義n( , )P F設 是概率空間 上的 個隨機變量，假設他們的結合分布函數(shù)等于各自邊緣分布函數(shù)之積，即1,n111( ,)()(),1, .nnniF xxF xF xx in那么稱 相互獨立。1,n一族無限多個隨機變量稱作相互獨立的，假設其中恣意有限個相互獨立。定理定理 假設隨機變量 相互獨立，那么其中任何一部分隨機變量仍獨立。1,n 于是，整體獨立的多個隨機變量是兩兩獨立的，但其逆命題不真。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理隨機向量 相互獨立，

17、當且僅當( , ) 121212, ,.PBBPB PBB B1B定理定理12( ,)( )(),1,2,ijijp x yp x pyi j假設 為離散型隨機向量，那么 與 獨立的充分必要條件是它的結合分布等于邊沿分布之積。( , ) 定理定理假設 為延續(xù)型隨機向量，那么 與 獨立的充分必要條件是它的結合密度等于邊沿密度之積。( , ) 12( , )( )( ),p x yp x py, x yR對幾乎處處的 成立。 2n 下面，以 為例討論獨立性定義的種種等價方式。假設隨機變量 與 獨立，那么條件分布化為無條件分布。|.PyxPy即由 的取值不能得出任何關于 的信息。機動 目錄 上頁 下

18、頁 返回 結束 隨機向量之間的獨立性隨機向量之間的獨立性定義定義 對于 維隨機向量 和 維隨機向量 ，假設nm, PABPA PB成立， 那么稱 與 相互獨立。,A Bm其中 分別是恣意一個 維和 維的博雷爾點集。n 顯然假設 與 獨立，那么 的子向量 與 的子向量獨立命題命題 二維正態(tài)隨機變量相互獨立的充分必要條件為參數(shù) 。0r 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 隨機變量的獨立性概念是概率論中最根本的概念之一，也是最重要的概念之一，關于獨立隨機變量的研討構成了概率論的重要課題，我們將在第五章引見一些根本結果。正態(tài)分布的一個條件正態(tài)分布的一個條件1 與 有延續(xù)的密度函數(shù)。2 與 相互獨立。彈落點的坐標 是一個二維隨機變量，假設滿足( , ) 3 的密度函數(shù)在 點的值僅與它到原點的距 離有關。( , ) ( , )x y那么 與 均服從正態(tài)分布。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,Pmn例例假定在一段確定的時間內(nèi)，放射性物質發(fā)射出的 粒子數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布，假設每個發(fā)射