22函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、無為縣第三中學(xué)電子備課教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)內(nèi)容2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能： 1、使學(xué)生掌握知識(shí)結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識(shí)； 2、通過對(duì)知識(shí)的梳理，提高學(xué)生的歸納知識(shí)和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。過程與方法：通過學(xué)生自主練習(xí)和動(dòng)手實(shí)踐，進(jìn)一步增強(qiáng)他們的實(shí)踐能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：學(xué)生通過知識(shí)的整合、梳理，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義。教學(xué)難點(diǎn)會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)準(zhǔn)備投影儀等。課時(shí)安排2課時(shí)第一課時(shí)課時(shí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義。2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)

2、的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)過程一、考綱解讀考點(diǎn)展示考查頻率考綱要求高考命題探究函數(shù)的單調(diào)性5年2考理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義1.內(nèi)容探究：給出具體函數(shù)，判定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性解不等式，求函數(shù)的最大值、最小值是高考的熱點(diǎn)2形式探究：本講知識(shí)在高考中多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)以解答題的形式考查.函數(shù)的最值5年2考利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值和最小值二、知識(shí)梳理1增函數(shù)、減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI，如果對(duì)于任意x1，x2D，且x1x2，則都有：(1)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)f(x1)f(x2)；(2)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f(x1)

3、f(x2)2單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間3函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件對(duì)于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.對(duì)于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.結(jié)論M是yf(x)的最大值M是yf(x)的最小值三、雙基自測1(質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，xD，若對(duì)任意x1，x2D，x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，則函數(shù)f(x)在

4、區(qū)間D上是增函數(shù)()(2)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，)()(3)函數(shù)y|x|是R上的增函數(shù)()(4)函數(shù)y的最大值為1.()答案：(1)(2)×(3)×(4)2下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是()AyexByx3Cyln xDy|x|解析：選B.A項(xiàng)，函數(shù)yex為R上的減函數(shù)；B項(xiàng)，函數(shù)yx3為R上的增函數(shù)；C項(xiàng)，函數(shù)yln x為(0，)上的增函數(shù)；D項(xiàng)，函數(shù)y|x|在(，0)上為減函數(shù)，在(0，)上為增函數(shù)故只有B項(xiàng)符合題意3函數(shù)f(x)在1,2上的最大值和最小值分別是_解析：f(x)2在1,2上是增函數(shù)，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)1.答

5、案：，14函數(shù)y(2k1)xb在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是_解析：由題意知2k10得k.答案：5f(x)x22x，x2,3的單調(diào)增區(qū)間為_，f(x)max_.解析：f(x)(x1)21，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為1,3，f(x)maxf(2)8.答案：1,38四、典例分析考向一【例1】(1)函數(shù)f(x)log2(x21)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(2)試討論函數(shù)f(x)(a0)在(1,1)上的單調(diào)性【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解(2)根據(jù)單調(diào)性的定義求解【解析】(1)由x210得x1或x1，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1)(1，)令tx21，因?yàn)閥log2t在t(0，)上為增函數(shù)，tx2

6、1在x(，1)上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)log2(x21)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)【答案】(，1)(2)設(shè)1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aaa當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上遞減；當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上遞增【規(guī)律方法】1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，如本題(1)2利用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，作差后應(yīng)注意差式的分解變形要徹底3利用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，求導(dǎo)運(yùn)算及導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷要準(zhǔn)確變式訓(xùn)練1判斷函數(shù)g(x)在(1，)上的單調(diào)性解

7、：任取x1，x2(1，)，且x1x2則g(x1)g(x2)，由于1x1x2，所以x1x20，(x11)(x21)0，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)g(x2)故g(x)在(1，)上是增函數(shù)考向二 【例2】已知f(x)，x1，)，且a1.(1)當(dāng)a時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對(duì)任意x1，)，f(x)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍【思路點(diǎn)撥】(1) 先判斷函數(shù)f(x)在1，)上的單調(diào)性，再求最小值；(2) 根據(jù)f(x)min0求a的范圍，而求f(x)min應(yīng)對(duì)a分類討論【解】(1)當(dāng)a時(shí)，f(x)x2，f(x)10，x1，)，即f(x)在1，)上是增函數(shù)，所以f(x)minf(1)

8、12.(2)f(x)x2，x1，)法一：當(dāng)a0時(shí)，f(x)在1，)內(nèi)為增函數(shù)最小值為f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，3a0.當(dāng)0a1時(shí)，f(x)在1，)上為增函數(shù)，f(x)minf(1)a3.a30，a3.0a1.綜上所述，f(x)在1，)上恒大于零時(shí)，a的取值范圍是(3,1法二：f(x)x20，x1，x22xa0，a(x22x)，而(x22x)在x1時(shí)取得最大值3，3a1.【規(guī)律方法】利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則f(x)在a，b上的最大值為f(b)，最小值為f(a)請(qǐng)思考，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上是

9、減函數(shù)呢？變式訓(xùn)練2函數(shù)f(x)xlog2(x2)在區(qū)間1,1上的最大值為_解析：由于yx在R上遞減，ylog2(x2)在1,1上遞增，所以f(x)在1,1上單調(diào)遞減，故f(x)在1,1上的最大值為f(1)3.答案：3考向三【例3】(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是增函數(shù)，則滿足f(x)f(2x3)的x的取值范圍是_(2)已知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【思路點(diǎn)撥】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性去掉法則“f”，將原不等式轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解(2)首先保證函數(shù)在每一段上單調(diào)遞減，然后保證在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值“左右”【解析】(1)依題意得，不等式f(x)f(2x3)等價(jià)于x2x3

10、，解得x3，即滿足f(x)f(2x3)的x的取值范圍是(3，)【答案】(3，)(2)當(dāng)x1時(shí)，要使函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，則有2a1，即a，當(dāng)x1時(shí)，要使函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，則有0a1，要使f(x)在R上單調(diào)遞減，則有2×128a3loga1，即a.綜上知，a.【答案】(1)B(2)【規(guī)律方法】1.含“f”號(hào)不等式的解法：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x)f(h(x)的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”號(hào)，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意g(x)與h(x)的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)2分段函數(shù)的單調(diào)性：(1)首先保證分段函數(shù)在每一段上單調(diào)遞增(減)(2)其次保證在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值“左右(增)”或“左右(減)”變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間0，)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)f的