數(shù)學習題八年級上天府前沿

1、P49天府前沿14、如圖，在平行四邊形 ABCD中，點E在AD上，以BE為折痕，將三角形 ABE向上翻 折，點A正好落在CD上的點F處，若三角形FDE的周長為8，三角形FCB的周長為22, 求FC的長。答：因為折疊，EF=AE,BF=AB所以 DF+FC=DC=AB=FB(1), DE+EF=DE+EA=DA=CB(2)(1)+(2)得 DF+DE+EF=FB+CB-FCDF+DE+EF=8,FB+CB-FC=(FB+FC+CB)-2FC=22所以-2FC=8-22FC=7P49頁15、如圖，已知在平行四邊形 ABCD中 AB=X分之一 BC,延長AB至F,使BF=AB 再延長BA至E,使AE

2、=BA請你判斷EC與 FD的位置關(guān)系，并說明理由。答：EC交AD于M,FD交BC于N,AE=AB=BF=CD,內(nèi)錯角相等，據(jù)角邊角定理, 三角形AEM也三角形DMC三角形BFN也三角形 DCN 二AM=DM BN=NC M,N分別為AB,BC的中點, 連接MN AB=1/2BC二 M=DC=NC=MN四邊形MNCD為棱形，MC,ND為對角線，MC垂直ND 所以EC垂直FDP53頁13、如圖，在梯形 ABCD中, AD/BC,AD=6,BC=16,E是BC的中點，點P以每秒1 個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長 度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動，點P停止運

3、動時，點Q也隨之停止運 動，當運動時間為（）秒時，以點P、Q E、D為頂點的四邊形是平行四邊形。答：AP=t，PD=6-tCQ=2t1. EQ=8-2tPD=EQ6-t=8-2tt=2s2. EQ=2t-86-t=2t-83t=14t=14/3 s（ v 14/3 v 18/3=6，二此時 P 未到 D 點，成立）當t=2秒時，PDQE是平行四邊形當t=14/3秒時，PDEQ1平行四邊形14、如圖，已知三角形ABC是等邊三角形，D E分別在邊BC AC上，且CD=CE 連接DE并延長至點F,使EF=AE連接AF、BE和CF （ 1）求證三角形BDE全 等于三角形FEC判斷四邊形ABDF是怎樣的

4、四邊形，并說明理由(1) 三角形 ABD也三角形 ACD也三角形AFD(2) 四邊形ABDF是平行四邊形因為CD=CE，角ACB=60，所以三角形CDE為全等三角形。因為EF=AE，角AEF等于60度，所以三角形AEF為全等三角形，AE=AC-CE,BD=BC-DC,所以 BD=AF,在三角形 BDE 和三角形 FCE 中，角 BDE=180-60=120,角 CEF=180-60=120, DE=CE,BD=AF=EF,所以三角形 BDE和三角形FCE全等。因三角形ABC是等邊三角形，角CBA等于60度；又角CDF等于60度，所以 DF/AB,又DF=AE，三角形DCE是等邊三角形，所以EF

5、+DE=AE+EC=AC=AB ， 即DF=AB,故四邊形ABDF是平行四邊形。15、請用兩種方法解答：如圖：CD為直角三角形ABC斜邊AB上的高，AE平 分角BAC，并交CD于點E，過E點作EF/AB,并交BC于F點，求證：CE=BF 。方法一：證：過E作EG平行BC交AB于點G 又因為EF平行于AB，所以有EFBG為平行四邊形，即有：FB=EG 再因AE平分角BAC，所以：角CAE=角BAE因為在直角三角形 ABC中，角BCA=90度，CD垂直于AB易得：角ACD=角B=角EGA因為AE是公共邊所以有三角形CAE全等于三角形GAE所以有：CE=EG=BF方法二：過E作AC的垂直線交AC于M

6、,過F作AB的垂線交AB于G,DE=FG,因為AE平分角A,可證三角形ADE和三角形AEM全等，即ME=ED=FG 在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中，角B加角BCE=90,角ACE加角BCE=90, 所以，角B等于角ACE,在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中,ME=FG,所以 Rt三角形BFG和Rt三角形CEM全等。P5514、如圖所示，在梯形 ABCD中，AD/BC,AB=AD,角BAD的平分線 AE交BC 于點E，連結(jié)DE，求證四邊形ABED是菱形；若角ABC=60度，CE=2BE, 試判斷三角形CDE的形狀并說明理由。H p答：因為 AD/BC.AB=AD 角 BAD 的平分線

7、 AE 交 BC 于點 E所以角DAE=角AEB=角BAE，所以BE=AB=AD，所以四邊形ABED是菱形 所以角DEC=角B=60度，又因為CE=2BE=2DE ,取CE重點F，連結(jié)DF ,則EF=ED所以 CDF 是等邊三角形，所以 DF=CF ，一個外角等于兩個內(nèi)角之和，所以角 C=角DFE的一半=30度所以角 CDE=90 度，所以 CDE 是直角三角形15 、如圖， AD 是 Rt 三角形 ABC 斜邊 BC 上的高，角 B 的平分線交 AD 于點 E， 交AC于點G,(1)比較AE、AG的大小，并說明理由；作GF垂直BC于點F， 連結(jié)EF，判斷四邊形AEFG的形狀，并說明理由。(3

8、)若AD=4,BD=3,求AE 的長。1.vZ C+DAC=90，/ BAD+ / DAC=90°，二/ C= / BAD，丁 BE平分/ ABC，二/ ABE= / CBE，丁/ AGE= / BAD+ / ABE，/AEG= / C+Z CBE，二/ AGE= / AEG，二 AG=AE。(2)AG=GF(角平分線上的點到兩邊的距離相等)BG=BG, 所以 ABG FBG, 故，Z AGB= Z FGB又 EG=EG AG=GF 所以 AEG FEG ,故 AE=EF,即 AG=GF= AE=EF 所以四邊形 AEFG 的形狀是菱形二四邊形AEFG是菱形3)3) AD=4， BD

9、=3 則 AB=5，根據(jù)角平分線定理： AE/ED=AB/BD 即 AE/(AD-AE)=AB/BDAE/(3-AE)=5/4解得： AE=5/3P57頁：第十二題：如圖8,在長方形ABCDK AB=3CM,AD=4CM, 過對角線BD的中點0作BD的垂直平分線EF，分別交AD BC于點E、F，則AE的長為：解：設 AE=x ，連接 BE，v OE 垂直平分 BD，二 EB=ED=4-x, 在直角三角形 ABE 中，BE2 -AE2 =AB2，即(4-x ) 2-x2 =32， 解得： x=7/8，答： AE=7/8呂P57頁第13題：如圖，依次連接第一個矩形各邊的中點得到一個菱 形，依次連接

10、菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下 去，已知第一個矩形的面積為一，則第 n個矩形的面積為：個矩形的面積為sn。sn = 1/2A（2 n-2）易得第二個矩形的周長為1/2，第三個矩形的周長為1/2八2，依此類 推，第n個矩形的周長為1/2An-1 ,面積為二（1/2八門-1*1/2八n-1 ） =1/2A（2 n-2）P57頁14題：如圖，在三角形ABC中，點0是AC邊上（端點除外） 的一個動點，過點0作直線MV/BC,設MN交角BCA的平分線于點E, 交角BCA的外角平分線于點F,連結(jié)AE AF，那么當點0運動到何處 P57頁：15題。在平分四邊 ABCD中，角BAD的平分線交直

11、線BC于點E,交 直線DC于點F°（ 1）在圖1中證明CE=CF;當點0運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形.由 于CE平分/ BCA，那么有/ 1 = / 2,而MN / BC,利用平行線的性 質(zhì)有/ 1 = 2 3,等量代換有/ 2二/3,于OE=OC，同理OC=OF，于是 OE=OF,而OA=OC,那么可證四邊形 AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是 2 BCA及其外角的角平分線，易證/ ECF是90°從而可證四邊形AECF是矩形. 解答：解：當點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形.證 明： CE 平分2 BCA ,二2

12、 1 = 22,又t MN / BC,：2 1 = 2 3,二2 3=22, EO=CO，同理，F(xiàn)O=CO,. EO=OF, 而 OA=OCAECF是平行四邊形，又CE、CF分別是2 BCA及其外角的角平分線，2 ECF 是 90°,（2）若角ABC=90度，G是EF的中點（如圖2），直接寫出角BDG的度數(shù)；（3） 若角ABC=120度，F(xiàn)G/CE, FG=CE，分別連接DB、DG （如圖3），求角BDG 的度數(shù)。解：（1）證明：t AF平分/ BADBAF玄DAF.v四邊形ABCD是平行四邊形, AD/ BC,AB/ CD/. / DAF2 CEF,Z BAFW F. /-Z CE

13、F2 F. / CE=Cf（2）連 BG、CG，t BE=AB=DC，EG=CG，Z BEG=135 =Z DCG，BEG DCG，BG=DG ,/Z BGE= Z DGC ,/Z BGD= Z EGC=90BDG是等腰直角三角形，/Z BDG=45 °分別連接 GB,GE,GC（如圖 4）t AB/ DC,Z ABC=120 ,/Z ECFZ ABC=120 ,t FG/ CE且FG=CE/四邊形CEGF是平行四邊形.由（1）得CE=CF/.平行四邊形CEGI是菱形./ EG=EC/GCFZ GCE=1/2/ ECF=60ECG是等邊三角形./ EG=CGDZ GECZ GCF=6

14、0 . /Z GECZ GCF/.Z BEGZ DCG由 AD/ BC及AF平分Z BAD可得Z BAEZ AEB./ AB=BE在平行四邊形 ABC沖， AB=DC. BE=DC由得 BEGA DCG/-BG=DG,1=Z 2. /Z BGDZ1+Z 3=Z 2+Z 3=Z EGC=60 . /ZB DG=（180 - Z BGD）/2=60°P59頁：13題。長為1,寬為a的矩形紙片(a大于二分之一小于1),如圖那 樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形(稱第一次操作)；再把剩下的 矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時的矩形寬幅的正方形(稱第二次操作)；如此反復操作下去，

15、若在第n次操作后，剩余的矩形為正方形，則操作終 止，當n=3時，a的值為？1/2 v a v 1時，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1-a，所以第二次操作時正方形的邊長為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1 .此時，分兩種情況： 如果 1-a > 2a-1，即 a v 2/3，那么第三次操作時正方形的邊長為2a-1 .則 2a-1= (1-a) - (2a-1)，解得 a=3/5; 如果1-av 2a-1，即a>2/3,那么第三次操作時正方形的邊長為1-a.則 1-a= (2a-1 ) - (1-a)，解得 a=3/4 故答案為3/5 ;或3/4.P59

16、頁第14題：如圖，點G是正方形ABCD寸角線CA的延長線上任意一點， 以線段AG為邊作一個正方形AEFG線段EB和GD相交點H.(1)求證：EB=GD;(2) 判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若AB=2,AG=/2,求EB的長。A1) 因為正方形 AEFG中，AE垂直于AG，那么<EAF=90o -45o= 45o在三角形 AEB 和三角形 AGD 中，AB=AD , <EAG=<GAD=45o , AE=AG 所以三角形AEB和三角形AGD全等，所以BE=DG。2) EB 丄GD，連接 BD，由(1)得/ ADG= / ABE 則在 BDH 中，角 ABH+ 角

17、HBD+角BDH=90度，角GDA=角ABH，所以，角HBD+角BDH=90度，所 以，DHB=90所以EB丄GD ;3) AB=2,AG=/2設BD與C交0點，在RT三角形ABD中，BDA2=ABA2+ADA2 =V(4+4)=2 V2,在 Rt 三角形 GODh GDA2=(AG+AO)A2-DOA2=&2)八2- V2八2=6 GD= V6,GD=BE所以 BE=/6。P6 1頁，第15題：如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AD=AB=CD=2,角C=60度，M是 BC的中點，（1）求證三角形MD（是等邊三角形；將厶MD（繞點M旋轉(zhuǎn)，當MD（即卩MD ）與AB交于一點E, M

18、C（即卩MC ）同時與 AD交于一點F時，點E, F和點A構(gòu)成AAEF試探究厶AEF的周長是否存在最小 如果存在，請計算出AEF周長的最小值.（1）過點D作DP丄BC于點P，過點A作AQ丄BC于點Q，得到CP=BQ= 1/2AB，CP+BQ=AB=1，得出 BC=2CD，由點 M 是 BC 的中點，推出 CM=CD，由/ C=60°，根據(jù)等邊三角形的判定即可得到答案;（2） AEF的周長存在最小值，理由是連接 AM，由ABMD是菱形，得出MAB， MAD和厶MC D是等邊三角形，推出/ BME= / AMF，證出 BME也 AMF （ASA），得出BE=AF，ME=MF，推出 EMF是等邊三角形，根據(jù) MF的最小值為點M到AD的距離V 3,即EF的最小值是V 3,即可求出厶AEF的(1)證明：過點D作DPI BC于點P,過點A作AQL BC于點Q,即AQ/ DP, vAD/ BC,二 ADPQ1 平行四邊形，二 AD=QP=AB=CD/Z C=Z B=60° ,二/ BAQMCDP=30，二 CP=BQ=1/2AB=,1 即 BC=1+1+2=4 v CD=2 二 BC=2CD v 點 M是 BC 的中點，BC=2CM二CD=CM vZ C=60，二 MD(是等邊三角形.(2)解： AEF的周長存在最小值，理由如下：連接 AM