力矩與平面力偶理論

1、1第第3 3章章 力矩與平面力偶理論力矩與平面力偶理論2 31 力矩的概念與計(jì)算力矩的概念與計(jì)算 22 力偶及其性質(zhì)力偶及其性質(zhì) 23 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡第第3 3章章 力矩與平面力偶理論力矩與平面力偶理論 力力F對(duì)剛體產(chǎn)生的繞平面上對(duì)剛體產(chǎn)生的繞平面上O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于：點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于： 轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的強(qiáng)度：轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的強(qiáng)度：Fd； 轉(zhuǎn)動(dòng)的方向：順時(shí)針或逆時(shí)針。轉(zhuǎn)動(dòng)的方向：順時(shí)針或逆時(shí)針。 力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）是為了描力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）是為了描述剛體運(yùn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。述剛體運(yùn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。OAFBd一、力對(duì)點(diǎn)的矩一、力對(duì)點(diǎn)的矩( (力矩力矩) )定義定義: 為力對(duì)

2、點(diǎn)之矩。為力對(duì)點(diǎn)之矩。O( )MFFd 力使剛體繞矩心力使剛體繞矩心 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)為正，時(shí)為正， 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)為負(fù)。時(shí)為負(fù)。 正負(fù)規(guī)定正負(fù)規(guī)定 ：O()2MFFdOAB 其中：其中：O 為參考系中的某一點(diǎn)，稱為矩心。為參考系中的某一點(diǎn)，稱為矩心。d 為矩心至力為矩心至力F作用線的垂直距離，稱為力臂。作用線的垂直距離，稱為力臂。OAFBd平面中力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量。平面中力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量。力矩在下列兩種情況下等于零：力矩在下列兩種情況下等于零： 1. 力的大小等于零；力的大小等于零； 2. 力的作用線通過(guò)矩心，即力的作用線通過(guò)矩心，即力臂等于零。力臂等于零。 力矩

3、的單位常用力矩的單位常用Nm或或kNm。OAFBd6 若FR為兩個(gè)共點(diǎn)力F1 和F2的合力，則合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，即 MO(FR) = MO(F1) + MO(F2) 二、合力矩定理二、合力矩定理證明：證明：由合力投影定理有，Od=Ob+OcA。 B F1CF2DFRx。Ocbd因此， MO(FR) = MO(F1) + MO(F2)又 MO(F1) = 2SOAB=OAObMO(F2) = 2SOAC=OAOcMO(FR) = 2SOAD=OAOd例題例題3-13-1：圖示梁受到載荷集度為：圖示梁受到載荷集度為q的均布載荷的作的均布載荷的作用，求均布載荷的合

4、力及其作用線位置。用，求均布載荷的合力及其作用線位置。00( )2llxqlQq x dxqdxl解解: :根據(jù)合力投影定理，根據(jù)合力投影定理，則合力的大小為：則合力的大小為：再根據(jù)合力矩定理確定合力的作用線位置。再根據(jù)合力矩定理確定合力的作用線位置。假設(shè)合力假設(shè)合力Q的作用線距離的作用線距離A點(diǎn)的距離為點(diǎn)的距離為xC 。lxqqx2023lCqlxqlxqdx xl23Clx 思考：這個(gè)力系的合力及作用線位置思考：這個(gè)力系的合力及作用線位置。q2AlBq19 如圖所示，一帶輪直徑D=400mm，膠帶拉力FT1=1500N，F(xiàn)T2=750N，與水平線的夾角=15。求它們對(duì)輪心O之矩。FT1FT

5、2OD 應(yīng)用力矩計(jì)算公式，膠帶拉力沿輪的切線方向，則力臂均為 ,而與角無(wú)關(guān)，故d=D/2MO(FT1)=-FT1D/2=-300 NmMO(FT2)=FT2D/2=150 Nm10ODDFn 如圖所示，作用于齒輪的嚙合力Fn=1000N，節(jié)圓直徑D=160mm，壓力角=20。求嚙合力Fn=1000N對(duì)于輪心O之矩。ODDFnFtF 解：直接用定義求解解：直接用定義求解MO(Fn)=-Fn(Dcos)/2 =-75.2 Nm應(yīng)用合力矩定理求解應(yīng)用合力矩定理求解Ft=FncosFr=FnsinMO(Fn)= MO(Ft)+ MO(Fr) =-(Fncos) D/2+0 =-75.2Nm11 把兩個(gè)

6、大小相等，作用線不重合的反向平行力把兩個(gè)大小相等，作用線不重合的反向平行力叫叫力偶力偶，常記為：，常記為：一、一、 力偶的定義力偶的定義(F,F)無(wú)法再簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)單力系之一。無(wú)法再簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)單力系之一。 力偶作用面：由一對(duì)力力偶作用面：由一對(duì)力 F F 所組成的平面；所組成的平面； 力偶臂：構(gòu)成力偶的一對(duì)力的作用線間的距離，力偶臂：構(gòu)成力偶的一對(duì)力的作用線間的距離，用用 d d 表示；表示；度量轉(zhuǎn)動(dòng)作用效應(yīng)的物理量。度量轉(zhuǎn)動(dòng)作用效應(yīng)的物理量。單位為單位為Nm或或kNm。 力偶系：力偶系：作用于剛體上的一作用于剛體上的一群力偶。群力偶。使剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。使剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。FFd力偶的

7、作用面力偶臂二、力偶的等效定理和性質(zhì)二、力偶的等效定理和性質(zhì)作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要它的力偶矩的大小作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要它的力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則該兩個(gè)力偶彼此等效。相等，轉(zhuǎn)向相同，則該兩個(gè)力偶彼此等效。1. 平面力偶的等效定理平面力偶的等效定理兩個(gè)推論兩個(gè)推論： 力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)，而不影響它對(duì)剛力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)，而不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。體的作用效應(yīng)。 Mr r F r rd(a) Fr rFr r Mr r F r r d/ (c) Fr r Mr r F r rd(b)Fr r 只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力只要保持力偶矩大

8、小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)剛體的偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。作用效應(yīng)。152. 力偶的性質(zhì)力偶的性質(zhì) （2）力偶不能與一個(gè)力等效（即力偶無(wú)合力），本）力偶不能與一個(gè)力等效（即力偶無(wú)合力），本身又不平衡，也不能與一個(gè)力平衡（身又不平衡，也不能與一個(gè)力平衡（力偶只能由力偶來(lái)力偶只能由力偶來(lái)平衡平衡）。是一個(gè)基本的力學(xué)量。）。是一個(gè)基本的力學(xué)量。（1）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零 。( ,)()oABMF FrrFM rr rrrrrBAMrFrrr力偶矩力偶矩FFrr

9、因因（3）力偶對(duì)任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變）力偶對(duì)任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。而改變。( ,)()()oooMF FMFMFrr rrrrrABrFrFrrrr3、力偶的表示方法、力偶的表示方法MM相同處：兩者量綱相同；相同處：兩者量綱相同； 作用效應(yīng)相同。作用效應(yīng)相同。不同處：力對(duì)點(diǎn)的矩可隨矩心的位置改變而改變，但一個(gè)不同處：力對(duì)點(diǎn)的矩可隨矩心的位置改變而改變，但一個(gè)力偶矩是常量。力偶矩是常量。聯(lián)聯(lián) 系：力偶中的兩個(gè)力對(duì)任一點(diǎn)的之和是常量，等于力系：力偶中的兩個(gè)力對(duì)任一點(diǎn)的之和是常量，等于力偶矩。偶矩。三、力對(duì)點(diǎn)的矩與力偶矩的區(qū)別與聯(lián)系三、力對(duì)點(diǎn)的矩與力偶矩的區(qū)

10、別與聯(lián)系19平面力偶系：平面力偶系：作用面共面的力偶系稱為平面力偶系一、平面力偶系的合成平面力偶系的合成F2dF2dF1F1d1F2F2d2F3F3d3dF1dF1dF3dF3dFRFRd1F1d=F1d1/dF2d=F2d2/dF3d=F3d3/dFR=F1d+F2d-F3dFR=F1d+F2d-F3dM=FRd=(F1d+F2d-F3d)d =F1d1+F2d2-F3d3M=M1+M2+M3 平面力偶合成所得的合力偶的力偶矩等平面力偶合成所得的合力偶的力偶矩等于力偶系各力偶力偶矩的代數(shù)和于力偶系各力偶力偶矩的代數(shù)和.122RMMMMM結(jié)論：結(jié)論：21 平面力偶系平衡的充要條件是平面力偶系平

11、衡的充要條件是: :所有各分力偶矩的代數(shù)所有各分力偶矩的代數(shù)和等于零。和等于零。 二、平面力偶系的平衡二、平面力偶系的平衡M=0OBDA1M2M例題例題 3-4 圖示的鉸接四連桿機(jī)構(gòu)圖示的鉸接四連桿機(jī)構(gòu)OABD，在桿，在桿OA 和和BD 上上分別作用著矩為分別作用著矩為 和和 的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。于平衡。 已知已知OA = r，DB = 2r，= 30，不計(jì)桿重，試求，不計(jì)桿重，試求 和和 間的關(guān)系。間的關(guān)系。1M2M1M2MOAABF1MOFDBBAF2MDF解：解：1）畫受力圖，桿）畫受力圖，桿AB為二力桿。為二力桿。aABCMbcBCCFBF例

12、題例題 3-5 圖示機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。圖示機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。解：解：1）畫受力圖，）畫受力圖，BC為二力體。為二力體。ACMCFAF220AMFab0,M 2）列平衡方程：）列平衡方程：22BCCAMFFFFab22AMFab已知，已知，a:b=c:a,不計(jì)桿重，求不計(jì)桿重，求A，B兩點(diǎn)的約束力。兩點(diǎn)的約束力。2）分別寫出桿）分別寫出桿AO 和和BD 的平衡方程：的平衡方程：1cos0ABMFr22cos0BAMF r0,M 212ABBAFFMMOAABF1MOFDBBAF2MDF例題例題 3-6 各構(gòu)件不計(jì)自重，在構(gòu)件各構(gòu)件不計(jì)自重，在構(gòu)件BC上作用一力偶矩為上作用一力偶矩為M

13、的力偶。試求支座的力偶。試求支座A的約束力。的約束力。解：解：1）以）以BC構(gòu)件為研究對(duì)象，畫出分離體及其受力圖。構(gòu)件為研究對(duì)象，畫出分離體及其受力圖。根據(jù)力偶平衡條件，列平衡方程根據(jù)力偶平衡條件，列平衡方程 ：C0,0MMFl 2）以）以ACD構(gòu)件為研究對(duì)構(gòu)件為研究對(duì)象，畫出分離體受力圖。象，畫出分離體受力圖。根據(jù)力偶平衡條件，列平根據(jù)力偶平衡條件，列平衡方程：衡方程：DC0,0MFlFl DMFlA,xMFlAyMFlA A點(diǎn)約束力為點(diǎn)約束力為: : 方向與圖示一致。方向與圖示一致。1M2M2MAF1OF1MAFCF例題例題 3-7 圖示使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。圖示使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平

14、衡。已知，已知，OA=a， M1，不計(jì)桿重，求，不計(jì)桿重，求M2。解：解：1）畫受力圖。）畫受力圖。2）列平衡方程：）列平衡方程：0,M 曲柄曲柄OA：0,M 擺桿擺桿O1B：1sin300AMFOA210AMFO A又：又：AAFF 可得：可得：214MM28M1M2M3M4 如圖所示，用多軸鉆床在水平放置的工件上同時(shí)如圖所示，用多軸鉆床在水平放置的工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔鉆四個(gè)等直徑的孔,每個(gè)鉆頭的主切削力在水平面內(nèi)組成每個(gè)鉆頭的主切削力在水平面內(nèi)組成一力偶，各力偶矩的大小為一力偶，各力偶矩的大小為 ,轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向如圖，求工件受到的總切削力偶矩是多大如圖，求工件受到的總切削力偶矩是多大? 15N m M1=M2=M3=M4解解:由 M=Mi 4 ( 15)60 N mM M1+M2+M3+M429 梁梁AB上作用一力偶上作用一力偶,其力偶矩大小為其力偶矩大小為 ,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向如圖，梁長(zhǎng)向如圖，梁長(zhǎng)l=5m,不計(jì)自重。求支座不計(jì)自重。求支座A、B的約束力。的約束力。 100 N m MABFBFAMl解解:由平面力偶系的平衡方