《3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)》最新教研教案教學(xué)設(shè)計

1、第2課時奇偶性的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性對單調(diào)性的影響并能用以比較大小、求最值和解不等式知識點一用奇偶性求解析式如果已知函數(shù)的奇偶性和一個區(qū)間a，b上的解析式，想求關(guān)于原點的對稱區(qū)間b，a上的解析式，其解決思路為：(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入(3)利用f(x)的奇偶性寫出f(x)或f(x)，從而解出f(x)知識點二奇偶性與單調(diào)性若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間a，b和b，a上具有相同的單調(diào)性；若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間a，b和b，a

2、上具有相反的單調(diào)性預(yù)習(xí)小測自我檢驗1若f(x)的定義域為R，且f(x)為奇函數(shù)，則f(0)_.答案02若f(x)為R上的奇函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞減，則f(1)_f(1)(填“>”“”或“<”)答案>解析f(x)為R上的奇函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞減，f(x)在R上單調(diào)遞減，f(1)>f(1)3如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間7，3上是減函數(shù)，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是_函數(shù)答案減解析f(x)為奇函數(shù)，f(x)在3,7上的單調(diào)性與7，3上一致，f(x)在3,7上是減函數(shù)4函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，若x>0時，f(x)x，則x<0時，f(x)_.答案x解析方法一令x&

3、lt;0，則x>0，f(x)x，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)x(x<0)方法二利用圖象(圖略)可得x<0時，f(x)x.一、利用函數(shù)的奇偶性求解析式命題角度1求對稱區(qū)間上的解析式例1函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)x1，求當(dāng)x<0時，f(x)的解析式考點函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點利用奇偶性求函數(shù)的解析式解設(shè)x<0，則x>0，f(x)(x)1x1，又函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)f(x)x1.反思感悟求給定哪個區(qū)間的解析式就設(shè)這個區(qū)間上的變量為x，然后把x轉(zhuǎn)化為x，此時x成為了已知區(qū)間上的解

4、析式中的變量，通過應(yīng)用奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，適當(dāng)推導(dǎo)，即可得所求區(qū)間上的解析式跟蹤訓(xùn)練1已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時，f(x)x(1x)，求f(x)的解析式解因為x(，0)時，x(0，)，所以f(x)x1(x)x(x1)因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(x)f(x)x(x1)，x(，0)f(0)0.所以f(x)命題角度2構(gòu)造方程組求解析式例2設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)g(x)，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式考點函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點利用奇偶性求函數(shù)的解析式解f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x).用x代

5、替x，得f(x)g(x)，f(x)g(x)，()÷2，得f(x)；()÷2，得g(x).反思感悟f(x)g(x)對定義域內(nèi)任意x都成立，所以可以對x任意賦值，如xx.利用f(x)，g(x)一奇一偶，把x的負號或提或消，最終得到關(guān)于f(x)，g(x)的二元方程組，從中解出f(x)和g(x)跟蹤訓(xùn)練2設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)g(x)x22x，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式考點函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點利用奇偶性求函數(shù)的解析式解f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x)2xx2.用x代替x，得f(x)g(x)2x

6、(x)2，f(x)g(x)2xx2，()÷2，得f(x)x2；()÷2，得g(x)2x.二、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較大小例3設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x0，)時，f(x)是增函數(shù)，則f(2)，f()，f(3)的大小關(guān)系是()Af()>f(3)>f(2)Bf()>f(2)>f(3)Cf()<f(3)<f(2)Df()<f(2)<f(3)答案A解析因為函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(3)f(3)，f(2)f(2)又當(dāng)x0，)時，f(x)是增函數(shù)，且>3>2，所以f()>f(3)>f(2)，故f

7、()>f(3)>f(2)反思感悟利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較大小(1)自變量在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；(2)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小跟蹤訓(xùn)練3(1)已知偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，則f(1)和f(10)的大小關(guān)系為()Af(1)>f(10) Bf(1)<f(10)Cf(1)f(10) Df(1)和f(10)關(guān)系不定答案A解析f(x)是偶函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞減，f(10)f(10)<f(1)(2)定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0，)上的圖

8、象與f(x)的圖象重合，設(shè)a>b>0，下列不等式中成立的有_(填序號)f(a)>f(b)；f(a)>f(b)；g(a)>g(b)；g(a)<g(b)；g(a)>f(a)答案解析f(x)為R上奇函數(shù)，增函數(shù)，且a>b>0，f(a)>f(b)>f(0)0，又a<b<0，f(a)<f(b)<f(0)0，f(a)>f(b)>0>f(b)>f(a)，正確，錯誤x0，)時，g(x)f(x)，g(x)在0，)上單調(diào)遞增，g(a)g(a)>g(b)g(b)，正確，錯誤又g(a)g(a)f(a

9、)>f(a)，正確三、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式例4(1)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上是增函數(shù)若f(3)0，則<0的解集為_答案x|3<x<0或x>3解析f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上是增函數(shù)，f(x)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)f(3)f(3)0.當(dāng)x>0時，由f(x)<0，解得x>3；當(dāng)x<0時，由f(x)>0，解得3<x<0.故所求解集為x|3<x<0或x>3(2)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)<f 的x的取值范圍為()

10、A. B.C. D.答案A解析由于f(x)為偶函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞增，則不等式f(2x1)<f ，即<2x1<，解得<x<.反思感悟利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式，一般有兩類(1)利用圖象解不等式；(2)轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，脫掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡單不等式(組)求解跟蹤訓(xùn)練4設(shè)定義在2,2上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是減函數(shù)，若f(1m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范

11、圍解因為f(x)是奇函數(shù)且f(x)在0,2上是減函數(shù)，所以f(x)在2,2上是減函數(shù)所以不等式f(1m)<f(m)等價于解得1m<.所以實數(shù)m的取值范圍為.1若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上是增函數(shù)，則下列關(guān)系成立的是()Af(3)>f(0)>f(1)Bf(3)>f(1)>f(0)Cf(1)>f(0)>f(3)Df(1)>f(3)>f(0)考點抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問題答案B解析f(3)f(3)，且f(x)在區(qū)間0，)上是增函數(shù)，f(3)>f(1)>f(0)2定義在R上的偶函數(shù)f

12、(x)在0，)上是增函數(shù)，若f(a)<f(b)，則一定可得()Aa<b Ba>bC|a|<|b| D0a<b或a>b0考點抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問題答案C3已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)x1，則x>0時，f(x)_.答案x1解析當(dāng)x>0時，x<0，f(x)x1，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)x1.4.奇函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上的圖象如圖，則函數(shù)f(x)的增區(qū)間為_答案(，1，1，)解析奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，可知函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(，1，1，)5已知偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減

13、，f(2)0.若f(x1)>0，則x的取值范圍是_答案(1,3)解析因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x1)f(|x1|)又因為f(2)0，所以f(x1)>0可化為f(|x1|)>f(2)又因為f(x)在0，)上單調(diào)遞減，所以|x1|<2，解得2<x1<2，所以1<x<3.1知識清單：(1)利用奇偶性，求函數(shù)的解析式(2)利用奇偶性和單調(diào)性比較大小、解不等式2方法歸納：利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性畫出函數(shù)的簡圖，利用圖象解不等式和比較大小，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng)3常見誤區(qū)：解不等式易忽視函數(shù)的定義域1設(shè)函數(shù)f(x)且f(x)為偶函數(shù)，則g(

14、2)等于()A6 B6 C2 D2考點函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點利用奇偶性求函數(shù)的解析式答案A解析g(2)f(2)f(2)2226.2如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3，1上是增函數(shù)且有最大值5，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上是()A增函數(shù)且最小值為5B增函數(shù)且最大值為5C減函數(shù)且最小值為5D減函數(shù)且最大值為5答案A解析f(x)為奇函數(shù)，f(x)在1,3上的單調(diào)性與3，1上一致且f(1)為最小值，又已知f(1)5，f(1)f(1)5，f(1)5，故選A.3已知函數(shù)yf(x)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在0，)上是減函數(shù)，若f(a)f(2)，則a的取值范圍是()Aa2 Ba2Ca2或a2 D2a2答案D解析由f

15、(a)f(2)得f(|a|)f(2)，|a|2，2a2.4已知函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有4個交點，則方程f(x)0的所有實根之和是()A4 B2 C1 D0答案D解析yf(x)是偶函數(shù)，所以yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)0的所有實根之和為0.5設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)，若x1<0且x1x2>0，則()Af(x1)>f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)<f(x2)Df(x1)與f(x2)的大小不確定考點抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問題答案A解析x1<0，x1x2>0，x2>x

16、1>0，又f(x)在(0，)上是減函數(shù)，f(x2)<f(x1)，f(x)是偶函數(shù)，f(x2)f(x2)<f(x1)6設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)x21，則f(2)f(0)_.答案5解析由題意知f(2)f(2)(221)5，f(0)0，f(2)f(0)5.7已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(x)<f(1)的x的取值范圍是_考點抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問題答案(，1)解析由于f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)<f(1)等價于x<1.8若f(x)(

17、m1)x26mx2是偶函數(shù)，則f(0)，f(1)，f(2)從小到大的排列是_答案f(2)<f(1)<f(0)解析f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，m0，即f(x)x22.f(x)的圖象開口向下，對稱軸為y軸，在0，)上單調(diào)遞減，f(2)<f(1)<f(0)，即f(2)<f(1)<f(0)9已知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且當(dāng)x>0時，f(x)x22x3.(1)試求f(x)在R上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間考點單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用題點求奇偶函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解(1

18、)因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以f(x)為奇函數(shù)，則f(0)0.設(shè)x<0，則x>0，因為當(dāng)x>0時，f(x)x22x3.所以當(dāng)x<0時，f(x)f(x)(x22x3)x22x3.于是有f(x)(2)先畫出函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象，再根據(jù)對稱性畫出y軸左側(cè)的圖象，如圖由圖象可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1，1，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,0)，(0,1)10已知函數(shù)f(x)axc(a，b，c是常數(shù))是奇函數(shù)，且滿足f(1)，f(2).(1)求a，b，c的值；(2)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性并證明考點單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用題點判斷或證明奇偶函數(shù)在某區(qū)間上的

19、單調(diào)性解(1)f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，axcaxc，c0，f(x)ax.又f(1)，f(2)，a2，b.綜上，a2，b，c0.(2)由(1)可知f(x)2x.函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)證明如下：任取0<x1<x2<，則f(x1)f(x2)2x12x2(x1x2)(x1x2).0<x1<x2<，x1x2<0,2x1x2>0,4x1x21<0.f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)f(x)在上為減函數(shù)11設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，)上為減函數(shù)，且f(1)0，則不等式<0的解集為()A(1,0)(1，)B

20、(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)答案C解析f(x)為奇函數(shù)，<0，即<0，f(x)在(0，)上為減函數(shù)且f(1)0，當(dāng)x>1時，f(x)<0.奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，在(，0)上f(x)為減函數(shù)且f(1)0，即x<1時，f(x)>0.綜上使<0的解集為(，1)(1，)12已知f(xy)f(x)f(y)對任意實數(shù)x，y都成立，則函數(shù)f(x)是()A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)答案A解析令xy0，所以f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0.又因為f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，故選A.13已知yf(x)x2是奇函數(shù)且f(1)1，若g(x)f(x)2，則g(1)_.考點函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點利用奇偶性求函數(shù)值答案1解析yf(x)x2是奇函數(shù)，f(x)(x)2f(x)x2，f(x)f(x)2x20，f(1)f(1)20.f(1)1，f(1)3.g(x)f(x)2，g(1)f(1)2321.14已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1x)f