數(shù)列的綜合問(wèn)題

1、10數(shù)列的綜合問(wèn)題突破點(diǎn) (一 ) 數(shù)列求和1公式法與分組轉(zhuǎn)化法：(1)公式法； (2)分組轉(zhuǎn)化法； 2倒序相加法與并項(xiàng)求和法：(1)倒序相加法；(2) 并項(xiàng)求和法： 在一個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an ( 1)nf (n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn 1002 992 982 972 22 12 (1002 992) (982 972) (2 2 12) (100 99) (98 97) (2 1) 5 050.3裂項(xiàng)相消法：(1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和(2) 常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：111.1 nn n 1n1

2、n n 21 1111111n2.2n 2n1. n 1 n.4 錯(cuò)位相減法2n2n1121nn 12n分組轉(zhuǎn)化法求和例 1已知數(shù)列 an ，n 滿足a1 5， an 2an 1 3n 1，*)， n an 3n*)b (n2 n Nb(n N(1) 求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn. 解 (1)an2an1 3n 1* ， n 2)，an 3n 2(an1 3n1 ，(nN)bn 2bn 1(n N* ， n 2)b1a1 3 2 0，bn 0(n 2)， bn 2，bn 1bn 是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列n 2 ·2n 1 2nb.(2)由

3、(1) 知 an bn 3nnn2n2nn 1 3n17 2 3 ，Sn (2 2 2 ) (3 3 3) 2 2 .2 方法技巧 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型(1)若 an n±cn，且bn， cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求an 的前 n 項(xiàng)和b(2)通項(xiàng)公式為 anbn， n為奇數(shù)，的數(shù)列，其中數(shù)列 bn， cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和cn， n為偶數(shù)錯(cuò)位相減法求和例 2(2016 山·東高考 )已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn 3n2 8n， bn是等差數(shù)列，且an bn bn 1.(1) 求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式；an 1 n 1(2)令 c

4、nn ，求數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和 T n.bn 2 解 (1)由題意知，當(dāng)n 2 時(shí)， an Sn Sn1 6n 5，當(dāng) n 1 時(shí)， a1 S1 11，滿足上式，a1 b1 b2，11 2b1 d，所以 an 6n5.設(shè)數(shù)列 bn的公差為 d.由即17 2b1 3d，所以 bn 3n 1.a2 b2 b3，6n 6n 1n 1(2)由 (1) 知 cn3n3n 3(n 1) 2· ，又 Tn c1 c2 cn，供參考得 T n 3× 2 ×2 2 3 ×2 3 ( n 1) ×2n 1 ， 2T n3× 2 ×2 3

5、3 ×24 ( n 1) ×2 n 2 ，兩式作差，得 T n 3× 2×2 2 2 3 2 4 2n 1 (n 1)×2 n 2 3n·2n 2，所以 T n 3n·2n 2. 方法技巧 錯(cuò)位相減法求和的策略(1)如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列， bn是等比數(shù)列，求數(shù)列 an·bn的前 n 項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解(2)在寫 “”與“qS ”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“ 錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊 ”以便下一步準(zhǔn)確寫出 “S ”的表達(dá)式 (3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求SnnnqSn和時(shí)，

6、若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1 和不等于 1 兩種情況求解裂項(xiàng)相消法求和例 3數(shù)列 an的前項(xiàng)和為n 1 2，數(shù)列 bn 是首項(xiàng)為1，公差為 d(d 0)的等差數(shù)列， 且 b1，nn2aSb3 ， b9 成等比數(shù)列(1) 求數(shù)列 an與 bn的通項(xiàng)公式；(2)若 cn2(n N * )，求數(shù)列 cn的前 n 項(xiàng)和 Tn.n 1 bn 解 (1)當(dāng) n 2 時(shí)， an SnSn1 2n1 2n 2n，又 a1 S1 21 1 2 2 21，也滿足上式，所以數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an 2n.則 b1 a1 2.由 b1， b3， b9 成等比數(shù)列，得 (22d)22× (2 8d

7、)，解得 d 0(舍去 )或 d2，所以數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式為bn 2n.2111111(2)由 (1) 得 cn n，所以數(shù)列 cn的前 n 項(xiàng)和 T n × × × n 1 bnn n1n 11 2 23 3 41111111n 1223 n1.n× n 1n 1n 1n 1突破點(diǎn) (二 )數(shù)列的綜合 應(yīng)用問(wèn)題1.等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，主要有：1 綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、 前 n 項(xiàng)和公式、 等差 比 中項(xiàng)、等差 比 數(shù)列的性質(zhì)；2 重點(diǎn)考查基本量即“知三求二 ”，解方程 組 的計(jì)算以及靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列

8、的性質(zhì)解決問(wèn)題.2.數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系，決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性，是高考命題的易考點(diǎn)，主要考查方式有： 1 以數(shù)列為載體， 考查函數(shù)解析式的求法，或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關(guān)系來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n 項(xiàng)和； 2根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點(diǎn)命題，考查利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究數(shù)列的單調(diào)性、最值等問(wèn)題 .3.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn).考查方式主要有三種：1 判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系，如比較數(shù)列中的項(xiàng)的大小關(guān)系等. 2 以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問(wèn)題，求不等式中的參數(shù)的取值范圍等 . 3 考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題例 1

9、在等差數(shù)列 an中， a10 30， a20 50.(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)令 bn 2an 10，證明：數(shù)列 bn為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列 nbn的前 n 項(xiàng)和 T n. 解 (1)設(shè)數(shù)列 an的公差為，則ana1(n，由30，得方程組a1 9d 30，d1)da10a2050a1 19d 50，供參考a1 12，所以 an 12 (n 1)× 2 2n10.(2)證明：由 (1)，得 bn 2an 10 22n1010 22 n解得d 2.4nbn 14n 1，所以 bn4n 4.所以 bn 是首項(xiàng)為4，公比為4 的等比數(shù)列(3)由 nbnn× 4n，得 T

10、 n1× 4 2×42 n× 4n， 4T n 1× 42 (n 1)× 4n n× 4n 1，得 3T n 4 42 4nn× 4n14 1 4n3n 1 × 4n1 4. n× 4n1.所以 T n9 3 方法技巧 等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的兩大解題策略(1) 設(shè)置中間問(wèn)題：分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問(wèn)題設(shè)置中間問(wèn)題，例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差 ( 公比 )等，確定解題的順序 (2)注意解題細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定， 則要看其是

11、否有等于1 的可能， 在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等，這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題 例 2設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d，點(diǎn) (an， bn)在函數(shù) f(x) 2x 的圖象上 (n N* ) (1) 證明：數(shù)列 bn為等比數(shù)列； (2)若 a1 1，函數(shù) f(x)的圖象在點(diǎn) (a2， b2)處的切線在 x 軸上的截距為21 ，求數(shù)列 anbn2的前 n 項(xiàng)和 Sn.ln 2bn 1 解 (1)證明 ：由已知， bn 2an0.當(dāng) n 1 時(shí)， bn 2an1an 2d.所以數(shù)列 bn是首項(xiàng)為 2a1，公比為2d 的等比數(shù)列x1(2)函數(shù) f(x) 2

12、在 (a2， b2)處的切線方程為y 2a2 (2a2ln 2)( xa2 )，它在 x 軸上的截距為 a2 ln 2.11n2n由題意， a2 ln 2 2ln 2，解得 a2 2.所以 da2a1 1，所以 an n， bn 2 ，則 anbn n·4 .于是 Sn 1× 4 2× 42 3× 43 (n 1)× 4n 1 n×4n，23nn14Sn 1× 4 2× 4 (n 1)× 4n× 4 .n1 4n1 43nn 1 4因此，Sn 4Sn 4 42 4n n·4n14 n&

13、#183;4n113n 4.所以 Sn1 4.393 方法技巧 數(shù)列與函數(shù)問(wèn)題的解題技巧(1) 數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要有以下兩類：已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形供參考(2) 解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問(wèn)題的求解過(guò)程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常用解法有助于該類問(wèn)題的解決數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題 例 3(2016 鄭·州質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn 2an 2.(1) 求

14、數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn log2a1 log2 a2 log2an，求使 (n 8)bn nk 對(duì)任意 n N* 恒成立的實(shí)數(shù)k 的取值范圍 解 (1)由 Sn n2可得a1 因?yàn)閚n ，2a2.S2a 2所以，當(dāng) n 2 時(shí)， anSn Sn 1 2an 2an1，即 an 2.所以 an 2n(n N* )an1n n 1(2)由 (1) 知 an 2n，則 bnlog2a1 log2a2 log2an 1 2 n2.要使 (n8)bn nk 對(duì)任意 n N* 恒成立，即n8 n1* 恒成立 k 對(duì)任意 n N21設(shè) cn2(n 8)(n 1)，則當(dāng) n 3 或 4 時(shí)，

15、cn 取得最小值，為10，所以 k 10.即實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 ( ， 10 方法技巧 數(shù)列與不等式相結(jié)合問(wèn)題的處理方法(1)如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、 放縮法等 (2)如果是解不等式問(wèn)題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等總之解決這類問(wèn)題把數(shù)列和不等式的知識(shí)巧妙結(jié)合起來(lái)綜合處理就行了 全國(guó)卷 5 年真題集中演練 1.(2012 新·課標(biāo)全國(guó)卷 )數(shù)列 an滿足 an 1 ( 1)nan 2n 1，則 an的前 60 項(xiàng)和為 ()A3 690B 3 660C1 845D 1 830解析：選D不妨令 a1 1，根據(jù)題意，

16、得 a2 2，a3 a5 a7 1， a4 6，a610， ，所以當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)， an 1，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)構(gòu)成以a2 2 為首項(xiàng)，以4 為公差的等差數(shù)列所以前60 項(xiàng)和為 S60 3030× 30 1× 41 830. 2× 3022 (2015 新·課標(biāo)全國(guó)卷 )Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和已知 an>0， an2 2an 4Sn 3.(1) 求 an的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè) bn1，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和anan 122解： (1) 由 an2an 4Sn 3，可知an 1 2an1 4Sn1 3.，得22an 1 an 2(an

17、 1 an) 4an 1，2 2即 2(an1 an) an 1 an (an 1 an)( an1 an)由 an>0，得 an 1 an2.供參考又 a21 2a14a1 3，解得 a1 1(舍去 )或 a1 3.所以 an 2n 1.11111n(2)由 an 2n 1 可知 bn anan12n 1 2n 3 2 2n 12n 3.則 Tn3 2n 3.3 (2014 新·課標(biāo)全國(guó)卷 )已知數(shù)列 an滿足 a1 1， an 1 3an 1.(1) 證明an 1是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明： 1 1 1<3.2a1a2an2111313解： (1) 由

18、 an13an 1 得 an1 2 3an 2.又 a1 2 2，所以 an 2 是首項(xiàng)為 2，公比為3 的等比nn3 1數(shù)列所以 an 1 3 ，即 an1 2.因?yàn)楫?dāng) n 1 時(shí)， 3n 1 2× 3n1，2.(2)證明：由 (1) 知22an 3n1112111111313所以 nn1，即nn1.于是 a1 a2 an 13 n 1 2 13n <2.3 1 2×33 1 334 (2013 新·課標(biāo)全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 S3 0， S5 5.1(1) 求 an的通項(xiàng)公式； (2) 求數(shù)列 a2n 1a2n 1 的前 n

19、項(xiàng)和n n 11 3d 0，3a解得 a11， d 1.解： (1) 設(shè) an的公差為 d，則 Sn na12d.由已知可得5a110d 5，故 an的通項(xiàng)公式為 an 2 n.(2)由 (1) 知11111)，從而數(shù)列1n3 2n 1 2n (的前 n 項(xiàng)和為.a2n 1a2n122n 3 2n 1a2n1a2n 11 2n 檢驗(yàn)高考能力 一、選擇題n 1)1 (2017 皖·西七校聯(lián)考 )在數(shù)列 an中， an 2n，若 an的前 n 項(xiàng)和 Sn 321，則 n (264A 3B 4C 5D 6解析：選D2n 11n3211由 ann 1 n則 n1 n ，將各選項(xiàng)中的值代入驗(yàn)證

20、得22S642n 6.2在數(shù)列 an中， a1 1， a2 2，an 2an 1 ( 1)n，那么 S100 的值為 ()A2 500B 2 600 C 2 700D 2 800解析：選B當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， an 2 an 0，所以 an 1，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， an2 an 2，所以 an n，1 n為奇數(shù) ，2 100 ×50故 an于是 S100502 2 600.n n為偶數(shù) ，3已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a1 1，當(dāng) n 2 時(shí)， an2Sn1 n，則 S2 017 的值為 ()A2 017B2 016C 1 009D1 007供參考解析：選 C因?yàn)?an 2S

21、n 1 n，n2，所以 an1 2Snn 1，n 1，兩式相減得 an 1 an 1，n 2.又 a1 1，所以 S2 017a1 (a2 a3 ) (a2 016a2 017) 1 009，故選 C.4設(shè) Sn 是公差不為0 的等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，S1，S2，S4 成等比數(shù)列，且 a35，則數(shù)列12n 1 an2的前 n 項(xiàng)和 Tn ()AnB.n2nD.2nC2n 12n 12n 12n 15151解析：選Ca1 2或 a12.當(dāng) a12時(shí)，公差 d 0 不符合題意，舍去；當(dāng)a12時(shí)，公差 da3 a11112 1，所以 an 2 (n1)× ( 1) n22(2n 1)，故選 C.二、填空題5已知數(shù)列 an滿足 an1 1an an2，且 a1 1，則該數(shù)列的前2 016 項(xiàng)的和等于 _22解 析 ： 因 為 a1 1 ， 又 an 1 1 an an2 ， 所 以 a2 1 ， 從 而 a3 1， a4 1 ， 即 得 an 2221*× 112， n 2k 1 k N，故數(shù)列的前2 016項(xiàng)的和等于2 0161 0081