拋物線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)大全

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝拋物線及其性質(zhì)1 拋物線定義 ：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F 和一條定直線l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線2 拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù) p 幾何意義開口方向標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范 圍對(duì) 稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率通 徑焦半徑 A(x1 , y1)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB的補(bǔ)充A(x1, y1 )B( x2 , y2 )參數(shù) p 表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p 越大，開口越闊.右左上下y22 px( p 0)y22px( p0)x22py( p0)x22 py( p 0)X 正X 負(fù)Y 正Y 負(fù)( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p)2222p

2、ppypxxy2222x 0, y Rx 0, y Ry 0, x Ry 0, x RX 軸X 軸Y 軸Y 軸（0,0）e12pAFpAFx1pAFy1pAFpx122y122( x1x2 ) p(x1 x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 ) p以 AB 為直徑的圓必與準(zhǔn)線l 相切若 AB 的傾斜角為，2 p若 AB 的傾斜角為，則AB2 pAB2cos2sinx1 x2p2y1 y2p2411AFBFAB2AFBFAF ?BFAF ?BFp3拋物線 y22 px( p 0) 的幾何性質(zhì)：(1) 范圍：因?yàn)?p>0，由方程可知 x 0，所以拋物線在y 軸的右側(cè)，當(dāng) x 的值增大

3、時(shí)， | y | 也增大，說明拋物線向右上方和右下方無限延伸精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝(2) 對(duì)稱性：對(duì)稱軸要看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開口方向(3) 頂點(diǎn)（ 0， 0），離心率： e 1，焦點(diǎn) F ( p ,0) ，準(zhǔn)線 xp ，焦準(zhǔn)距 p22(4)焦點(diǎn)弦：拋物線 y 22 px( p 0) 的焦點(diǎn)弦 AB ， A(x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 則 | AB | x1 x2p 弦長(zhǎng) |AB|=x 1+x2+p, 當(dāng) x1=x2 時(shí)，通徑最短為 2p。4焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點(diǎn)弦 AB ， A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) ，焦點(diǎn) F (

4、 p ,0)2(1)若 AB 是拋物線 y22px(p 0)的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦），且 A(x1, y1) ， B(x2 , y2) ，則： x1x2p2，4y1y2p2 。(2) 若 AB是拋物線 y22px(p 0)的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為，則2 PAB2sin（ 0）。(3) 已知直線 AB是過拋物線 y22 px( p 0) 焦點(diǎn) F ,11AF BFAB2AFBFAF ?BFAF ?BFp(4) 焦點(diǎn)弦中通徑最短長(zhǎng)為 2p。通徑：過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做通徑(5) 兩個(gè)相切： 1以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. 2過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直

5、徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5弦長(zhǎng)公式：A(x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是拋物線上兩點(diǎn)，則AB( x1 x2 )2( y1 y2 )21 k 2 | x1 x2 | 112 | y1 y2 |k6. 直線與拋物線的位置關(guān)系直線，拋物線，消 y 得：（ 1）當(dāng) k=0 時(shí)，直線 l 與拋物線的對(duì)稱軸平行，有一個(gè)交點(diǎn)；（ 2）當(dāng) k0 時(shí)， 0，直線 l 與拋物線相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)；=0， 直線 l 與拋物線相切，一個(gè)切點(diǎn)； 0，直線 l 與拋物線相離，無公共點(diǎn)。（ 3）若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) , 則直線與拋物線必相切嗎 ?（不一定）7. 關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用

6、處理方法直線 l： y kxb拋物線， ( p 0)聯(lián)立方程法：y kx b2(kb p) x b20y 2k 2 x22 px精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝設(shè) 交點(diǎn) 坐標(biāo) 為 A(x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ，則 有0 , 以及 x1x2 , x1 x2 ， 還可 進(jìn)一 步求 出y1 y2 kx1b kx2 b k( x1x2 ) 2b ， y1 y2(kx1 b)( kx2b) k 2 x1 x2 kb( x1 x2 ) b2在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱，面積等問題時(shí)，常用此法，比如a. 相交弦 AB的弦長(zhǎng)AB1k 2 x1x21 k 2 ( x1x2 )

7、24x1 x21 k 2a或 AB11y1y211( y1y2 )24 y1 y21 k2k2k2ab. 中點(diǎn) M ( x0 , y0 ) ,x0x1x2 ， y0y1y222點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，代入拋物線方程，得y122 px1y222 px2將兩式相減，可得( y1y2 )( y1y2 ) 2 p( x1x2 )y1y22 px1x2y1y2a.在涉及斜率問題時(shí)， kAB2 py1 y2b.在涉及中點(diǎn)軌跡問題時(shí) ，設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為 M (x0, y0 ) ， y1y22 p2 pp ，x1x2y1 y22y0y0即 kABp

8、，y0同理，對(duì)于拋物線 x22 py ( p0) ，若直線 l 與拋物線相交于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) M ( x0 , y0 ) 是弦AB 的中點(diǎn)，則有 kABx1 x22x0x02 p2 pp（注意能用這個(gè)公式的條件：1）直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，2）直線的斜率存在，且不等于零）精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝【經(jīng)典例題】（ 1）拋物線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合 . 其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中. 由于這個(gè)美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇

9、章.【例 1】 P 為拋物線y22 px 上任一點(diǎn)， F 為焦點(diǎn)，則以PF 為直徑的圓與y 軸（）A. 相交B.相切C.相離【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為Fp ,0 ，準(zhǔn)線是2pl : x. 作 PH l 于 H，交 y 軸于 Q，那么PFPH ，2且QH OFp. 作 MNy 軸于 N則 MN是梯形 PQOF的2中位線， MN1OF PQ1 PH1 PF .故以222PF 為直徑的圓與 y軸相切，選 B.【評(píng)注】相似的問題對(duì)于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則分別是相離或相交的 .D.位置由 P 確定YPH QNMOpXF( ,0)2l : x = - p2= 2 px2y（ 2）焦點(diǎn)弦?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)

10、弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān) . 理解并掌握這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對(duì)破解這些試題是大有幫助的 .【例 2】 過拋物線 y 22 px p0 的焦點(diǎn) F 作直線交拋物線于A x1, y1 , Bx2 , y2兩點(diǎn)，求證：（1） ABxxp（ 2）11221AFBFp【證明】（ 1）如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l ，作AA1l A1 , BB1l于B1，則 AF AA1 x1p，Yp2A(x,y)A1BFBB1x211. 兩式相加即得：2ABx1x2pFXB 1 B(x,y)（ 2）當(dāng) AB x 軸時(shí)，有22lAFBFp，112AFBF成立；p當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為：

11、 y kxp. 代入拋物線方程：2精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝p2p2k2 x2 px . 化簡(jiǎn)得： k 2x2p k 22 xk 20124方程（1）之二根為x， x， x1x2k 2.124111111x1x2p2ppAF BFAA1BB1x1x2x1x2p x1x2p2224x1x2px1x2p2p2p x1p2p x1.x2x2pp4242故不論弦AB與 x 軸是否垂直，恒有112AFBF成立 .p（ 3）切線拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān) . 理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的基本功 .【例 3】證明：過拋物線 y22px 上一點(diǎn) M（x0， y0）的切線方程是：y0y=p（ x+x0）【證明】對(duì)方程 y22 px 兩邊取導(dǎo)數(shù)：2 yy2 p， yp .切線的斜率yk yx xp .由點(diǎn)斜式方程：y y0pxx0y0 ypx px0y0210y0y0Q y022 px0，代入（）1即得：y 0y=p（ x+x0）（ 4）定點(diǎn)與定值拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)， 卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值 .掌握它們，在解題中常會(huì)有意想不到的收獲 .例如： 1.一動(dòng)圓的圓心在拋物線y28x 上，且動(dòng)圓恒與直線x20 相切，則此動(dòng)圓必過定點(diǎn)（）A. 4,0B.