控制工程基礎第三章參考答案

1、第三章習題及答案3-1.假設溫度計可用1傳遞函數(shù)描述其特性，現(xiàn)在用溫度計測量盛在容器內(nèi)的水溫。發(fā)現(xiàn)需要Ts11min 時間才能指示出實際水溫的98%的數(shù)值，試問該溫度計指示出實際水溫從10%變化到 90%所需的時間是多少 ?解：4T1min,T =0.25min1 th(t1 )=1-eT 10.1, t1 = T ln 0.9h(t2 )=0.9=1-e1 t2T ln 0.1T，t2trt2tT ln 0.92.2T 0.55min10.12. 已知某系統(tǒng)的微分方程為y (t)3y (t )2f (t )3 f ( t) ，初始條件y( 0 )1 , y (0 )2 ，試求：系統(tǒng)的零輸入響

2、應yx( t ) ；激勵 f ( t )( t ) 時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf ( t ) 和全響應 y( t ) ；激勵 f ( t )e 3t( t ) 時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf ( t ) 和全響應 y( t ) 。解： (1)算子方程為：( p1)( p2) y(t )( p3) f (t )yx (t ) A1e tA2e 2 t1A1A22A12 A2yx (t ) 4e t3e 2 t , t 0 ;(2) H ( p)p321h(t)p23p2p1 p 2*3t12ty f (t)h(t )(t )( 22e2 e)(t )y(t)yx (t)y f(t )(32e t5 e 2

3、t) (t )22(3) y f (t )h(t ) * e3t(t )( ete2t) (t )y(t)yx (t)y f(t )(5et4e2t)(t)A14A23(2e te 2t ) (t)3. 已知某系統(tǒng)的微分方程為y " (t )3 y ' (t)2 y(t)f ' (t)3 f (t) ，當激勵f (t) = e 4t (t) 時，系統(tǒng)的全響應 y(t)(14 e t7 e 2 t1 e 4 t )(t) 。試求零輸入響應yx ( t ) 與零狀態(tài)響應yf ( t ) 、自由響326應與強迫響應、暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應。解：H ( p)p321, h(t )

4、(2ete2t) (t ),p 23 p2p 1 p2y f (t )t e 4 2e (t)2e 2(t) d(t) 2 e t (1e 3t )1 e 2t (1 e 2t )( t)032(1 e 4t1 e 2t2 e t)(t )(零狀態(tài)響應 )623yx (t )y(t)y f ( t)(4e t3e 2t ) (t )(零狀態(tài)響應 )強迫響應14t自由響應14t72 t:6 e(t );: (3 e2 e) (t);y(t )全為暫態(tài) ,不含穩(wěn)態(tài)響應 .4. 設系統(tǒng)特征方程為：s4s3s210s3 0 。試用勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的612穩(wěn)定性。解：用勞斯 - 赫爾維茨

5、穩(wěn)定判據(jù)判別，a4 =1， a3=6， a2=12， a1=10，a0=3 均大于零，且有4161000112300610001123602612110620361210663101105120433351215360所以，此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。5.試確定下圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性.10s 1s( s1)解： (a). G (s)2s10s11)s(s10( s1)s2 (s21)D (s)= s2 ( s21)10( s 1) s321s210s 1Routh.s3110s2211s12101 >021s01系統(tǒng)穩(wěn)定。10s(s2)10(b). (s)s2 102 s 1010(10s 1)12)

6、s(sD (s)= s2102s10滿足必要條件，故系統(tǒng)穩(wěn)定。6. 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為KG(s)s( 0.01s2，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時， 參數(shù) K 和0.2 s 1)的取值關系。解： D (s) s(0.01s20.2 s1)k 0D (s) s320 s2100s100k0Routh: s31100s2200100ks12000100k020s0100k00k由 Routh 表第一列系數(shù)大于0 得k0，即20 (0, k0)K7.設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G (s) ，要求閉環(huán)特征根的實部均小于 s(1 0.2s)(1 0.1s)-1 ，求 K 值應取的范圍。解： 系統(tǒng)特征方

7、程為K0要使系統(tǒng)特征根實部小于1 ，可以把原虛軸向左平移一個單位，令ws1，即sw1，代入原特征方程并整理得0.02w 30.24 w 20.46wK0.720運用勞斯判據(jù)，最后得0.72K6.2428. 設系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gc (s)n2 ，試求最大超調(diào)量 =9.6%、峰值時間22n ssntp=0.2秒時的閉環(huán)傳遞函數(shù)的參數(shù) 和 n 的值。解：% e 12100% =9.6% =0.6t p=2 0.2n1 n=314.19.6rad/s20.62t p10.2 19. 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為25Gk (s)s( s 6)求（ 1）系統(tǒng)的阻尼比 和無阻尼自然頻率 n；（ 2）

8、系統(tǒng)的峰值時間t p、超調(diào)量 、調(diào)整時間t S( =0.02) ；25解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)s(s6)2525GB ( s)s( s6) 25s26s 252516)s( s與標準形式對比，可知2 wn 6， wn225故wn 5 ，0.6又wdwn 12510.624t p40.785wd0.6122%100% e 1 0. 6e100% 9.5%ts41.33wn10.一階系統(tǒng)結構圖如下圖所示。要求系統(tǒng)閉環(huán)增益K2 ，調(diào)節(jié)時間ts0.4 s，試確定參數(shù)K1, K2的值。解由結構圖寫出閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)K11(s)sK 1K 2K1 K2s K 1K 2s11sK1K 212 ，得： K2 0.

9、5令閉環(huán)增益KK 2令調(diào)節(jié)時間 ts 3T30.4 ，得： K115 。K1K 211. 設 某 高 階 系 統(tǒng) 可 用 下 列 一 階 微 分 方 程 ： T c(t )c(t )r ( t)r ( t ) 近 似 描 述 ， 其 中 ，0(T)1。試證系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為：TT ； tr2. 2T ； ts 3 ln(Tt d0.693 lnT) TT解 設單位階躍輸入 R(s)1s當初始條件為0 時有： C (s)s1R(s)Ts1C (s)s111TTs1ssTs1Ct)h t)1Tet /T(T1) 當 t td 時h(t ) 0.51 Te t d /tT1Tet d/ TTtd2

10、T;ln 2 lnTTt dTln 2lnTT2) 求 tr （即 c(t ) 從 0.1 到 0.9 所需時間 )當h(t )0.9Tt 2 / T;t2Tln(T)ln 0.11TeT當h(t )0.11Te t 1 / T;t1Tln(T)ln 0.9TT則trt2 t1T ln 0.92.2T0.13)求 tsh(ts ) 0.95 1Te t s / TTtsTln Tln 0.05Tln Tln 20T3ln TTTT12. 已知系統(tǒng)的特征方程，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定在右半s 平面根的個數(shù)及純虛根。（1） D ( s)s52s42s34s211s 10 0（2）( )s53s4

11、12s324s232s48 0D s（3）( )s52s4s20D s（4）( )s52s424s348s225s50 0D s解（ 1）D( )s52s4234s211 10=0sssRouth ： S 51211S42410S36S241210S6S010第一列元素變號兩次，有2 個正根。（ 2）D( )s53s412s324s232s48=0sRouth ： S 511232S432448S33122443234816 033S242431612484S121644800輔助方程 12s248 0,12S24輔助方程求導：24s0S048系統(tǒng)沒有正根。對輔助方程求解，得到系統(tǒng)一對虛根s1

12、,2j 2 。（ 3） D ( s) s5 2s4 s 2 0Routh ： S510-1S420-2輔助方程2s420S380輔助方程求導8s30S2-2S16S0-2第一列元素變號一次，有1 個正根；由輔助方程2s42 0 可解出：2s42 2(s 1)(s 1)( sj )( sj )D (s)s52s4s2 (s2)( s 1)( s 1)( sj )(sj )（4）D( )52s424s348s225s50 0s sRouth ： S5124-25S4248-50輔助方程 2s448s250 0S3896輔助方程求導8s396s0S224-50S338/3S0-50第一列元素變號一次

13、，有1 個正根；由輔助方程2s448s250 0 可解出：2s448s250 2( s1)( s1)(sj 5)(sj 5)D ( s)s52s424s348s225s50(s2)( s1)( s1)(sj 5)(sj 5)13. 已知單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別求出當輸入信號為1(t) 、 t 和 t 2 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 G( s)101)(0.5s1)(0.1s G (s)7( s3)4)( s22s2)s(s解： G( s)10K10(0.1s1)(0.5s1)v0D ( s)(0.1s1)(0.5s1)10 0 經(jīng)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定r (t)1(t)A1ess1 K11r (

14、t)tr (t)t 2essess7( s 3)K7321 G( s)4284)( s22s2)s(sv1D ( s)s( s4)( s22s2)7( s3)0經(jīng)判斷：系統(tǒng)不穩(wěn)定。14. 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：GK (s)100s( s 2)求： (1)試確定系統(tǒng)的型次v 和開環(huán)增益 K；（ 2）試求輸入為r (t)13t 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（ 1）將傳遞函數(shù)化成標準形式10050G K (s)s(0.5s 1)s( s 2)可見， v 1，這是一個I 型系統(tǒng)開環(huán)增益K 50；（2）討論輸入信號，r (t )13t ，即 A 1， B 3AB130 0.06 0.06誤差

15、 essKV 1501 K p15. 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：G K (s)2s2 (s0.1)( s 0.2)求： (1)試確定系統(tǒng)的型次v 和開環(huán)增益 K；（ 2）試求輸入為 r (t)5 2t4t 2 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（ 1）將傳遞函數(shù)化成標準形式G K (s)21002 (s 0.1)( s 0.2)s2 (10s 1)(5s 1)s可見， v 2，這是一個II型系統(tǒng)開環(huán)增益K 100；（2）討論輸入信號，r (t )52t4t 2 ，即 A 5， B 2, C=4ABC5240 0 0.04 0.04誤差 essK VK a11001 K p16. 在許多化學過

16、程中，反應槽內(nèi)的溫度要保持恒定，圖（ a）和（ b）分別為開環(huán)和閉環(huán)溫度控制系統(tǒng)結構圖，兩種系統(tǒng)正常的K 值為1。若 r (t) 1(t ) ， n(t )0 兩種系統(tǒng)從響應開始達到穩(wěn)態(tài)溫度值的63.2 各需多長時間？當有階躍擾動 n(t ) 0.1時，求擾動對兩種系統(tǒng)的溫度的影響。解 （1）對（ a）系統(tǒng)：Ga ( s)K1，時間常數(shù) T 1010 s10 s 11h(T ) 0.632（ a）系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)溫度值的63.2%需要 10 個單位時間；10010010101對（ a）系統(tǒng)： b (s)，時間常數(shù)T10s10110s1101101h(T ) 0.632（ b）系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)溫度值的6

17、3.2%需要 0.099 個單位時間。（2）對（ a）系統(tǒng)：C (s)1G n (s)N (s)n(t)0.1 時，該擾動影響將一直保持。對（ b）系統(tǒng)：C(s)110s1n (s)10010s101N ( s)1110sn(t) 0.1 時，最終擾動影響為0.110.001。10117. 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)4，求單位階躍響應h(t ) 和調(diào)節(jié)時間 ts 。s( s5)解：依題，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)444T115s 4(s1)(s4)11T20.25s2(s)( s)T1T2C (s)( s) R(s)4C0C1C 2s( s 1)( s 4)ss 1 s 4C 0lim s

18、(s) R(s)lim411)(s 4)s 0s 0 ( sC1lim ( s1)(s) R( s)lim44s(s4)3s1s 0C 2lim (s4)(s) R(s)41lim1)3s4s0 s( sh(t) 14e t1e 4t33T14，tst s T13.3T13.3。T2T118.設下圖（ a）所示系統(tǒng)的單位階躍響應如圖（b）所示。試確定系統(tǒng)參數(shù)K1 ,K 2 和 a 。解：由系統(tǒng)階躍響應曲線有h()3t p0.1o o( 43)333.3 o o系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為K1K 2K 22(s)n（ 1）s2asK 1s22n s2nt p120.10.33由n聯(lián)立求解得33.28o o

19、e1233.3 o onK121108n由式（ 1）a2n 22另外 h()lim s(s) 1limK1K2K 23s2ass0ss 0K119.設角速度指示隨動系統(tǒng)結構圖如下圖所示。若要求系統(tǒng)單位階躍響應無超調(diào)，且調(diào)節(jié)時間盡可能短，問開環(huán)增益K 應取何值，調(diào)節(jié)時間ts 是多少？解依題意應取1 ，這時可設閉環(huán)極點為1,21T0 。寫出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)( s)10Ks210s10K閉環(huán)特征多項式22D ( s)s210s10Ks1s22s1T0T0T0210T0T00.2比較系數(shù)有聯(lián)立求解得2K2.5110KT0因此有t s4.75T00.95120. 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：G (s)

20、K ( s 1)T 0, K 1 的條件下，。試在滿足s(Ts 1)(2s 1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的T 和 K 的取值范圍，并以T 和 K 為坐標畫出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域圖。解特征方程為：()23(2)s2(1)sK0D sTsTKRouth ：S 32T1 KT0S22TKT2S1K2TKT42T21KS0KK0綜合所得條件，當K1 時，使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍如圖中陰影部所示。21. 溫度計的傳遞函數(shù)為1，用其測量容器內(nèi)的水溫，1min 才能顯示出該溫度的98%的數(shù)值。若Ts1加熱容器使水溫按10oC/min 的速度勻速上升，問溫度計的穩(wěn)態(tài)指示誤差有多大？解法一依題意，溫度計閉環(huán)傳遞函數(shù)( s

21、)1Ts1由一階系統(tǒng)階躍響應特性可知：h(4T )98 o o ，因此有4T1 min ，得出T0.25 min 。視溫度計為單位反饋系統(tǒng)，則開環(huán)傳遞函數(shù)為G (s)(s)1K1 T(s)Tsv11用靜態(tài)誤差系數(shù)法，當r (t) 10t 時， ess1010T2.5 C。K解法二依題意，系統(tǒng)誤差定義為e(t )r (t)c(t ) ，應有e (s)E(s)C ( s)11Ts1R(s)Ts1Ts1R(s)ess lims e (s) R( s)limTs1010T 2.5 Cs2s 0s 0Ts1s22. 系統(tǒng)結構圖如圖所示。試求局部反饋加入前、后系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)

22、加速度誤差系數(shù)。解局部反饋加入前，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為10( 2s1)G ( s)2 (s1)sK plim G( s)sK vlim sG( s)s 0K alim s2G( s)10s 0局部反饋加入后，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為10G ( s)2s 1s( s1）10(2s1)s20s( s2s20)1（s）1K plim G(s)s 0K vlim sG( s)0.5s 0K alim s2G(s)0s 023. 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為: G (s)7(s1)。s( s 4)( s22s2)試分別求出當輸入信號r (t) 1(t),t 和 t 2 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 e(t)r (t)

23、c(t ) 。解G (s)7( s1)K7 82s2)v1s(s 4)( s2由靜態(tài)誤差系數(shù)法r (t)1(t) 時，ess 0r (t)t 時，A81.14ess7Kr (t)t 2 時，ess24. 系統(tǒng)結構圖如圖3-59 所示，要使系統(tǒng)對r (t) 而言是 II 型的，試確定參數(shù)K 0 和 的值。K ( s1)解G( s)(T1s1)(T2 s1)K (s 1)K0 K ( s 1)(T1s 1)(T2 s 1) K 0 K ( s 1)1(T1s 1)(T2 s1)K (s1)T1T2 s2(T1T2K 0 K )s (1 K 0 K )依題意應有：1K 0 K0K 01 K聯(lián)立求解得

24、T1T2K0K0T1T2此時系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G ( s)K (T1T2 ) sKT1T2 s2考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)特征方程為D (s)T1T2 s2K (T1T2) sK0當 T1， T2， K0 時，系統(tǒng)穩(wěn)定。25. 大型天線伺服系統(tǒng)結構圖如圖所示，其中=0.707 ， n =15， =0.15s 。當干擾 n(t ) 101(t ) ，輸入 r (t) 0 時，為保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差小于0.01 o，試確定 K a 的取值；當系統(tǒng)開環(huán)工作（K a =0），且輸入 r (t)0 時，確定由干擾 n(t)10 1(t) 引起的系統(tǒng)響應穩(wěn)態(tài)值。解（ 1）干擾作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為en( s)E( s)2n2 ( s1)22N (s) s( s1)(s2n s) K annn(t )10 1(t ) 時， 令essnlimsN (s)en (s)lims10en (s)100.01s0s 0sK a得：K a1000（ 2）此時有2102E(s)C(s)nN ( s)ns(s22 n sn2 )s2 (s22n s n2 )esse()