人教版高中數(shù)學必修第二冊課堂練習課件6.4.3《第1課時余弦定理》(含答案)

1、-1-第1課時余弦定理課前篇自主預習一二一、余弦定理1.思考在ABC中,三個角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,設 ,已知兩條邊長a,b和它們的夾角C.(1)從向量角度考慮,邊c的長度可以看作什么?課前篇自主預習一二2.填空(1)文字語言:三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.(2)符號語言:在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.3.做一做(1)在ABC中,若AB=1,AC=3,A=60,則BC=;(2)已知ABC是等腰三角形,且a=c=5,B =120,則b=.課前

2、篇自主預習一二二、余弦定理的推論1.思考(1)在ABC中,三個角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知a,b和角C,如何求邊c?提示c2=a2+b2-2abcos C.(2)在c2=a2+b2-2abcos C中,如果已知三條邊a,b,c,能否求出cos C?2.填空(2)一般地,三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.課前篇自主預習一二3.做一做 課前篇自主預習一二(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“”,錯誤的畫“”.在ABC中,若a2+b2c2,則ABC是鈍角三角形.()在ABC中,若ABC是鈍角三

3、角形,則必有a2+b2c2.()答案:課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練已知兩邊及一角解三角形已知兩邊及一角解三角形分析(1)已知兩邊及其夾角,可直接利用余弦定理求出第三條邊;(2)已知兩邊及一邊的對角,可利用余弦定理求解.課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟反思感悟 已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形,必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角,還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角,可以由余弦定理求第三邊;若是給出兩邊中一邊的對角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三邊.課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練

4、課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練已知三邊解三角形已知三邊解三角形例例2(1)在ABC中,若a2+b2+ab=c2,則角C=;分析(1)根據(jù)已知條件結合余弦定理的變形求解;(2)先由三邊的比值設出三邊的長度,再利用余弦定理的變形求解.課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟反思感悟 已知三角形的三邊解三角形的方法1.先利用余弦定理求出一個角的余弦,從而求出第一個角;再利用余弦定理或由求得的第一個角,利用正弦定理求出第二個角;最后利用三角形的內角和定理求出第三個角;2.利用余弦定理求出三個角的余弦,進而求出三個角.課堂

5、篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用余弦定理判斷三角形形狀利用余弦定理判斷三角形形狀例例3(1)在ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,試判斷三角形的形狀;(2)在ABC中,若acos B+acos C=b+c,試判斷該三角形的形狀.分析(1)利用余弦定理及已知求出角C,再由三角恒等變換確定角A與角B的關系,進而判斷三角形形狀;(2)利用余弦定理將角轉化為邊,通過代數(shù)變形判斷三角形的形狀.課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:(1)A+B+C=180,sin C=sin(A+

6、B).2cos Asin B=sin C,2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,sin Acos B-cos Asin B=0,sin(A-B)=0.0A180,0B180,-180A-B180,A-B=0,即A=B.又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,a2+b2-c2=ab,cos C= .0Cc2,且b2+c2a2,且c2+a2b2.(3)ABC為鈍角三角形a2+b2c2或b2+c2a2或c2+a2b2.(4)若sin 2A=sin 2B,則A=B或A+B= .課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練變式訓練2在ABC中,內角A,B,C所對

7、的邊分別為a,b,c,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,則ABC是三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)答案:直角課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練余弦定理的另外兩種證法方法一(幾何法)按照三角形的分類,分三種情形證明.(1)在RtABC中,如圖(1),滿足勾股定理:c2=a2+b2,因為cos C=0,所以c2=a2+b2-2abcos C;圖(1) 課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(2)在銳角ABC中,如圖(2),作CDAB于點D,有CD=asin B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(as

8、in B)2+(c-acos B)2=a2+c2-2acos B;同理可證:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(3)在鈍角ABC中,如圖(3),作CDAB,交AB的延長線于點D,則CD=asinCBD=asinABC,BD=acosCBD=-acosABC,AD=AB+BD=c-acosABC,b2=CD2+AD2=(asinABC)2+(c-acosABC)2=a2+c2-2accosABC.同理可證:c2=a2+b2-2abcosACB,a2=b2+c2-2bccos A.綜上所述,在任意的三角形中,余弦

9、定理總是成立.圖(3) 課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練方法二(解析法)對于任意一個ABC,建立直角坐標系如圖(4)所示,則A(bcosACB,bsinACB),B(a,0).根據(jù)兩點間的距離公式,有:c2=|AB|2=(bcosACB-a)2+(bsinACB)2=a2+b2-2abcosACB,即c2=a2+b2-2abcosACB,同理可證:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accosABC.課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:A 課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練2.在ABC中,a=1,b= ,c=2,則B等于()A.30B.45C.60D.120答案:C課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練3.已知ABC,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則以下為鈍角三角形的是()A.a=3,b=3,c=4B.a=4,b=5