高中數(shù)學重要結(jié)論

1、 高中數(shù)學重要結(jié)論 一集合與簡易邏輯1 摩根律： U(AB)= (UA)( UB)；U(AB)=( UA)( UB).2 分配律：（AB）C=(AC)(BC)； (AB)C=(AC)(BC).3 結(jié)合律：(AB)C=A(BC)； (AB)C=A(BC)4 吸收率：A(AB)=A； A(AB)=A.5 容斥原理：card(AB)= cardA+ cardB- card(AB)；card(ABC)= cardA+ cardB+ cardC- card(AB) - card(BC) - card(CA) + card(ABC) 6 對于條件A和結(jié)論B若條件A能推出結(jié)論B，則條件A是結(jié)論B成立的充分條

2、件；若結(jié)論B能推出條件A則條件A是結(jié)論B成立的必要條件。二函數(shù)1 函數(shù)圖像變換： 函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=f(-x)的圖像關于y軸對稱； 函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=-f(x)的圖像關于x軸對稱； 函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=-f(-x)的圖像關于原點對稱； 函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=f -1(x)的圖像關于直線y=x對稱； 函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y= -f -1(-x)的圖象關于直線y= -x對稱； 函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f(2a-x)的圖象關于直線x=a對稱； 函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=2b-f(x)的圖象關于直線y=b對稱； 函數(shù)f(x)的圖象與函

3、數(shù)y=2b-f(2a-x)的圖象關于點(a, b)對稱； 函數(shù)y=f(|x|)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像在y軸右方重合，然后將右方翻折倒左方（即左側(cè)部分與其右側(cè)部分關于y軸對稱）。事實上函數(shù)y=f(|x|)是偶函數(shù)； 函數(shù)y=|f(x)|的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像在x軸上方重合，然后將原先下方的部分翻折到x軸的上方去； 函數(shù)y=f(x+a)的圖像是將函數(shù)y=f(x)的圖像向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位； 函數(shù)y=f(x)的圖像是將函數(shù)y=f(x)的圖像上每個點的縱坐標不變橫坐標壓縮(>1)或伸長(1)到原來的倍； 函數(shù)y=f(x+a)的圖像是將函數(shù)y=

4、f(x)的圖像向左(a>0)或向右(a<0)平移|個單位(>0)。2 奇函數(shù)和偶函數(shù)的特點： 奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必關于原點對稱； 奇函數(shù)若在x=0時有定義則必有f(0)=0 3 對稱性及周期性： 若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱，則 f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a-x) 恒成立； 若函數(shù)y=f(x)的圖像關于點（a,0）對稱，則f(a+x)=-f(a-x) f(x)=-f(2a-x)恒成立； 若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a和x=b對稱，則2|a-b|是函數(shù)y=f(x)的一個周期； 若函數(shù)y=f(x)的圖像關于點(a,0)和(b,0)對稱，則

5、2|a-b|是函數(shù)的一個周期;4 其他： 函數(shù)y=ax的圖像當a>1時a越大圖像越靠近y軸，當0<a<1時a越小圖像越靠近y軸 ； 函數(shù)y=log ax的圖像當a>1時a越大圖像越靠近x軸，當0<a<1時a越小圖像越靠近x軸； 對于log ax，當a，x都(0，1)或都（1，+）時log ax>0，a與x一個（0，1）一個（1，+）時，log ax<0； 對數(shù)換底公式：=；推論：1°.=；logab1·logb1b2·logb2·b3logbn-2bn-1·logbn-1c=logac 對于函數(shù)y

6、=ax+，當a>0，b<0時在上遞增；當a<0，b>0時在和上遞減；當a>0，b>0時在和上遞增，在)和上遞減；(事實上當a>0，b>0時，增減性的分界點即時x的值)； 如果函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間(a，b)上的任意x1，x2都有成立(即弦在圖像下方)，則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間(a，b)上的上凸函數(shù)，若都有成立(即弦在圖像上方)，則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間(a，b)上的下凸（或凹）函數(shù)； 三數(shù)列a) 數(shù)列an的前n項和為Sn則an= 2等差數(shù)列的通項公式形式為an=kn+b,其中k為公差；前n項和公式的形式為Sn=An2+Bn，其中A為公差的一

7、半即。由此可得，點（n, ）必在同一直線y=Ax+B上 3等比數(shù)列的前n項和公式形式為Sn=AAqn，其中A=；4等差數(shù)列an中，公差d=；等比數(shù)列an中，公比q滿足qn-m=；5等差數(shù)列an中，若n為偶數(shù)，則=， ；若n為奇數(shù)，則奇偶=a1+d=a中，Sn=n；6等差數(shù)列an中，若an=m，am=n，則am+n=0；若Sn=m，Sm=n，則Sm+n=(m+n)；7若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則其依次k項和還成等差數(shù)列，且公差為k2d； 8若數(shù)列an是公比為q (q-1)的等比數(shù)列，則其依次k項和還成等比數(shù)列，且公比為qk；9若數(shù)列滿足遞推關系：a1=m，an=Aan-1+B （n2），其

8、中A, B為非零常數(shù)且A1，則只需等式兩邊同時加，即可構(gòu)造等比數(shù)列an+，且公比為A，首項為m+； 10若數(shù)列an滿足遞推關系：a1=m, an+1=Aan+Bpn，A、B為非零常數(shù)，A1且Ap，則只需兩邊同加pn+1，即得等比數(shù)列an+ pn,且公比為A，首項為m+ p.注： 當A=1時，利用累加的方法求通項； 當A=p時，只需等式兩邊同除以pn+1即得等差數(shù)列 ，公差為 .11數(shù)列求和公式： 1+2+3+n= ； 1+3+5+(2n-1)=n2； 12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)； 13+23+33+n3= n2(n+1)2四三角函數(shù)1 降冪公式：sin2x=；cos2x

9、=；2 半角正切公式：tan=；3 萬能置換公式：sin=；cos=；tan=；4 ，；5 函數(shù)y=Asin(x+)+B與y=Acos(x+)+B的對稱中心和對稱軸：對稱中心即使復合角的正弦或余弦等于零的點，對稱軸即使復合角的正弦或余弦取得最大值或最小值的直線（即sin(x+)中的直線x+=k+，kZ，cos(x+)中的直線x+=k，kZ）；6 函數(shù)y=Atan(x+)+B的對稱中心：y=Atan(x+)+B的對稱中心是使tan(x+)=0或不存在的點（即x+=，kZ的點）；7 的終邊越靠近y軸|sin|和|tan|越大；的終邊越靠近x軸|cos|和|cot|越大；8 直線y=x上方的點所對應

10、的角滿足sin>cos，直線y=x下方的點所對應的角滿足sin<cos；直線y= -x上方的點所對應的角滿足sin+cos>0，直線下方的點所對應的角滿足sin+cos<0；9 三角形面積公式：SABC=absinC=bcsinA=casinB SABC=，其中s=(a+b+c)。10對于角、，若滿足+= ，則(tan+1)(tan+1)=2；若滿足+= ，則(tan-1)(tan-1)=2五平面向量 1對于平面上任意一點O及點P，A，B，且，則P，A，B三點共線的充要條件是1+2=12ABC的重心坐標是G(；(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)

11、)；3向量在向量上的投影為|cos<>=；4與向量共線的單位向量為；5設點A(x, y)，B(x, y)，O為坐標原點，SAOB= = |x1y2-x2y1|6. 設O，A，B，C為平面上四點，且1+2+3=，則SAOB：SAOC：SBOC=3:2:17. SABC=六不等式1 利用均值不等式求最值時需注意“一正”,“二定”，“三等”；2 基本不等式：=；3 |f(x)|>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x) ；|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)。4 ；七直線和圓1 設點P(x0，y0)關于直線Ax+By+C=0的對

12、稱點為 則 ；2 經(jīng)過兩直線l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的交點的直線系為： A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0 (不包括l2) ；3 經(jīng)過兩圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點的圓系為：x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 （不包括C2），特別的兩圓方程相減所得的直線方程即為兩相交圓公共弦所在直線方程；4 圓與直線的位置關系一般用圓心到直線的距離同半徑的大小關系判定；兩圓的位置關系用圓心距同半徑的和與差的大小關系判定；5 圓的弦長一般用弦心距和半徑求

13、得；6 圓上的點到定點P的距離的最大值為點P到圓心的距離加半徑，最小值為點P到圓心的距離與半徑的差；7 圓外一條直線l與圓上的點的最大距離為圓心到直線l的距離加半徑，最小距離為圓心到直線l的距離減半經(jīng)；8 若點P0(x0，y0)在圓C：x2+y2=r2上則方程x0x+y0y=r2表示圓C在P0處的切線方程；若點P0(x0，y0)在圓C外則方程x0x+y0y=r2表示過P0的切線與圓C的兩切點之間的連線（即切點弦所在直線）方程；類似的若點P0在圓C：(xa)2+(yb)2=r2上則方程(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2表示圓C在P0處的切線方程；若點P0(x0，y0)在圓C外則方程(x

14、0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2表示過P0的切線與圓C的兩切點之間的連線方程；9 與直線Ax+By+C=0平行的直線系為Ax+By+C=0（CC）；與直線Ax+By+C=0垂直的直線系為Bx-Ay+C=0；10以A(x1，y1)、B(x2，y2)為直徑的圓的方程為：(xx1) (x2)（y1）(2)=011當B>0時Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域，Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域；當B<0時Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域，Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域； 八

15、圓錐曲線1 弦長公式：設直線y=kx+b與二次曲線交于兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)，則|AB|= =；2 焦半徑公式：設F1和F2分別為中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓或雙曲線的左、右兩焦點，P(x0，y0)為橢圓或雙曲線上任意一點，則|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|aex0|；若P(x0，y0)為焦點在x軸上的拋物線y2=kx，(k0)上任意一點，F(xiàn)是其焦點，則|PF| =（若是焦點在y軸上的拋物線x2=ky則|PF|=|+|y0|）；若F為橢圓的左焦點、雙曲線的右焦點及開口向右的拋物線的焦點，P是圓錐曲線上的任意一點，為以FX為始邊FP為終邊的角，則|PF|=，其中e為

16、離心率，p為焦點到準線的距離，特別地若是橢圓或雙曲線則|PF|=，若是拋物線則|PF|=3 通徑：橢圓和雙曲線的通徑為；拋物線的通徑為2p； 4 橢圓和雙曲線的焦點到準線的距離為；拋物線的焦點到準線的距離為p；5 設橢圓的左右兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上任意一點，F(xiàn)1PF2=，則=b2tan且當P為橢圓的短軸端點時F1PF2最大；若PF1F2=，PF2F1=，則橢圓離心率e=；6 設雙曲線的左右兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上任意一點，F(xiàn)1PF2=，則=b2cot；若PF1F2=，PF2F1=，則雙曲線的離心率e=；7 雙曲線的漸近線方程為：（即讓常數(shù)項為零的兩直線）；反之以直線為漸

17、近線的雙曲線系為： ；（k>0時焦點在x軸上，k<0時交點在y軸上）；8 雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，垂足恰為漸近線與相應準線的交點；9 橢圓中包含a，b，c的直角三角形的三個頂點是原點、短軸端點及焦點；雙曲線中包含a，b，c的直角三角形三個頂點為原點、頂點及過頂點的切線與漸近線的交點，或?qū)嵼S、虛軸端點及原點，或原點、焦點及過焦點向漸近線所引垂線的垂足；10過拋物線y2=2px的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則y1y2= -p2，x1x2=；11過拋物線y2=2px的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，設A、B兩點在拋物線的準線上的射影分別為A、

18、B，則AFB=90°；12設直線l與拋物線y2=2px交于兩點A、B，若AOB=90°則直線l必過定點(2P，0)；13以過圓錐曲線焦點的弦為直徑的圓，同相應準線的位置關系如下：若是橢圓則相離；若是雙曲線則相交；若是拋物線則相切。九直線、平面、簡單幾何體1若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一點在另一個平面內(nèi)的射影都在它們的交線上；2異面直線上兩點間距離公式：|AB|=，其中為兩異面直線a，b所成角，d為公垂線段CD的長度(即兩異面直線間距離)，A，B分別在兩異面直線a，b上且AC=m，BD=n；3兩異面直線間的距離：已知為異面直線，其公垂向量為，C，D分別是上的任意一點，

19、則間的距離d=（即在上的投影長；4點到平面的距離：設P為平面外一點，AP為平面的一條斜線，A為斜足，是平面的法向量，則點P到平面的距離d=（即在上的投影長；5已知AP為平面的任意一條斜線A為斜足，AB為內(nèi)過點A的任意一條直線，AC為AP在平面內(nèi)的射影，設PAB=，PAC=1，BAC=2則cos=cos1cos2；6射影面積公式：設平面多邊形及其在平面上的射影面積分別為S，S，多邊形與平面所成銳二面角為，則；7已知正多邊形邊長為a，R表示正多邊形外接圓半徑，r表示內(nèi)切圓半徑（即邊心距），S表示面積，則正三角形中：高h=；正方形中：；正六邊形中：；8若長方體的體對角線與同一個點出發(fā)的三條棱所成的角分別為：1，2，