[理學]概率論第4章隨機變量的數(shù)字特征ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學期望數(shù)學期望 第二節(jié)第二節(jié) 方差方差第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)根本要求根本要求:1. 1. 深化了解數(shù)學期望與方差的定義深化了解數(shù)學期望與方差的定義; ;2. 2. 熟練掌握期望與方差的性質(zhì)熟練掌握期望與方差的性質(zhì); ;3. 3. 能熟練地運用期望與方差的定義或性質(zhì)求一些常能熟練地運用期望與方差的定義或性質(zhì)求一些常見的隨機變量的期望與方差見的隨機變量的期望與方差; ;4.4.了解獨立與相關(guān)的概念了解獨立與相關(guān)的概念, , 會求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)會求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù); ;5. 5. 了解高階矩的概念了解高階矩的概念. .學時數(shù)學時數(shù) 6一、數(shù)學期望的定義一、數(shù)

2、學期望的定義1.1.離散型離散型定義定義1 1 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X X的分布律為的分布律為: :),2, 1( ,ipxXPii假設(shè)級數(shù)假設(shè)級數(shù) 絕對收斂絕對收斂, , 那么稱那么稱: :1iiipx1)(iiipxXE為為X X的數(shù)學期望的數(shù)學期望( (簡稱期望簡稱期望) )或均值或均值. .2.2.延續(xù)型延續(xù)型定義定義2 2 設(shè)延續(xù)型隨機變量設(shè)延續(xù)型隨機變量X X的分布密度為的分布密度為f(x), f(x), 假設(shè)假設(shè)()x fxd x 絕對收斂絕對收斂, , 那么稱那么稱dxxxfXE)()(為為X X的數(shù)學期望或均值的數(shù)學期望或均值. .注注 意：意：1 1期望的定義是

3、構(gòu)外型的期望的定義是構(gòu)外型的, ,定義本身給出了定義本身給出了求期望的公式求期望的公式, ,但需知道分布律或分布密度但需知道分布律或分布密度. .2 2并不是任何隨機變量的數(shù)學期望都存在并不是任何隨機變量的數(shù)學期望都存在; ;3 3 n n維隨機變量的數(shù)學期望是指維隨機變量的數(shù)學期望是指n n個數(shù)學期望的個數(shù)學期望的總體總體, , 即即: :),(),(2121nnEXEXEXXXXE 例例4.1 4.1 設(shè)設(shè)X X服從服從(0-1)(0-1)分布分布, ,即即PX=1=p,PX=0=q,PX=1=p,PX=0=q,求求EX.EX.解解:p 例例4.2 4.2 設(shè)設(shè)x(), x(), 求求EX

4、.EX.解解:因因X X的分布律為的分布律為: :), 2 , 1 , 0( ,!ieiiXPi0!iiiei0()!nxnxen11(1)!iiei0!kkekEX100 (1)1iiippp EXee 例例 4.3 4.3 設(shè)設(shè)XB(n , P), XB(n , P), 求求EX.EX.解解: X X的分布律為的分布律為: :), 2 , 1 , 0( ,)1 (nippCiXPiniinnp0niin inii C pq0!()!nin iinip qi n i1(1) (1)1(1)!(1)!(1) (1)!niniinnpp qini 1(1)0(1)!(1)!nknkknnpp q

5、knk(1)ki EX1()nnp Pq 例例4.4 4.4 設(shè)設(shè)X X在在a, ba, b上服從均勻分布上服從均勻分布, , 求求X X的均值的均值. .解解:因因X X的分布密度為的分布密度為: :bxaabxf,1)(0 , 0 , 其它其它1baxdxba( )xf x dxEX2a b 例例 4.5 4.5 的數(shù)學期望，求設(shè)XNX),(2解解:因因X X的分布密度為的分布密度為: :xexfx,21)(222)( )xf x dx22()212xxedx 222tedt221()2ttedt)x(令tEX1 例例 4.6 4.6 設(shè)設(shè)X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布,

6、 , 求求 EX. EX.解解:因因X X的分布密度為的分布密度為: :0,)(xexfx0 , x 00 , x 0),DX( 0),引入新隨機變量引入新隨機變量: : *XEXXDX試證試證: :*()0,()1E XD X證證:1*()XEXE XEDX01()E XEXDX*()XEXD XDDX1()D XEXDX1DXDX注注 意意: : 從上面的一些例子中可以看出從上面的一些例子中可以看出, , 只需知道只需知道上述這些隨機變量的均值與方差上述這些隨機變量的均值與方差, ,就可以獨一決就可以獨一決議它的分布議它的分布, ,這就表達了數(shù)字特征的重要意義這就表達了數(shù)字特征的重要意義.

7、 . 下面的定理闡明,由隨機變量的數(shù)學期望和方差,也可以對隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律提供一些信息.210,()()().XD XP XE XChebyshev定理設(shè)隨機變量 的方差D(X)存在,則對任何有該不等式稱為不等式證明:就X為連續(xù)型隨機變量進行證明,設(shè)X分布密度為f(x)()P XE X()( )x E Xf x dx22()()( )x E XxE Xf x dx221()( )xE Xf x dx2()D X2()0,()1,()1D XXE XP XE X定理若方差則隨機變量 取常數(shù)值的概率等于 即證明:11()0()nXE XXE Xn,Chebyshev由不等式 有11()0()

8、nP XE XPXE Xn11()nP XE Xn21()01( )nD Xn0 ()00P XE X()()0P XE XP XE X于是1()0P XE X 1一、協(xié)方差一、協(xié)方差定義定義1 1 設(shè)設(shè)X, YX, Y是二個隨機變量是二個隨機變量, , 假設(shè)假設(shè)()()EXEXYEY存在存在, ,那么稱它為那么稱它為X X與與Y Y的協(xié)方差的協(xié)方差, ,記為記為Cov(X,Y).Cov(X,Y).即即(, )()( )Cov X YE XE XYE Y(,)()()()Cov X XE XE XXE XD X特別地協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì) 設(shè)設(shè)X,Y,ZX,Y,Z是隨機變量是隨機變量,a,b

9、,a,b是常數(shù)是常數(shù), ,那么那么: : (1) Cov(X , Y)=Cov(Y, X); (1) Cov(X , Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y); (3) Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y,Z);(4) D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y);(5) Cov(X, Y)=E(XY)-EXEY; (6) Cov(X,a)=0;(7) 假設(shè)假設(shè)X,Y獨立獨立,那么那么C0v(X,Y)=0.證明:(2)0 (,)()()C v aX bYE aXE aXbYE bY()( )abE XE XYE Y(, )abCo

10、v X Y(5)(, )()( )Cov X YE XE XYE Y( )()() ( )E XYXE YYE XE X E Y()( ) ()() ( )() ( )E XYE Y E XE X E YE X E Y()() ( )E XYE X E Y4.25)3,( , ).Cov 例設(shè) =5 +6,D(求:( , )( , )CovCov 解(56, )Cov(5 , )(6, )CovCov 5 ( )D151()02,024.26( , ) ( , )80(1)( , )(2)()xyxyf x yCovD 例設(shè)其它求求解:2( )( , )RExf x y dxdy22001()

11、8dxxxy dy220()44xxdx76(1)同理可得:27( )( , )6REyf x y dxdy24()( , )3RExyf x y dxdy0 ( , )()( ) ( )C vEEE 47 7136 636 (2)222()( , )REx f x y dxdy22001()8dxxyxy dy3220()44xxdx5322( )() ( )DEE25711( )3636()( )( )2( , )DDDCov 1111152 ()3636369 11:( )36D同理可得( , )(0,0)XYCov X YDXDYDXDY為為X與與Y的相關(guān)系數(shù)或規(guī)范協(xié)方差的相關(guān)系數(shù)或規(guī)

12、范協(xié)方差.二、相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)定義定義2 設(shè)設(shè)X，Y為兩個隨機變量，稱為兩個隨機變量，稱0,;XYXY如果則稱 與 不相關(guān)0,.XYXY如果則稱 與 相關(guān)定義定義3 注注 意意: i i X X與與Y Y的協(xié)方差就是的協(xié)方差就是X X與與Y Y的函數(shù)的函數(shù) g (X, Y)=(X-EX)(Y-EY) g (X, Y)=(X-EX)(Y-EY)的數(shù)學期望的數(shù)學期望; ;ii iiX X與與Y Y的相關(guān)系數(shù)就是規(guī)范化隨機的相關(guān)系數(shù)就是規(guī)范化隨機變量的乘積的數(shù)學期望，即變量的乘積的數(shù)學期望，即()0(,)0XYiiiCov X Y*()( )()()( )XYXE XYE YEE X YD XD

13、 Y三、有關(guān)相關(guān)系數(shù)的定理三、有關(guān)相關(guān)系數(shù)的定理22222,(),(), ()() ()YE XE YE XYE XE Y 引理(Cauchy-Schwarz不等式) 設(shè)X為任意兩個隨機變量則2()0 ,.E X當時等號成立2( )()f tE tXYtR證明：構(gòu)造222( )()2 ()()f tE XtE XY tE Y 2222,( )0()0 ,2 ()4 () ()0tRf tE XE XYE XE Y由于對任意有當時222 ()() ()E XYE XE Y1,(1)| 1;(2)| 1, ,1XYXYXYX Ya bP YaXb 定理設(shè)為隨機變量的相關(guān)系數(shù) 則有存在常數(shù)使得22(

14、)()1111()()E XEX YEYE XEXE YEY 即2221) ()() ()E XYE XE Y證明( ：由引理22()11()()E XYE XE Y (),(), ,XEXYEYX Y以代替上式的有21如果222(1): ()() ()E XYE XE Y由的證明可得0 即2方程 E(tX+Y) =0 有唯一實根(記為-a)2()0EaXY即22()() ()DaXYEaXYEaXY2 ()EaXY ,()0DaXY另一方面由方差的定義,()0DaXY從而()1PaXYb某常數(shù) 記為()1P YaXb即( ,) 0( )aCov X Xa D X()1()aD Xa D X

15、2( ,)( )( )Cov X aXbD Xa D X2( )()()D YD aXba D X()1P YaXb如果定理定理2 假設(shè)假設(shè)X與與Y相互獨立相互獨立,那么那么X與與Y不相關(guān)不相關(guān).cov00XYXYXY證明：因為 與 獨立，由協(xié)方差性質(zhì)（ ， ）即 與 不相關(guān)。但是，逆命題不成立但是，逆命題不成立.證明證明:(X, Y)(X, Y)的結(jié)合分布密度為的結(jié)合分布密度為: :)()(2)()1 ( 21exp121),(2222212121212221yyxxyxf由前面的例知由前面的例知: :221122221212(,)(,);,XNYNEXEYDXDY 3,.X定理設(shè)(X,Y)

16、服從二維正態(tài)分布 則X與Y獨立與Y不相關(guān)221212221112212()1()22(1)1()()21xyxxyeedxdy 12(, )()()Cov X YE XY12()() ( , )xyf x y dxdy 1212222 12121211,(),1xyxuv令則22222120 ()12uvC v XYuuvedudv ，（）22222212122222122uvuvu eduedvueduvedv X與Y的相關(guān)系數(shù)為0XY與 獨立()即X與Y不相關(guān) 例例 4.27 4.27 設(shè)設(shè)(X, Y)(X, Y)等能夠地取等能夠地取(-2, 0),(0, -2),(2, 0),(0, 2

17、),(-2, 0),(0, -2),(2, 0),(0, 2),試問試問X X與與Y Y能否獨立能否獨立? ?能否相關(guān)能否相關(guān)? ?解解:X,YX,Y的結(jié)合分布律和邊緣分布律如下的結(jié)合分布律和邊緣分布律如下: :YX2022020410410410410 ipjp414241414241121( 2)020444EX ( , )()( ) ( )0Cov X YE XYE X E Y即即X與與Y不相關(guān)不相關(guān).2,20P XY12216P XP Y所以所以X與與Y也不相互獨立也不相互獨立.由此可得XP-2021/42/41/4同理可得( )0E Y XYP01()0 10E XY 0則四、原點矩

18、與中心矩四、原點矩與中心矩設(shè)設(shè)X X的分布律的分布律( (密度密度) )為為pi(f (x),pi(f (x),(1)k(1)k階原點矩定義為階原點矩定義為: :()kkvE X1()( )()kiiikx px f x dx離散連續(xù)(1,2,)k (2)k(2)k階中心矩定義為階中心矩定義為: :()kkuE XEX1()()()( )()kiiikxEXpxEXf x dx離散連續(xù)五、混合矩與協(xié)方差矩陣五、混合矩與協(xié)方差矩陣 (1) (1) 混合原點矩混合原點矩: :),2, 1),(kYXElk（(2) (2) 混合中心矩混合中心矩: :(3) (3) 假設(shè)假設(shè)X,YX,Y的四個二階中心矩存在的四個二階中心矩存在, ,分別記為分別記為: :.)(),()(),()()(2222112211DYEYYECXYCovEXXEYYECYXCovEYYEXXECDXEXXEC), 2 , 1,(,)()(lkEYYEXXElk