橢圓的參數方程(教案)6頁

1、8.2 橢圓的幾何性質(5)橢圓的參數方程（教案） 齊魯石化五中 翟慎佳 2002.10.25一 目的要求：1 了解橢圓參數方程，了解系數a、b、含義。2 進一點完善對橢圓的認識，并使學生熟悉的掌握坐標法。3 培養(yǎng)理解能力、知識應用能力。二 教學目標：1 知識目標：學習橢圓的參數方程。了解它的建立過程，理解它與普通方程的相互聯(lián)系；對橢圓有一個較全面的了解。2 能力目標：鞏固坐標法，能對簡單方程進行兩種形式的互化；能運用參數方程解決相關問題。3 德育目標：通過對橢圓多角度、多層次的認識，經歷從感性認識到理性認識的上升過程，培養(yǎng)學生辯證唯物主義觀點。三 重點難點：1 重點：由方程研究曲線的方法；橢

2、圓參數方程及其應用。2 難點：橢圓參數方程的推導及應用。四 教學方法： 引導啟發(fā)，計算機輔助，講練結合。五教學過程：（一）引言（意義）人們對事物的認識是不斷加深、層層推進的，對橢圓的認識也遵循這一規(guī)律。本節(jié)課學習橢圓的參數方程及其簡單應用，進一步完善對橢圓認識。（二）預備知識（復習相關）1 求曲線方程常用哪幾種方法？答：直接法，待定系數法，轉換法代入法，參數法。2 舉例：含參數的方程與參數方程例如：y=kx+1（k參數）含參方程，而（t參數）是參數方程。3 直線及圓的參數方程？各系數意義？（三）推導橢圓參數方程1 提出問題（教科書例5）例題如圖，以原點為圓心，分別以a、b（a>b>

3、0）為半徑作兩個圓。點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANOx，垂足為N，過點B作BMAN，垂足為M。求當半徑OA繞點O旋轉時點M的軌跡的參數方程。2 分析問題本題是由給定條件求軌跡的問題，但動點較多，不易把握。故采用間接法參數法。引導學生閱讀題目，回答問題：（1）動點M是怎樣產生的？M與A、B的坐標有何聯(lián)系？（2）如何設出恰當參數？設AOX=為參數較恰當。3 解決問題（板演）解：設點M的坐標(x,y)，是以Ox為始邊，OA為終邊的正角，取為參數，那么 x=ON=|OA|cos， y=NM=|OB|sin 即 引為點M的軌跡參數方程，為參數。4 更進一步（板演：化普通方程）分別將方程組的

4、兩個方程變形，得 兩式平方后相加，消去參數得方程由此可知，點M的軌跡是橢圓，方程是橢圓的參數方程。為參數，為離心角，常數a、b分別是橢圓長半軸和短半軸長。5 加深理解（1） 橢圓參數方程（為參數），參數有明顯幾何意義。離心角與MOX一般不同。參數方程提供了設點的方法。（2） 橢圓參數方程與普通方程可互相轉化。“設參消參”。（3） 橢圓的參數方程也可由（a>b>0）三角換元直接得出，即令，。雙曲線也有類似換元。（4） 可仿P95例3，將圓壓縮或拉伸的辦法求到橢圓參數方程（四）參數方程的應用（例題分析）例1 參數方程普通方程互化（1） （2）例2. 練習：參數方程普通方程互化 （1）

5、（2）例3在橢圓上求點P，使P到L：x-y+4=0的距離最小。分析1：（目標函數法）設P(x,y)為橢圓上任一點，由得，則P到L的距離 再想辦法求最值，但太繁不可取。 分析2：（幾何法）把直線L平移到L1與橢圓相切，此時切點P為所求的點。即設L1：x-y+m=0, yL xL1由，整理得9y2-2my+m2-8=0.由=4m2-4·9(m2-8)=0得m=±3.如圖可知m=3時最小. 可計算平行線間的距離，此時P（-）分析3：（參數法）設P（2cos,sin），則有 ，其中當時，d有最小值，則， 即P（-） 方法小結：（1）本題運用參數方程比普通方程簡單 （2）當直接設點的

6、坐標不易求解時，可嘗試建立參數方程例4P(x,y)為橢圓上任一點，求2x+y的最大值。例5設橢圓上一點P，使OP與x軸正向所成角POX=，求P點坐標。分析：本題容易產生錯誤：認為=，代入橢圓參數方程x=2,y=3，從而P（2，3）。事實上，若注意P對應參數與POX關系，可避免此誤。解：設P（，），由P與x軸正向所成的角為，即tan=2. 而sin>0,cos>0,cos=, sin= P點坐標為（，）。（四）教學小結： 1坐標法推導出橢圓的參數方程，學習了a、b、的幾何意義2通過學習，完善了對橢圓的認識。橢圓的兩個定義及兩種方程都是等價的。3 參數方程在解決軌跡問題與極值問題時是有

7、效的。4通過學習增強運用參數解題的意識。（五）補充練習1點P在橢圓7x2+4y2=28上，則點P到直線3x-3y-16=0的距離的最大值為（ ）A B. C. D. 2P是橢圓上任意一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，且滿足PF1PF2的點P有（ ）A1個 B.2個 C.3個 D.4個   3已知直線y=kx-1與橢圓相切，則k,a之間關系式為（ ）Aa+4k2=-1 B. 4k2-a=1 C.a-4k2=1 D.a+4k2=1 4點P（0，1）到橢圓上點最大距離是_5設a為大于0的常數，橢圓x2-2ax+a2y2=0的長軸長是短軸長的2倍，則a的值為 A B. C. 2或 D. 26已知點P在圓x2+(y-4)2