132函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)１

1、1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) ?,?th,.,at , 8.3.1規(guī)律規(guī)律導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化地地相應(yīng)相應(yīng)特點特點此點附近的圖象有什么此點附近的圖象有什么是多少呢是多少呢在此點的導(dǎo)數(shù)在此點的導(dǎo)數(shù)函數(shù)函數(shù)那么那么距水面的高度最大距水面的高度最大高臺跳水運動員高臺跳水運動員時時我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn)觀察圖觀察圖thOa83.1圖圖.,值值的的過過程程形形象象解解釋釋利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)找找極極通通過過動動畫畫實實驗驗 0th單調(diào)遞增單調(diào)遞增 0th單調(diào)遞減單調(diào)遞減 0ah93.1圖圖 ; 0ah,.93.1,that出可以看如圖圖象的附近函數(shù)放大 ,0;tah th t當時 函數(shù)單調(diào)遞增

2、 ,0.tah th t當時 函數(shù)單調(diào)遞減 ,(,0)(,0).,. 0tatah ttah ttaah th th a這就是說 在附近 函數(shù)值先增時后減時這樣 當 在 附近從小到大經(jīng)過 時先正后負 且連續(xù)變化 于是有 ?,xfy是否也有同樣的性質(zhì)呢是否也有同樣的性質(zhì)呢對于一般的函數(shù)對于一般的函數(shù) ,ta在附近 ?xfy,?xfy?j , i , h,g, f ,e,d,c,b,axfy,113.1103.1有什么規(guī)律有什么規(guī)律的導(dǎo)數(shù)的符號的導(dǎo)數(shù)的符號在這些點附近在這些點附近值是多少值是多少在這些點的導(dǎo)數(shù)在這些點的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值有什么關(guān)系的函數(shù)值有什么關(guān)系附近附近等點的函數(shù)值與這些點等點的函數(shù)值

3、與這些點在在函數(shù)函數(shù)圖圖和和如圖如圖探究探究cd efoghijxy xfy aboxy xfy 103.1圖圖113.1圖圖aboxy xfy 103.1圖圖 .0 xf, 0 xfax;0af ,axafaxxfy,b, a右側(cè)近的左側(cè)附而且在點點的函數(shù)值都小附近其他它在點比的函數(shù)值點在函數(shù)以發(fā)現(xiàn)我們可兩點為例以 ,0;0,. 0yf xxbf bxbfbxbfxfx類似地 函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都大而且在點附近的左側(cè)右側(cè)aboxy xfy 103.1圖圖 ;xfyaf,xfya的的叫做函數(shù)叫做函數(shù)的極小值點的極小值點叫做函數(shù)叫做函數(shù)我們把點我們把點極小值極小值 ;xf

4、ybf ,xfyb的的函數(shù)函數(shù)叫做叫做的極大值點的極大值點叫做函數(shù)叫做函數(shù)點點極大值極大值.valueextreme.極小值統(tǒng)稱極小值統(tǒng)稱極大值和極大值和稱為稱為極小值點、極大值點統(tǒng)極小值點、極大值點統(tǒng)極極值值點點極值極值.,的是函數(shù)的局部性質(zhì)的是函數(shù)的局部性質(zhì)刻畫刻畫點附近的大小情況點附近的大小情況極值反映了函數(shù)在某一極值反映了函數(shù)在某一 31144.3f xxx例 求函數(shù)的極值 32144,3422 .f xxxfxxxx解因為所以 .2x, 2x, 0 xf或得令:下面分兩種情況討論 ;2x, 2x, 0 xf1時或即當 .2x2, 0 xf2時即當 :xf ,xf ,x的變化情況如下表

5、變化時當 , 222,222,0028433xfxf x 單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增 ;3282f,xf ,2x,并且極大值為值有極大時當因此 2,42.3xf xf 當時有極小值 并且極小值為 .123.14x4x31xf3所示的圖象如圖函數(shù)?極大值一定大于極小值嗎?0點嗎點嗎的點一定是函數(shù)的極值的點一定是函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)值為導(dǎo)數(shù)值為思考思考22oxy 4x4x31xf3123.1圖圖 .,xfy0 xfy,.xxf0 x,xxf,0 xf,0 x,0 x, 00f.x3xf,xxf,.03323而非充分條件而非充分條件件件在這點取極值的必要條在這點取極值的必要條是函數(shù)是函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)值為在一

6、點的導(dǎo)數(shù)值為函數(shù)函數(shù)一般地一般地極值點極值點不是函數(shù)不是函數(shù)所以所以是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的即函數(shù)即函數(shù)恒有恒有還是還是于無論于無論但由但由雖然雖然我們有我們有函數(shù)函數(shù)對于對于例如例如值點值點的點不一定是函數(shù)的極的點不一定是函數(shù)的極導(dǎo)數(shù)值為導(dǎo)數(shù)值為求可導(dǎo)函數(shù)的極大求可導(dǎo)函數(shù)的極大( (小小) )值的步驟值的步驟: :確定函數(shù)的定義域；確定函數(shù)的定義域； 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) ; ;( )fx 檢查檢查 , ,方程方程 0 0的根的左的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點右兩側(cè)的符號，確定極值點.(.(最好通過列最好通過列表法表法) )( )fx ( )fx 求方程求方程( )fx =0=0的根的根, ,這些

7、根也稱為這些根也稱為可能極值點；可能極值點； 強調(diào)強調(diào): :要想知道要想知道 x0是極大值點還是極小值點是極大值點還是極小值點就就必須判斷必須判斷 f (x0)=0 0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號左右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號.(.(最好列最好列表表) ) 000,:0.0:10,0,;yf xfxfxxfxfxf x一般地 求函數(shù)的極值的方法是解方程當時如果在 附近的左側(cè)右側(cè)那么是極大值 .xf, 0 xf, 0 xfx200是極小值是極小值那么那么右側(cè)右側(cè)附近的左側(cè)附近的左側(cè)如果在如果在解解54333( )3552.f xxxx練習(xí)：求函數(shù)的極值4322(1)( )3693(1)(3)fxxxxxxx，令令0)()

8、2( xf1231,0,3.xxx 得)3(x)1,( ), 3( ( 1,0)1 3)(xf )(xf0 0 0 00極大值極大值極小值極小值0(0,3)0 054333( )3552f xxxxMN圖形如下圖形如下)3(f極小值極小值(4)( 1),f 極大值例例2.2.（2001文）已知函數(shù)文）已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3-3ax-3ax2 2+2bx+2bx在點在點x=1處有極小值處有極小值-1，試確定，試確定a、b的值，并求出的值，并求出f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。 分析：分析：f(x)f(x)在在x=1x=1處有極小值處有極小值-1-1，意味著，意味著f(1)

9、=-1f(1)=-1且且f(1)=0f(1)=0，故取點可求，故取點可求a a、b b的值，然后根據(jù)求的值，然后根據(jù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，求出單調(diào)區(qū)間函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，求出單調(diào)區(qū)間 。略解：單增區(qū)間為（單增區(qū)間為（-，-1/3）和（）和（1，+）單間區(qū)間為（單間區(qū)間為（-1/3，1）1132(1)1,(1)0fabf 練習(xí)練習(xí): : 已知函數(shù)已知函數(shù) 在在 處取得極值。處取得極值。(1)討論討論 和和 是函數(shù)是函數(shù) 的極大值還是極小值；的極大值還是極小值； (2)過點過點 作曲線作曲線 的切線，求此切線方程。的切線，求此切線方程。xbxaxxf3)(231x) 1 (f( 1)f )(xf)

10、16, 0(A)(xfy 解：解：323)() 1 (2bxaxxf0) 1() 1 (ff依題意，依題意， . 0323, 0323baba0, 1ba) 1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf則，令0)( xf1, 1xx時，當), 1 () 1,(x0)( xf時，當) 1, 1(x0)( xff(x)在在 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，) 1,(), 1 (，) 1, 1(f(x)在在 上是減函數(shù)。上是減函數(shù)。所以，所以， 是極大值；是極大值； 是極小值。是極小值。2) 1(f2) 1 (f（2）曲線方程為）曲線方程為 ，點，點 不在曲線上不在曲線上 .xxy33)16, 0(A設(shè)切點為設(shè)切點為 ，則點，則點M的坐標滿足的坐標滿足),(00yxM03003xxy因因) 1(3)(200 xxf)(1(30200 xxxyy故切線的方程為故切線的方程為注意到點注意到點A（0，16）在切線上，有）在切線上，有)0)(1(3)3(16020030 xxxx830 x20 x即所以，切點為所以，切點為 ，)2, 2(M0169 yx切線方程為切線方程為1、極值的概念與極值的判定方法、極值的概念與極值的判定方法2、可導(dǎo)函數(shù)的極值的求法