八年級上冊數(shù)學(xué)全等三角形證明輔助線分析實(shí)例及復(fù)習(xí)題答案

1、 八年級上冊數(shù)學(xué)全等三角形證 明輔助線分析實(shí)例及復(fù)習(xí)題答 案2 初二數(shù)學(xué)第十一章全等三角形綜合復(fù)習(xí) 切記：“有三個(gè)角對應(yīng)相等”和“有兩邊及 其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定 全等。 c 思路：從結(jié)論 ACF = XBDE 入手， 全等條件只有AC = HD ；由蟲訴兩邊同時(shí)減去EF得 到，又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全 等條件，可以是CF = DE 9也可以是Z/ = Z5 o 由條件 川匚丄CE 9 BOLDF 可得 XACE = ZBDF = , 再加 上 AE=BF f AC 二 ED , 可以證明 ACEBDF f 從而得到 乙4 = ZB o /. ZACE = LBDF

2、= 90 例.如圖，&FEB 四點(diǎn)共線 ,丄 CE、BD DF j AE = i3F f AC=BDo 求證: 證明 /丄CE BD 丄 RZCE RfBDF AE = SF AC = BD RtMCE = RtDF (HL) 二 AA = ZB / AE = BF :.AE-EF = BF -EF 9 AFBE AC = BD即 AF = BE ACF BDE 4 /. Az1 CF = ASDE (SAS) 思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的 思想方法：一方面從問題或結(jié)論入手，看還需要 什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什 么結(jié)論。再對比“所需條件”和“得出結(jié)論”之 間

3、是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思 路O 才:結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热?形及其全等條件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆?個(gè)題目，得出解題思路。 例I如圖，在中，眈是ZABC的平分線, 思路：直接證明亠斗“比較困難，我們可 以間接證明,即找到加，證明亠厶且Z.ZUZCO 也可以看成將轉(zhuǎn)移”到 那么山在哪里呢？角的對稱性提示我們將 初延長交昶于F,則構(gòu)造了FBD，可以通過證 明三角形全等來證明Z2=ZDFB,可以由三角形 外角定理得ZDFB=Z1+ZCO 證明：延長初交必于尸垂#0 丄 SE f Z2 = ZIH-ZC o 5 I?ABD =/FBD 一 BD =BD | ADB F

4、DB =90： 又 一 .DFB =. 1 . C 思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用 翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。 例3.如圖，在 MBC 中，AB =BC，NABC =90。 F為AB延 長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE = BF，連接AE,EF和CF。 求證 : AE 二CF。 思路：可以利用全等三角形來證明這兩條線段 相等，關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形。以線段AE為 邊的ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90；到CBF的位置， 而線 段CF正好是CBF的邊，故只要證明它們?nèi)燃?可。 證明：一.ABC =90， F為AB延長線上一點(diǎn) ZABC ZCBF =90： 在ABE與CBF中 AB 二 B

5、C 2/ABC 二 CBF I BE 二 BF ABE= CBF (SAS) AE =CF。 ABD 三. ：FBD (ASA .2=/DFB 6 思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等 三角形，而且有利于找對應(yīng)邊和對應(yīng)角。 小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是 重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角 形。這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、 翻折和 旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來尋找或利用輔助線構(gòu) 造全等三角形。 例 4.如圖，AB CD， AD BC，求證：AB二CD。 思路：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過連接四 邊形的對角線，可以把原問題轉(zhuǎn)化為全等三角形 的問題。 證明：連接AC AB I/ C

6、D， AD I/ BC .仁.2， . 3= 4 在ABC與CDA中 */2 一 AC 二CA 14 = 3 ABC三 CDA (ASA) AB =CD o 思考：連接四邊形的對角線，是構(gòu)造全等三角形 的常用方法。 例5.如圖，AP,CP分別是ABC外角MAC和.NCA的平7 思路：要證明“ BP為MBN的平分線”,可以利用 點(diǎn)P到BM,BN的距離相等來證明，故應(yīng)過點(diǎn) P向 BM,BN作垂線；另一方面，為了利用已知條件“ AP,CP 分別是 ICA 要作出點(diǎn)P到 兩外角兩邊的距離。 證明：過P作 PD_BM 于 D， PE_AC 于 E， PF _ BN 于 F 一 AP 平分 .MAC， P

7、D _ BM 于 D， PE _ AC 于E PD =PE -CP 平分 NCA， PE _ AC 于 E， PF _ BN 于F .PE =PF 一 PD =PE， PE =PF PD =PF 曽PD =PF，且 PD丄BM 于 D， PF丄BN 于 F BP為MBN的平分線。 思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要 證明角平分線的結(jié)論時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn) 向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定 來解答問題。 例6.如圖，D是ABC的邊BC上的點(diǎn)，且CD二AB， AD BAD， AE是 ABD 的中線。求證： AC=2AE。的平分線 8 思路：要證明“ AC=2AE ”，不妨構(gòu)造

8、出一條等于 2AE的線段，然后證其等于AC。因此，延長AE至F , 使 EF 二 AE。 證明：延長AE至點(diǎn)F，使EF=AE，連接DF 在ABE與 FDE中 AE 二 FE :2ZAEB 二.FED BE 二 DE ABE 三 FDE (SAS) ZB ZEDF v NADF =NADB +NEDF， NADC =NBAD +NB 又 一 ADB 二 BAD ADF = ADC 一 AB 二 DF， AB 二 CD DF =DC 在.ADF與ADC中 AD =AD v PB PC。 法二： 在AB上截取AN = AC，連接 PN 例7.如圖，在 MBC 中，ABAAC , Z 1=Z2 , P

9、 為 AD 上 任意一點(diǎn)。求證 : ABAC：PBPC。 PB PN ： 11 延長 AC 至M，使 AM =AB , 連接 PM 在 .ABP 與 AMP 中 JAB 二 AM .M =/2 AP 二 AP .ABP三AMP （SAS） .PB 二 PM 一在 iPCM 中，CM PM PC AB-AC PB -PC。 思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時(shí)， 一般采用“截長補(bǔ)短”法。具體作法是：在較長 的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè) 法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線 段，稱為“截長”；或者將一條較短線段延長， 使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段 之和等于較長線段

10、，稱為“補(bǔ)短”。 小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作 法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。 我們不 光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么 要這樣作，這樣作有什么用處。 同步練習(xí) 一、選擇題： 1. 能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（ ） A.兩直角邊對應(yīng)相等 B. 銳角 對應(yīng)相等 C.兩銳角對應(yīng)相等 D.斜邊相等 2. 根據(jù)下列條件，能畫出唯一 ABC的是（ ） 12 A. AB =3， BC=4， CA=8 B. AB=4， BC =3， A=30；13 C. . C =60；， 3.如圖，已知 AB = AE : BC = ED ； 使 :ABC 二 AED A. 4個(gè) 1個(gè) B

11、= 45； , AB =4 D. O=N2 , AC = AD , .C - D ；.B E。 的條件有( ( .C =90； AB = 6 增加下列條件： 其中能 B. 3個(gè) ) C. 2個(gè) D. C =/D 4.如圖，仁2， 正確的是( ( ) ) A. DAE CBE C. DEA不全等于 CBE 腰三角形 AC,BD交于E點(diǎn)， B. CE 二 DE D. AB = CD BC = AD 下列不 EAB是等 5.如圖，已知 () A. 67 無法確定 B. 46 、填空題: B=23 , C. 23 則D等于 D. 14 6.如圖，在ABC中，C=90； , ABC的平分線BD交 7.如

12、圖，已知AB = DC, AD = BC, E,F是BD上的兩 點(diǎn)， 且 BE 二 DF ， 若.AEB =100； ， . ADB =30；， 貝 BCF = 8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊， BC,BD為折痕，則NCBD的大小為 _ ； 9如圖，在等腰Rt ABC中，c =90； , AC二BC , AD平 分 BAC 交 BC 于 D , DE_AB 于 E，若 AB =10，貝BDE 的 周長等于 _ ； 10.如圖，點(diǎn)D,E,F,B在同一條直線上，AB / CD , AE / CF ,AC于點(diǎn)D , 離等于 且 CD:AD=23 , ACJOcm , 則點(diǎn)D到AB的距 cm C

13、 15 且 AE 二 CF ,若 BD =10 , BF = 2 ,貝16 二、解答題： 11.如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)M,N分別在 BC,AC上，且 BM二CN , AM 與BN交于 Q點(diǎn)。求 AQN的 度數(shù)。 12.如圖， NACB =90， AC = BC， D 為 AB 上一點(diǎn)， AE_CD，BFCD，交CD延長線于 F點(diǎn)。求證：BF = CE。 17 同步練習(xí)的答案 一、 選擇題： I. A 2. C 3. B 5. C 二、 填空題： 6. 4 7. 70 8. 90 10. 6 三、 解答題： II. 解：ABC為等邊三角形 AB =BC， ABC C =60； 在：ABM與BCN中 AB =BC I T ABCC BM =CN ABM 二