四年級(jí)奧數(shù)-教師版-第六講幻方與數(shù)陣圖精品資料

1、第六講幻方與數(shù)陣圖知識(shí)導(dǎo)航三階幻方的性質(zhì)：1. 中心位置上的數(shù)等于幻和除以3；2.角上得數(shù)等于和它不相鄰的兩條邊上的數(shù)的平均數(shù)；3.中心數(shù)兩頭的數(shù)等于中心數(shù)的2 倍。例 1：我們先來一起解決三道難度相差很大的題目，目的在于總結(jié)出三階幻方的若干重要性質(zhì)。如下圖，將 1 9 填入 3×3 的方格表中，使得每行每列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等，你一共可以得到多少種填法？第 1 題解析： 首先，我們思考要填出一個(gè)三階幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我們就知道，那個(gè)所謂的“幻和”，即每行、每列、每條對(duì)角線三個(gè)數(shù)的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我們按照行（按照列也一樣）把幻方中的

2、九個(gè)數(shù)加起來，那么它們的總和不就是3 倍的“幻和”嗎？而另一方面，我們也知道，由于1到 9 這九個(gè)數(shù)字都只各用了一次，所以 3 倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（請(qǐng)復(fù)習(xí)學(xué)過的等差數(shù)列知識(shí)）。于是最后，我們終于得到這個(gè)至關(guān)重要的“幻和”就是45÷ 3=15。接下來第二步，我們來關(guān)心一下中間一格應(yīng)該填哪個(gè)數(shù)字。同學(xué)們可能會(huì)說，中間一定填 5，因?yàn)?1 到 9 的中間數(shù)字就是 5，而幻方又是上下左右對(duì)稱的。沒錯(cuò)，同學(xué)們有這樣的數(shù)學(xué)直觀很好，但是為了確定我們的判斷，還是需要嚴(yán)格地說明一下。ABCDEFGHI看上面的表格，由于我們還沒有填入任何一個(gè)數(shù)字，所以就用了九

3、個(gè)大寫字母來表示。下面就需要技巧了，我們現(xiàn)在只考慮包含E 的四條直線：因?yàn)锳+E+I =15,B+E+H=15, C+E+G=15, D+E+F=15, 所以如果我們把這四個(gè)式子的左右兩邊分別相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I） +3×E=60,而不就是所填數(shù)的總和嗎？不論填法如何，這個(gè)數(shù)是不變的，它就是 45，于是那么我們就得到E=5 了。解： 根據(jù)上面的分析，我們知道“幻和”=15 ，而 E=5 。從而我們知道A+I=B+H=C+G=D+F=10 ，也意味著在所有經(jīng)過中心的直線上，兩端的數(shù)字奇偶性相同。然后我們可以通過枚舉的方法確定每個(gè)位置上數(shù)字的奇偶性：（大家

4、自己完成）偶奇偶奇5奇偶奇偶我們可以看到，如果4 個(gè)角上的偶數(shù)被確定下來，那么其余4 個(gè)奇數(shù)也就被確定了，所以我們可以只考慮這4 個(gè)偶數(shù)的填法。利用一點(diǎn)簡(jiǎn)單的乘法原理，大家就可以知道本題共有8 種填法。具體填法如下：294276834816753951159357618438672492492438672618357951159753816276834294總結(jié)： 這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：奇偶性分析并不是解決幻方題的典型方法，只在某些特殊的題目中會(huì)被用到。在上面這個(gè)解題過程中，我們用到了一點(diǎn)技巧，希望同學(xué)們加以領(lǐng)會(huì)。本題中，我們看到所有經(jīng)過中心的直線上，兩端數(shù)字的平均數(shù)就等于中間這個(gè)E。那么我們來問一

5、個(gè)深入一點(diǎn)的問題：你認(rèn)為這是在這道題中才產(chǎn)生的特殊性質(zhì)，還是所有的三階幻方都應(yīng)該具有類似的性質(zhì)？還有，就是上面我們?cè)?jīng)得出的那個(gè)“幻和”的 3 倍就等于這九個(gè)數(shù)之和的這條性質(zhì)，它能不能推廣到所有的三階幻方？【鞏固】 . 請(qǐng)你將 311 這 9 個(gè)數(shù)字填入下面的方格中，使橫、豎、斜行三個(gè)數(shù)的和相等。解析： 首先將這列數(shù)中的中間數(shù)放在中間的格子里可知幻和是7× 3=21；其次；將最小的數(shù)和最大的數(shù)分別放在這個(gè)數(shù)的橫向或豎向的兩邊；第三，中間數(shù)前面的第2和第 4個(gè)數(shù)分別填在最大數(shù)的兩側(cè)，這時(shí)就可以輕松的確定剩下的幾個(gè)空了。48943711371161056例 2：下圖是一個(gè)三階幻方，請(qǐng)說明

6、幻和等于3 倍的 E 且 D+F=2× E。DEF第 2 題解析： 有了第1 題的基礎(chǔ)，大家應(yīng)該對(duì)本題感到不是那么陌生了，只要把第一部分解題過程搬過來就行。這道題也是讓大家看一看如何把一個(gè)特殊的解題過程變成一條普遍的規(guī)律或性質(zhì)。解： 首先把題目中的空白格子標(biāo)上不同的字母，以便表述。1 題的ABCDEFGHI首先，只考慮包含E 的四條直線，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H= “幻和”，C+E+G= “幻和”，D+E+F= “幻和”。然后，把這四個(gè)式子的左右兩邊分別相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4倍的“幻和”,而另一方面，如果我們只考慮幻方的三行

7、，則有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”。所以， 3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F ，于是 D+F=2× E?？偨Y(jié)： 同樣的分析辦法，還可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2×E(請(qǐng)大家自己說明本題回答了例1 評(píng)議中提出的兩個(gè)問題，從而我們得到三階幻方的兩條重要性)。質(zhì)。性質(zhì)性質(zhì)1：“幻和”的3 倍等于這九個(gè)數(shù)之和；2：所有經(jīng)過中心的直線上，兩端數(shù)字的平均數(shù)就等于正中間的數(shù)字。BAC第 3 題例 3：上 圖是一個(gè)三階幻方，請(qǐng)說明A+B=2× C。解析： 這是一道難題，它之所以難

8、，就在于條件太少，只有三階幻方的概念可以用。于是我們就想到利用性質(zhì)1 和 2，看看能不能解決問題。當(dāng)然，只利用題目中的A、 B、 C 三個(gè)位置上的數(shù)字是不可能做出來的，至少還要利用一個(gè)其它位置上的數(shù)字作為過渡，比如我們可以選擇左上角的數(shù)字，并用x來表示它：xBA*C下面我們要用到比較法，其實(shí)也就是性質(zhì)1。解： 現(xiàn)在考慮* 處的數(shù)字。如果我們只看上面第一行和右邊第一列，可以知道*+C=B+x，也就是 *=B+x-C ；而如果我們只看中間第二行和左上到右下的對(duì)角線，可以知道 x+C=A+*，也就是 *=x+C-A 。所以 B+x-C=x+C-A，兩邊可以都去掉x，就得到A+B=2× C。

9、總結(jié)： 這就是幻方的性質(zhì)3，也被形象的稱為“T”字型性質(zhì)。當(dāng)然，類似本題中這樣 A+B=2× C 的性質(zhì)還有另外 3 種不同方向的表達(dá)形式，大家應(yīng)該自己可以總結(jié)出來?！?T”字型性質(zhì)是非常重要，而且神奇的性質(zhì)，它神奇就神奇在三階幻方有無窮多個(gè)，看起來好像數(shù)字怎么填都可以。但是這條性質(zhì)卻告訴我們?cè)陔x得這么遠(yuǎn)的三個(gè)位置上的數(shù)字之間卻有著這樣簡(jiǎn)單的關(guān)系，三階幻方中的數(shù)字不是隨便怎么填都可以的，中間還潛藏著一些更深層次的特殊性質(zhì)。這正是數(shù)學(xué)的魅力所在。例 4：那么究竟我們總結(jié)出來的3 條性質(zhì)有什么用呢，請(qǐng)完成下面的三階幻方：1710019299519第 4 題（1）第 4題（2）解析： 本題

10、需要綜合利用上面的 3 條性質(zhì)以及比較法來解決，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出來了，一切就都沒問題了。但是不同人的解題順序和利用性質(zhì)的方式可能很不一樣，所以下面我只是提供一種可行的解題順序和方法，大家應(yīng)該有自己的解題順序和方法。這類題是簡(jiǎn)單的。解：（ 1）BA100 1995根據(jù)性質(zhì) 2， A=100× 2- 19=181 ， B=100×2- 95=105 ；“幻和” =100×3=300 。下面就只要根據(jù)幻方的概念填就可以了。答案如下：24171 105181 100199529176（ 2）17A29C19B根據(jù)比較法， A=19+29 - 17=31；根據(jù)性質(zhì)3， B=(17+29) ÷ 2=23；根據(jù)性質(zhì)2，C=(19+31)÷ 2=25，“幻和”=25 ×3=75。下面也就只要根據(jù)幻方的概念填就可以了。答案如下：271731292521193323總結(jié)：最后重申幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：I. 這些性質(zhì)只適用于三階幻方，對(duì)于四階和四階以上的幻方，有些性質(zhì)可能就不成立了，而有些需要修改，請(qǐng)同學(xué)們慎重，具體問題具體處理。II. 這幾條性質(zhì)適合于所有的三階幻方，并沒有局限性。2、四階幻方4 階幻方的填法