高考圓錐曲線中的定點(diǎn)問題總結(jié)非常經(jīng)典建議立馬收藏

1、圓錐曲線中的定點(diǎn)問題定點(diǎn)問題是常見的出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過定點(diǎn)問題通法，是設(shè)出直線方程，通過韋達(dá)定理和已知條件找出k和b的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可模型一：“手電筒”模型2 2例題、已知橢圓C： 1若直線l: y kx m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右43頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓 C的右頂點(diǎn)。求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。方法總結(jié)：本題為“弦對定點(diǎn)張直角” 的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于 AB ,則AB必過定點(diǎn)(X

2、o(a2 b2) y°(a2 b2) a ba b模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個(gè)限定 AP與BP條件（如kAP ?kBP定值，kAP kBp 定值），直線AB依然會過定點(diǎn)（因?yàn)槿龡l直線形似手電筒，固名曰手電筒模型）Stepl :設(shè)AB直線y kx m ,聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍；Step2 :由AP與BP關(guān)系（如kAP?kBP 1）,得一次函數(shù)k f（m）或者m f（k）;Step3:將 k f （m）或者 m f （k）代入 y kx m ,得 y k（x X定）y定。類型題訓(xùn)練練習(xí)1:過拋物線M: y2 2px上一點(diǎn)P (1,2)作傾斜角互

3、補(bǔ)的直線 PA與PB,交M于A、B兩點(diǎn), 求證：直線 AB過定點(diǎn)。(注：本題結(jié)論也適用于拋物線與雙曲線)2練習(xí)2：過拋物線M: y 4x的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦OA、0B，求證：直線 AB過定點(diǎn)。2 2練習(xí)3:過2 y 1上的點(diǎn)作動弦 AB、AC且kAB?kAc 3 ,證明BC恒過定點(diǎn)。練習(xí):4 :設(shè)A、B是軌跡C : y2 2px(P0)上異于原點(diǎn)0的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線 OA和OB的傾斜角分別為 和，當(dāng)，變化且時(shí)，證明直線 AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。4練習(xí)5：已知動圓過定點(diǎn) A(4,0),且在y軸上截得的弦 MN的長為8.(I )求動圓圓心的軌跡 C的方程；( )已知點(diǎn)B(-1,0

4、),設(shè)不垂直于X軸的直線I與軌跡C交于不同的兩點(diǎn) P, Q若X軸是 PBQ的角平分線，證明直線I過定點(diǎn)UULrIUur IlJUuLln練習(xí)6：已知點(diǎn)B 1,0 ,C 1,0 ,P是平面上一動點(diǎn)，且滿足IPel IBCl PB CB(1) 求點(diǎn)P的軌跡C對應(yīng)的方程；(2) 已知點(diǎn)A(m,2)在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE ,且AD AE ,判斷：直 線DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論 )2練習(xí)7:已知點(diǎn)A ( 1, 0), B (1, 1)和拋物線.c：y 4x, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn) A的動直線 I交拋物線C于MlUULP,u直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖.(I)證明：OM O

5、P為定值;5(II )若厶POM的面積為 ，2求向量OM與OP的夾角;(川)證明直線 PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)模型二：切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)例題：有如下結(jié)論：圓22 2y r上一點(diǎn)P(xo,y°)處的切線方程為Xoy y°y2r ”，類比也有結(jié)論:x2橢圓篤a2與 1(a b 0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為bX°X-2a罟1 ”，過橢圓C:2 y2 1的右準(zhǔn)線I上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為 A、B.4(1)求證：直線 AB恒過一定點(diǎn)；)當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求 ABM的面積。方法點(diǎn)評：切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用，但是在正式的考試過程中直接不能直接引用，可以

6、用本題的書寫步驟替換之，大家注意過程。方法總結(jié)：什么是切點(diǎn)弦？解題步驟有哪些？l, tiV)l71 L*t' l5 ,rld )練習(xí)1 :( 2013年廣東省數(shù)學(xué)(理)卷) 已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F 0,C C 0至煩線I：3J2x y 20的距離為 圧.設(shè)P為直線I上的點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA, PB ,其中A,B為2切點(diǎn)(I)求拋物線C的方程；()當(dāng)點(diǎn)P Xo,yo為直線I上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；(In)當(dāng)點(diǎn)P在直線I上移動時(shí)，求AF BF的最小值. 2 2練習(xí)2： (2013年遼寧數(shù)學(xué)(理)如圖,拋物線C1: X 4y,C2: X 2py p 0 ,點(diǎn)M

7、 x0, y0在 拋物線C2 上,過M作Ci的切線，切點(diǎn)為代B( M為原點(diǎn)O時(shí)，代B重合于O) Xo 1,2 ,切線MA.的1斜率為-丄.2(I)求P的值;(11)當(dāng)M在C2上運(yùn)動時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方.A,B重合于O時(shí)沖點(diǎn)為O .模型三：相交弦過定點(diǎn)相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過定點(diǎn)性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用。參考尼爾森數(shù)學(xué)第一季 _3下，優(yōu)酷視頻。但是具體解題而言，相交弦過定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多，計(jì)算量相對較大，解題過程一定要注意思路，方 時(shí)注意總結(jié)這類題的通法。2例題、已知橢圓C：y21 ,若直線丨：X t(t 2)與X軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線I上異于點(diǎn)T的4任一點(diǎn)，直線 PA1,PA2分別與橢圓

8、交于 M、N點(diǎn)，試問直線 MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。P-c0 yTX一x2 V2練習(xí)1：(江蘇)在平面直角坐標(biāo)系 XOy中，如圖，已知橢圓 9+V5=1的左右頂點(diǎn)為 a,b ,右焦點(diǎn)為F, 設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn) M(x,y), N(x2,y2),其中m>0,y>0,y2<0.設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2- PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡1設(shè)X1=2求點(diǎn)T的坐標(biāo)(其坐標(biāo)與m無關(guān))3練習(xí)2：已知橢圓E中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A( 2,0)、B(2,0)、C 1, 三點(diǎn).過2橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線I與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，

9、AM與BN所在的直線交于點(diǎn)Q.(1) 求橢圓E的方程：(2) 是否存在這樣直線 m ,使得點(diǎn)Q恒在直線m上移動？若存在，求出直線m方程,若不存在，請說 明理由4x的一T,使得模型四：動圓過定點(diǎn)問題動圓過定點(diǎn)問題本質(zhì)上是垂直向量的問題，也可以理解為“弦對定點(diǎn)張直角”的新應(yīng)用。222例題1.已知橢圓C: X 爲(wèi) i(a b 0)的離心率為 ,并且直線y X b是拋物線y求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo)； 過點(diǎn)D作X軸的垂線n ,再作直線l : y kx m 與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) P ,直線l交直線n于點(diǎn) Q。求證：以線段 PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出定 點(diǎn)的坐標(biāo)。 a2 b22條切線。(I)求橢圓的方程；1()過點(diǎn)S(0,-)的動直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上