高中物理之平拋運(yùn)動(dòng)和斜面組合模型及其應(yīng)用

1、平拋運(yùn)動(dòng)和斜面組合模型及其應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向的勻速直 線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌 跡和規(guī)律如圖1所示，會(huì)應(yīng)用速度和位移兩個(gè) 矢量三角形反映的規(guī)律靈活的處理問(wèn)題。設(shè)速 度方向與初速度方向的夾角為速度偏向角 ©,位移方向與初速度方向的夾角為位移偏向角9，假設(shè)過(guò)P點(diǎn)做與初速度平行的直線，那么該直線與位移方向的夾角可以看作是構(gòu)造的虛斜面的傾角，這樣平拋運(yùn)動(dòng)模型和斜面模型就組合在一起了。 在中學(xué)物理中有大量的模型，平拋運(yùn)動(dòng)和斜面 模型是重要的模型，這兩個(gè)模型組合起來(lái)進(jìn)行考查，是近幾年高考的一大亮點(diǎn)。 為此，筆者就該組合模型的特點(diǎn)和應(yīng)用，歸納如下。一斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

2、國(guó)2例1. 2006 上海如圖2所示，一足夠長(zhǎng)的固定斜面與水平面的夾角為 37°，物體A以初速度vi從斜面頂端水平拋出，物體 B在 斜面上距頂端L= 15m處同時(shí)以速度V2沿斜面向下勻速運(yùn) 動(dòng)，經(jīng)歷時(shí)間t物體A和物體B在斜面上相遇，那么以下各 組速度和時(shí)間中滿足條件的是 sin37 °=0.6 , cos37°=0.8，2g = 10 m/s )A. V1= 16 m/s， V2= 15 m/s， t = 3sB. v 16 m/s，V2= 16 m/s，t = 2sC. V1 = 20 m/s， V2= 20 m/s， t = 3sD. Vi = 20m/s,

3、V2 = 16 m/s , t = 2s解析：設(shè)物體A平拋落到斜面上的時(shí)間為t ,由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得x v0t , y 1 gt2由位移矢量三角形關(guān)系得 tan x由以上三式解得t 2Vo tang2 2 2在時(shí)間t內(nèi)的水平位移x 2Vo tan ;豎直位移y 彳曲 -gg將題干數(shù)據(jù)代入得到3vi = 20t，對(duì)照選項(xiàng)，只有C正確。將Vi = 20 m/s , t = 3s代入平拋公式，求出 x, ysA 賦/ 75m sB V2t = 60mSa sb L 15m，滿足題目所給條件。結(jié)論1:物體自傾角為9的固定斜面拋出，假設(shè)落在斜面上，飛行時(shí)間為2 2 2t 2V0 tan ，水平位移為x 2

4、V0 tan ，豎直位移y 細(xì)旦 ，均與初速度ggg和斜面的傾角有關(guān)且分位移與初速度的平方成正比。跟蹤訓(xùn)練：1. 在例1中，題干條件不變，改變?cè)O(shè)問(wèn)角度和題型。那么V1、V 2應(yīng)滿足的關(guān)系式為。溫馨提示：由結(jié)論1得飛行時(shí)間為t 2V0 tan ，由幾何關(guān)系得 gV1cosv2tL 。聯(lián)立以上兩式化簡(jiǎn)得V1、V2應(yīng)滿足的關(guān)系式為215v112v1v2 8gL。2. 如圖3所示，AB為斜面，BC為水平面，從A點(diǎn)以水平初速度v向右拋出小球，其落點(diǎn)與A的水平距離為xi,從A點(diǎn)以水平初速度3v向右拋出一小球,其落點(diǎn)與A的水平距離為x2，不計(jì)空氣阻力，那么竺可能為X21A. 1 B.1 C.1 D.1359

5、11溫馨提示：假設(shè)兩物體都落在斜平面上，由水平位移x 2v0 tan得，g生也 1，即選項(xiàng)C正確。假設(shè)兩物體都落在水平面上，由 X2V02 9*|a 一耳齊卜 水平位移x v0 jy得，殂-V°1-，即選項(xiàng)A正確。假設(shè)第一 B ；pgx2 v02 3圈4 球落在斜面上，第二球落在水平面上如圖 4所示，乞不會(huì)小于1 ,但一定小X291于1 ,應(yīng)選項(xiàng)B對(duì)D錯(cuò)。所以此題正確選項(xiàng)為 ABC33. 2003 上海如圖5所示，一高度為h=0.2m的水平面在A點(diǎn)處與一傾角圖5為8 = 30°的斜面連接，一小球以v°= 5m/s的速度在平面上向右運(yùn)動(dòng)。求小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到地面所需的

6、時(shí)間平面與斜面均光滑，取g= 10m/s2。某同學(xué)對(duì)此題的解法為：小球沿斜面運(yùn)動(dòng)，貝Uv°t 1 gsin t2，由此可求得落地的時(shí)間t。問(wèn)：你同意sin2上述解法嗎？假設(shè)同意，求出所需的時(shí)間；假設(shè)不同意，那么說(shuō)明理由并求出你認(rèn)為正 確的結(jié)果溫馨提示：不同意。小球離開平面后，其重力與初速度垂直，故小球做平拋 運(yùn)動(dòng)而不是沿斜面運(yùn)動(dòng)。物體能否落到斜面上，用假設(shè)法計(jì)算判斷。假設(shè)物體平拋能落在斜面上，利2 2用其豎直分運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，由豎直位移 y 2Vo tan 得，y 5 m：h=0.2m。故小球不g3會(huì)落在斜面上。所以小球下落時(shí)間為t= J一=0.2s。 g4. 將一質(zhì)量為m的小球以初速度V

7、o從傾角為B的斜坡頂向外水平拋出，并 落在斜坡上，那么當(dāng)小球擊中斜坡時(shí)重力做功的功率是()A. mgv0 cotB. mgv0 tanC. 2mgv0 cotD. 2 mgv0 tan溫馨提示：由結(jié)論1中的飛行時(shí)間為t 2v°仙 和功率的計(jì)算式gp mg vy mg gt，得p 2mgv°tan 。故正確的選項(xiàng)為C。拓展創(chuàng)新：如圖6中的a是研究小球在斜面上平拋運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)裝置， 每次將 小球從弧型軌道同一位置靜止釋放，并逐漸改變斜面與水平地面之間的夾角 9， 獲得不同的射程x,最后作出了如圖6中的b所示的x-tan 9圖象，g 10m/s2。 那么：(1)由圖b可知，小球在斜

8、面頂端水平拋出時(shí)的初速度 v0=。實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)9超過(guò)60°后，小球?qū)⒉粫?huì)掉落在斜面上，那么斜面的長(zhǎng)度I(2)假設(shè)最后得到的圖象如圖6中的c所示，貝冋能的原因是(寫出一個(gè))溫馨提示：1由結(jié)論1物體的水平位移為x2v0 tang知，圖象b中直線的斜率k 如，解得w=1m/s。由幾何關(guān)系得斜面的長(zhǎng)度I 丄 空=0.7mgcos cos2圖象b中直線的斜率kc 22v o可知，平拋運(yùn)動(dòng)的初速度變大,即釋放位置變高或釋放時(shí)有初速度例2. 2021 全國(guó)如圖7所示，一物體自傾角為9的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上。物體與斜面接觸時(shí)速度與水平方向的夾角©滿足£17A. t

9、an © =sin 9B. tan © =cos 9C. tan © =tan 9D. tan © =2tan 9解析：設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為V0，如下圖，由速度矢量三角形關(guān)系得+VygttanV0V0由位移矢量二角形關(guān)系得tan 選項(xiàng)D正確。- 型，由以上兩關(guān)系式得tan2tan 。故x 2vo結(jié)論2:物體自傾角為B的固定斜面拋出，假設(shè)落在斜面上，末速度與初速度的夾角©滿足tan 2tan 。跟蹤訓(xùn)練：5. 如圖8所示從傾角為 的足夠長(zhǎng)的斜面上的A點(diǎn)，先后將同一小球以不同的初速度水平向右拋出， 第一次初速度為Vi，球 落到斜面上前一瞬間的速度方

10、向與斜面的夾角為 i，第二次初速 度為V2，球落在斜面上前一瞬間的速度方向與斜面間的夾角為2，假設(shè)V2 Vi，貝U 1、 2的大小關(guān)系是。溫馨提示：如圖9所示，由結(jié)論2可知，tan( ) 2tan解得arctan(2tan )即僅與有關(guān)，故有12點(diǎn)評(píng)：由此可以得出，物體自傾角為 9的固定斜面拋出，以不同初速度平 拋的物體落在斜面上各點(diǎn)的速度是互相平行的推論。6. 如圖10所示，AB為足夠長(zhǎng)斜面，BC為水平面，從A點(diǎn)以3m/s的初速度水平向右拋出一小球，落在斜面上的動(dòng)能為E1，再?gòu)腁點(diǎn)以5m/s的初速度水平向右拋出該小球， 落在斜面上的動(dòng)能為E2。不計(jì)空氣阻力，那么旦為( )E2A.925B.C

11、.D.斜面的位移最小，那么飛行時(shí)間t為(重力加速度為要小球到達(dá)斜面的位移最小,那么要求落點(diǎn)與拋出點(diǎn)的連線解得t 2vo cot所以正確的選項(xiàng)為Dog溫馨提示：小球落在斜面上時(shí)的動(dòng)能為Ek 1mv2-m(vl v：)2 2設(shè)斜面傾角為B,由圖1知Vy Vo tan ，由結(jié)論2得tan 2tan聯(lián)立解得Ek 1 mv2 (1 4tan2 )。即 旦 電 3，所示此題正確的選項(xiàng)2E2Ek02 5為Co點(diǎn)評(píng)：由此可以得出，物體自傾角為 9的固定斜面拋出，以不同初速度平拋的物體落在斜面上時(shí)的動(dòng)能與初動(dòng)能的關(guān)系式為Ek - mvO2(1 4tan2 )。可2見，以不同初速度平拋的物體落在斜面上各點(diǎn)的動(dòng)能與

12、初速度的平方成正比或與初動(dòng)能成正比。物體做平拋遇到斜面時(shí)的最值問(wèn)題例3.如圖11所示，小球以Vo正對(duì)傾角為9的斜面水平拋出，假設(shè)小球到達(dá)A. tv0 tangB. tC. tv0 cotgD.t2v0 tan2v0 cot解析：如下圖,與斜面垂直，所以有tan x，而x vot， yy點(diǎn)評(píng)：注意此題中物體做平拋運(yùn)動(dòng)的位移偏向角與斜面的傾角互余。要深刻理解處理平拋運(yùn)動(dòng)的方法，學(xué)會(huì)靈活的遷移和應(yīng)用例4.在傾角為的斜面上以初速度V。平拋一物體，那么物體離斜面的最大距離是多少?解析：方法一：如圖13所示，速度方向平行于斜面時(shí)，離斜面最遠(yuǎn),由速度矢量三角形關(guān)系得tanV。gtV。此時(shí)橫坐標(biāo)為x v0tv

13、0 tang平拋運(yùn)動(dòng)任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度方向的反向延長(zhǎng)線, 通過(guò)此時(shí)水平位移x的中點(diǎn)見圖13所示即x 由幾何關(guān)系得：2丄.1 v。tan sinHxsi n2 2g方法二：建立如圖14所示坐標(biāo)系，正交分解得v0xv0 cos； VoyVo sin7ax gsin ； ay geos7的勻加速運(yùn)動(dòng)和沿把運(yùn)動(dòng)看成是沿x方向初速度為Vo eos，加速度為gsiny方向的初速度為Vo sin ，加速度為 g eos的勻減速運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。最遠(yuǎn)處Vy 0，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得2H o (Vo sin )2g eosv2 tan sin2g點(diǎn)評(píng)：此題考查了處理曲線運(yùn)動(dòng)的方法一“化曲為直，考查了平拋運(yùn)動(dòng)分解的非惟一性

14、，即平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向和豎直方向， 也可以分解為沿斜 面方向和垂直于斜面方向，考查學(xué)生的靈活處理物理問(wèn)題的能力。跟蹤訓(xùn)練：7. 如圖15所示，從傾角B的斜面上的M點(diǎn)水平拋出一個(gè)小球，小球的初速度為Vo，最后小球落在斜面上的 N點(diǎn)，在B和Vo的條件下重力加速度g，空氣阻力不計(jì)，那么A.可求出M N之間的距離B. 可求出小球落到N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能C. 可求出小球落到N點(diǎn)時(shí)的速度的大小和方向D. 可求出小球從M點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)的過(guò)程中離斜面的距離最大時(shí)的時(shí)間溫馨提示：由結(jié)論1可知選項(xiàng)AC正確，由于不知道小球的質(zhì)量或初動(dòng)能,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤。由速度矢量三角形關(guān)系得tan匕型，可求出小球從M點(diǎn)VoVo到達(dá)N點(diǎn)

15、的過(guò)程中離斜面的距離最大時(shí)的時(shí)間t Vo tan 。所以此題正確的選項(xiàng) g為ACD三.平拋運(yùn)動(dòng)與斜面上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的組合例5. 2007 寧夏傾斜雪道的長(zhǎng)為25 m,頂端高為15 m,下端經(jīng)過(guò)一小S16段圓弧過(guò)渡后與很長(zhǎng)的水平雪道相接，如圖16所示。-滑雪運(yùn)發(fā)動(dòng)在傾斜雪道的頂端以水平速度 vo= 8 m/s飛出在落到傾斜雪道上時(shí)，運(yùn)發(fā)動(dòng)靠改變姿勢(shì)進(jìn)行緩沖使自己 只保存沿斜面的分速度而不彈起。除緩沖外運(yùn)發(fā)動(dòng)可視為質(zhì)點(diǎn)，過(guò)渡軌道光滑，其長(zhǎng)度可忽略。設(shè)滑雪板與雪道的動(dòng)摩擦因數(shù)卩二0.2，求運(yùn)發(fā)動(dòng)在水平雪道上滑行的距離取g= 10 m/s2解析：建立如圖17所示坐標(biāo)系，斜面的方程為:y xta n

16、 3x 4運(yùn)發(fā)動(dòng)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)x v0t1 2y -gt2聯(lián)立式，得飛行時(shí)間：t2Vo tan 1.2 sg落點(diǎn)的x坐標(biāo)：x 2vo tan 9.6mg接觸斜面前的x分速度：vx 8 m/sy 分速度：Vy gt 12 m/s落點(diǎn)離斜面頂端的距離：sx 12 mcos落點(diǎn)距地面的高度：h| L sjsin7.8 m沿斜面的速度大小為：Vb VxCOSVy sin13.6 m/s設(shè)運(yùn)發(fā)動(dòng)在水平雪道上運(yùn)動(dòng)的距離為 S2,由功能關(guān)系得:mghmgcos (L S|)mgq解得：S2= 74.8 m點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題以平拋運(yùn)動(dòng)和斜面模型為載體， 考查運(yùn)動(dòng)的合成與分解和功 能關(guān)系。要求考生靈活的建立坐標(biāo)系

17、并根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行速度的分解； 應(yīng)用功能 關(guān)系時(shí)要選擇恰當(dāng)?shù)奈锢磉^(guò)程，明確各個(gè)力做的功和能量的轉(zhuǎn)化。跟蹤訓(xùn)練：8. 如圖18所示，一小球以初速度v03m/s從高為H=21.6m的平臺(tái)上水平拋出，恰好落在臨近平臺(tái)的一傾角為a =53°的光滑斜面頂端，并剛好沿斜面下滑，g=10m/s；sin53 °=0.8,cos53 °=0.6,那么(1) 斜面頂端與平臺(tái)邊緣的水平距離 x是多大?端？(2) 小球離開平臺(tái)后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間t到達(dá)斜面底溫馨提示：(1)由題意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑， 說(shuō)明此時(shí)小球速度方向與斜面平行，否那么小球會(huì)彈起，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有Vy = v ota n53Vy = gt 1代入數(shù)據(jù)得ti = 0.4s由 x =v°t1 = 3X 0.4m=1.2m1(2)由 h1- gt；，得 h1=0.8m2由幾何關(guān)系得斜面的高度為h2 H h1 20.8m小球在斜面上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的初速度為v1 忌5m/s設(shè)小球在斜面運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2，到達(dá)斜面底端時(shí)的速度大小為 V2由機(jī)械能守恒得 丄mv： mgH - mvf2 2由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得 叫也立t2sin 532代入數(shù)據(jù)解得V2=21m/s，t2=2s所以 t t1 t22.4 sL四物體在斜面上做類平拋運(yùn)動(dòng)例6.如圖19所示，將質(zhì)量為m的小球從傾角為9