高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品：函數(shù)模型應(yīng)用高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共講全部免費(fèi)歡迎下載

1、第 7 講 函 數(shù) 模 型 應(yīng) 用備注：【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講全部免費(fèi)歡送下載】一. 【課標(biāo)要求】1利用計(jì)算工具，比擬指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)增長(zhǎng)差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線(xiàn) 上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義；2.收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函 數(shù)等)的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。二. 【命題走向】函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，高考對(duì)應(yīng)用題的考察即考小題又考大題， 而且分值呈上升 的趨勢(shì)。高考中重視對(duì)環(huán)境保護(hù)及數(shù)學(xué)課外的的綜合性應(yīng)用題等的考察。出于“立意和創(chuàng) 設(shè)情景的需要，函數(shù)試題設(shè)置問(wèn)題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考

2、察，加大函 數(shù)應(yīng)用題、探索題、開(kāi)放題和信息題的考察力度，從而使高考考題顯得新穎、生動(dòng)和靈活。預(yù)測(cè)2021年的高考，將再現(xiàn)其獨(dú)特的考察作用，而函數(shù)類(lèi)應(yīng)用題，是考察的重點(diǎn)，因 而要認(rèn)真準(zhǔn)備應(yīng)用題型、探索型和綜合題型，加大訓(xùn)練力度，重視關(guān)于函數(shù)的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題， 學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)和方法尋求規(guī)律找出解題策略。(1) 題型多以大題出現(xiàn)，以實(shí)際問(wèn)題為背景，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，解釋問(wèn)題；(2) 題目涉及的函數(shù)多以根本初等函數(shù)為載體，通過(guò)它們的性質(zhì)(單調(diào)性、極值和最 值等)來(lái)解釋生活現(xiàn)象，主要涉計(jì)經(jīng)濟(jì)、環(huán)保、能源、健康等社會(huì)現(xiàn)象 三. 【要點(diǎn)精講】1解決實(shí)際問(wèn)題的解題過(guò)程(1) 對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象概括：研究實(shí)際問(wèn)

3、題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的 主、被動(dòng)關(guān)系，并用x、y分別表示問(wèn)題中的變量；(2) 建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型 一般都是函數(shù)的解析式；(3) 求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函 數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并復(fù)原為實(shí)際問(wèn)題的解 這些步驟用框圖表示：實(shí)際問(wèn)題抽象概 亠函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)著重培養(yǎng)下面一些能力(1)閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過(guò)分析、畫(huà) 據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將 數(shù)，建立函數(shù)的模型的過(guò)程主要是抓住某些量之間的相竺2.解決函數(shù)(2)建立函函數(shù)模型運(yùn)函、列表、歸類(lèi)等方

4、法，快速弄清數(shù) 數(shù) 性.問(wèn)題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函 等關(guān)系列出函數(shù)式， 函數(shù)模型的解注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；(3)求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大(小)值, 計(jì)算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用-四.【典例解析】題型1:正比例、反比例和一次函數(shù)型例(1) (2021山東卷理)(本小題總分值12分)兩縣城A和B相距20km,現(xiàn)方案在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為xkm,建在C處的垃圾處理廠對(duì)城 A 和城B的總影響度

5、為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查說(shuō)明：垃圾處理廠對(duì)城 A的影響度與所選地點(diǎn)到城 A的 距離的平方成反比，比例系數(shù)為 4;對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反 比，比例系數(shù)為k,當(dāng)垃圾處理廠建在""的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為.(1)將y表示成x的函數(shù);(11)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧 廠對(duì)城A和城B的總影響度最??？假設(shè)存在，上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理 求出該點(diǎn)到城A的距離;假設(shè)不存在，說(shuō)明理由。8(400 x2)2,即160,即 x4 10 ,當(dāng) 0 x 4.10 時(shí)，18x4x2)2,所以 x2418x8(400y' 0所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)x

6、 20 時(shí)，18x4 8(400 x2)2,即 y'0所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)x 4.10時(shí)，即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí)，函數(shù)y -29 (0 x 20)有最小值.x 400 x解法二：(1)同上.(2)設(shè) m x2,n 400 x2,那么 m n 400, y - 9,所以 m n4949 m n 14n9m 114n9my()13 ()(13 12) 當(dāng)且僅當(dāng)即mnmn 400400mn40016m nn 240時(shí)取=.m 160下面證明函數(shù)y -9 在(0,160)上為減函數(shù)，在(160,400)上為增函數(shù).m 400 m設(shè) 0<m<m<160,貝U % y2

7、 9 (9)葉 400 葉m2 400 m2(m2 m1) 口應(yīng) (400 m1)(400 m2)/、4(400 m, )(400 m2) 9m1m2(m2 mJmim2(400mi)(400 m2)因?yàn)?0<m<mv160,所以 4(400 m1 )(400m2) >4X 240X 2409 m1m<9X 160X 160 所以 4(400 訕400m2) 9m1m2m1m2(400 m1)(400 m2)0,所以(m2 m1)4(400 m1 )(400 m2) 9m1m2m1 m2 (400 m, )(400 m2)0即y1y2函數(shù)y9一 在(0,160)上m 4

8、00 m為減函數(shù).同理，函數(shù)y-9一 在(160,400)上為增函數(shù)，設(shè) 160vm<mv400,那么m 400 m400 m1m24(400 m1 )(400 m2) 9口和2)(m2 m1)m2m1m2 (400 g )(400 mJ因?yàn)?1600<m<mv400,所以 4(400m1)(400m2) <4X 240X 240,9mrm>9X 160X 160所以0,4(400 m1 )(400 m2) 9m1m2m1m2(400 mj(400 m2)所以(m2 m1)4(400 m1)(400 m2) 9m1m20 即 y y2 函數(shù) y 土在(160,40

9、0)m1 m2 (400 m )(400 m2)m 400 m上為增函數(shù).所以當(dāng)m=160即x 4.10時(shí)取=,函數(shù)y有最小值,所以弧丁上存在一點(diǎn)，當(dāng)X 4.10時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城 A和城B的總影響度 最小.【命題立意】：此題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式 的能力和運(yùn)用換元法和根本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題.(2).某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬(wàn)公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進(jìn)行 了連續(xù)5年的觀測(cè)，并將每年年底的觀測(cè)結(jié)果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進(jìn)行預(yù)測(cè)：(1) 如果不采取任何措施，那么到 2021年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌?/p>

10、萬(wàn)公頃；(2) 如果從2000年底后采取植樹(shù)造林等措施，每年改造萬(wàn)公頃沙漠，那么到哪一年年底該 地區(qū)沙漠面積減少到90萬(wàn)公頃？觀測(cè)時(shí)間1996 年1997 年1998 年1999 年2000 年底底底底底該地區(qū)沙漠比原有面 積增加數(shù)(萬(wàn)公頃)解析：(1)由表觀察知，沙漠面積增加數(shù) y與年份數(shù)x之間的關(guān)系圖象近似地為一次函數(shù)y=kx+b的圖象.將 x=i，丫=與 x=2，y=，代入 y=kx+b，求得 k=，b=0,所以 y= (x N)。因?yàn)樵猩衬娣e為95萬(wàn)公頃，那么到2021年底沙漠面積大約為95+X 15=98 (萬(wàn)公頃)。(2)設(shè)從1996年算起，第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到 9

11、0萬(wàn)公頃，由題意得95+ (x 5)=90，解得x=20 (年)。故到2021年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到 90萬(wàn)公頃。點(diǎn)評(píng)：初中我們學(xué)習(xí)過(guò)的正比例、反比例和一元一次函數(shù)的定義和根本性質(zhì)，我們要牢 固掌握。特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例、“成反比例等條件要應(yīng)用好例2. (2021湖南卷理)(本小題總分值13分)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的 橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2 . x)x萬(wàn)元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因 素，記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元。(I) 試寫(xiě)

12、出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(U)當(dāng)m=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最?。拷?I)設(shè)需要新建n個(gè)橋墩，(n 1)x m,即n=m 1x所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+- x)x=256( m -1)+ m (2 . x)xx x33256 m 1m(U)由(I)知，f'(x)2mx22 (x2 512).x22x3令 f'(x)0，得 x2512，所以 x=64當(dāng)0<x<64時(shí)f'(x)<0，f (x)在區(qū)間(0，64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64 x 640時(shí)，f'(x)>0. f(x)在區(qū)間(64，640)內(nèi)為增函數(shù)，所以f

13、(x)在x=64處取得最小值，此時(shí)，n - 1 -640 1 9.x 64故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小-題型2:二次函數(shù)型例3.輛中型客車(chē)的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y (單位：萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x (x N)的變化關(guān)系如 表所示，那么客車(chē)的運(yùn)輸年數(shù)為()時(shí)該客車(chē)的年平均利潤(rùn)最大(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7x年468y ax2 bx c (萬(wàn)元)7117解析：表中已給出了二次函數(shù)模型y ax2 bx c由表中數(shù)據(jù)知，二次函數(shù)的圖象上存在三點(diǎn)(4, 7),( 6, 11),( 8, 7),那么27 a 4 b 4 c,11 a 62 b 6 c,27 a 8 b 8 c.。解得 a= 1, b=

14、12, c=-25 ,2即 y x 12x 25 025x 一而取“二的條件為x ,即x=5,應(yīng)選(B)o點(diǎn)評(píng)：一元二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中最重要的一個(gè)模型，解決此類(lèi)問(wèn)題要充分利用二 次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)，解決好實(shí)際問(wèn)題。例4.( 2021福州八中)某造船公司年造船量是 20艘，造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3700x+45x2-10x3 (單位：萬(wàn)元)，本錢(qián)函數(shù)為 C(x)=460x+5000 (單位：萬(wàn)元)， 又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x) o(I)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x);(提示：利潤(rùn)=產(chǎn)值本錢(qián))(U)問(wèn)年造船量安排

15、多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大？(川)求邊際利潤(rùn)函數(shù) MP(x)單調(diào)遞減時(shí)x的取值范圍，并說(shuō)明單調(diào)遞減在此題中的實(shí)際意 義是什么？32*解(I) P(x)=R(x)-C(x)=-10x+45x+3240x-5000,(x N,且 K x < 20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3275, (x N,且 1<x< 19)(H) P(x) 30x2 90x 3240 30(x 12)(x 9).當(dāng) 0v XV 12 時(shí) P(x)>0,當(dāng) x v 12 時(shí)，P(x)v 0. x=12, P (x)有最大值.即年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船

16、的年利潤(rùn)最大. (m)v MP(x) =-30x2+60x+3275=-30(x-1) 2+3305,所以，當(dāng)x> 1時(shí)，MP(x)單調(diào)遞減，x的取值范圍為1,19，且x 2MP(x)是減函數(shù)的實(shí)際意義：隨著產(chǎn)量的增加，每艘船的利潤(rùn)在減少.例5.( 2021湖南理21.)函數(shù)f(x) -x4 x3 9 x2 cx有三個(gè)極值點(diǎn)-42(I )證明：27 c 5;(II )假設(shè)存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)f (x)在區(qū)間a,a 2上單調(diào)遞減，求a的取值范圍解：(I )因?yàn)楹瘮?shù)f(x) 1 x4 x3 9 x2 cx有三個(gè)極值點(diǎn)，42所以f (x) x3 3x2 9x c 0有三個(gè)互異的實(shí)根.設(shè) g(x)

17、 x 3x 9x c,那么 g (x) 3x 6x 93(x 3)(x 1),當(dāng)x 3時(shí)，g (x)0, g(x)在(，3)上為增函數(shù)；當(dāng)3 x 1時(shí)，g (x) 0, g(x)在(3,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x 1時(shí)，g (x) 0, g(x)在(1,)上為增函數(shù)；所以函數(shù)g(x)在x 3時(shí)取極大值，在x 1時(shí)取極小值當(dāng)g( 3)0或g0時(shí)，g(x) 0最多只有兩個(gè)不同實(shí)根.因?yàn)間(x) 0有三個(gè)不同實(shí)根，所以g( 3) 0且g(1) 0.即 27 27 27 c 0,且 1 3 9 c 0,解得c 27,且c 5,故27 c 5.(II )由(1)的證明可知，當(dāng) 27 c 5時(shí)，f(x)有三個(gè)極

18、值點(diǎn).不妨設(shè)為x1，x2,X3(X1X2X3)，貝U f (x) (xxj(xX2)(XX3).所以f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，x1, x2,x3假設(shè)f(x)在區(qū)間a,a 2上單調(diào)遞減，貝U a,a 2(，xj,或 a,a 2 鳧必,假設(shè) a,a 2(，x1,那么 a 2 x1.由(I )知，x13,于是 a 5.假設(shè) a, a 2x2,x3,那么 a x2 且 a 2 x3.由I 知，3 x2 1.又 f (x) x3 3x2 9x c,當(dāng) c 27時(shí)，f (x) (x 3)(x 3)2;當(dāng) c 5 時(shí)，f (x) (x 5)(x 1)2.因此，當(dāng)27 c 5時(shí)，1 X3 3.所以a3,且

19、 a 2 3.即3 a 1.故a 5,或3 a 1.反之,當(dāng)a 5,或3 a 1時(shí)，總可找到c ( 27,5),使函數(shù)f (x)在區(qū)間a,a 2上單調(diào)遞減.綜上所述,a的取值范圍是(，5)U( 3,1).題型3:分段函數(shù)型例6.( 2021福建省)某企業(yè)原有員工 2000人，每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利潤(rùn)萬(wàn)元.為應(yīng)對(duì)國(guó) 際金融危機(jī)給企業(yè)帶來(lái)的不利影響，該企業(yè)實(shí)施“優(yōu)化重組，分流增效的策略，分流出一部 分員工待崗.為維護(hù)生產(chǎn)穩(wěn)定，該企業(yè)決定待崗人數(shù)不超過(guò)原有員工的5% ,并且每年給每位待崗員工發(fā)放生活補(bǔ)貼萬(wàn)元.據(jù)評(píng)估,當(dāng)待崗員工人數(shù)x不超過(guò)原有員工1%時(shí),留崗員工每 人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤(rùn)(1-旦)萬(wàn)元

20、；當(dāng)待崗員工人數(shù)x超過(guò)原有員工1%時(shí),留崗員工 100x每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤(rùn)萬(wàn)元.為使企業(yè)年利潤(rùn)最大，應(yīng)安排多少員工待崗？解設(shè)重組后，該企業(yè)年利潤(rùn)為y萬(wàn)元. 2000X 1%=20,二當(dāng) 0<xW20 且 x N 時(shí)，81324y=(2000-x)+1-)=-5(x+ 324)+.100xx x< 2000X 5% x< 100, A 當(dāng) 20<x< 100 且 x N 時(shí)，y=(2000-x)+=+8919.5(x 竺)9000.81, (0 x 20且x N),-yx4.9595x 8919,(20 x 100且 x N).當(dāng)0<xW 20時(shí),有y=

21、-5(x+ 324)+ < -5 X 2 324 +=,x當(dāng)且僅當(dāng)x=324,即x=18時(shí)取等號(hào)，此時(shí)y取得最大值.x當(dāng)20<xW 100時(shí)，函數(shù)y=+8919為減函數(shù),所以 y<X 20+8919=.綜上所述x=18時(shí),y有最大值萬(wàn)元.即要使企業(yè)年利潤(rùn)最大，應(yīng)安排18名員工待崗.例 7.( 2021 廣東，17)(本小題總分值12分)某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，方案在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x> 10)層，那么每平方米的平均建筑費(fèi)用為 560+4& (單位：元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，

22、該樓房應(yīng)建為多少層？ (注：平均綜合費(fèi)用二平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用二 購(gòu)地總費(fèi)用)建筑總面積【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為 f (x)元，那么,令 f x 0 得 x 1515層。r “ 10800f x 48x當(dāng) x 15 時(shí)，f x 0 ;當(dāng) 0 x 15 時(shí)，f因此當(dāng)x 15時(shí)，f (x)取最小值f 152000;答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為點(diǎn)評(píng)：此題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大 值的問(wèn)題.考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.題型4:三角函數(shù)型例8某港口水的深度y(m)是時(shí)間t (0<t <24,單位：h) 的函數(shù)，

23、記作y=f(t)。下面是某日水深的數(shù)據(jù)：t/h03691215182124y/m經(jīng)長(zhǎng)期觀察，y=f(t)的曲線(xiàn)可以近似地看成函數(shù)y=Asint+b的圖象。(1)試根據(jù)以 上數(shù)據(jù)求出函數(shù)y=f(t)的近似表達(dá)式；(2) 一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離 為5m或 5m以上時(shí)認(rèn)為是平安的(船舶?？繒r(shí)，船底只需不碰海底即可)。某船吃水深度(船 底離水面的距離)為，如果該船希望在同一天內(nèi)平安進(jìn)出港，請(qǐng)問(wèn)，它最多能在港內(nèi)停留多 少時(shí)間(忽進(jìn)出港所需的時(shí)間)？2 _126，b=10,解析：題中直接給出了具體的數(shù)學(xué)模型，因此可直接采用表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行解答A 33(1)由表中數(shù)據(jù)易得2 ，周期T=12,

24、所以 y 3Siin 6 t 10 o(2) 由題意，該船進(jìn)出港時(shí)，水深應(yīng)不小于5+=( m ,所以3Sin 6t1011.556 ,(k Z)osi n t化為 62kt 2k應(yīng)有 66解得 12k+1w t < 12k+5在同一天內(nèi)取k=0或1,所以 Kt <5 或 13<t < 17,所以該船最早能在凌晨1時(shí)進(jìn)港，最晚在下午17時(shí)出港，在港口內(nèi)最多停留16個(gè)小時(shí) 點(diǎn)評(píng)：三角型函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要以三角函數(shù)的性質(zhì)為先，通過(guò)其單調(diào)性、周期性等性 質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。特別是與物理知識(shí)中的電壓、電流、簡(jiǎn)諧振動(dòng)等知識(shí)結(jié)合到到一塊來(lái)出題， 為此我們要對(duì)這些物理模型做到深入了解題型5

25、:不等式型0.1 15l n-,(x6)例9.( 2021年上海卷理)有時(shí)可用函數(shù)f (x)a xx 4.4 (,(x 6)x 4描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(x N ) ， f(x)表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù) a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)。(1) 證明當(dāng)x 7時(shí)，掌握程度的增加量f(x 1) f (x)總是下降；(2) 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為0.4(x 3)(x 4)(115,121, (121,127, (121,133。當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科。證明(1)當(dāng) x 7時(shí)，f (x 1) f (x)而當(dāng)x

26、7時(shí)，函數(shù)y (x 3)(x 4)單調(diào)遞增，且(x 3)(x 4) >0.3分 故f (x 1) f (x)單調(diào)遞減當(dāng)x 7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f(x 1) f (x)總是下降 .6分(2)由題意可知+15l n Ja 6.9分0.05 解得a-005-e.13分e0.05-620.50 6123.0,123.0(121,1271由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科 .14分例10.( 2021湖北，文、理19)(本不題總分值12分)如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部 分)，這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬

27、度 為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最??？解法1:設(shè)矩形欄目的高為acm,寬為bcm,那么ab=9000.廣告的高為a+20，寬為2b+25,其中a>0, b>0.廣告的面積S= (a+20)(2 b+25)=2ab+40b+25a+500= 18500+25a+40b> 18500+2、25a ?40b =18500+ 1000ab24500.當(dāng)且僅當(dāng)25a= 40b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)b=5a ,代入式得a=120,從而b=75.8即當(dāng)a=120，b=75時(shí),S取得最小值24500.故廣告的高為140cm,寬為175cm時(shí)，可使廣告的面積最

28、小.解法2：設(shè)廣告的高為寬分別為xcm ycm那么每欄的高和寬分別為x20，口5,其中x>220，y>25兩欄面積之和為2(x 20) y 2518000,由此得y=l800025,2x 201800018000廠告的面積S=xy=x(25) =25x,x 20x 20整理得 S=36000025(x 20) 18500.x 20因?yàn)?x 20>0,所以 S>2 360000 25(x 20)1850024500.x 20當(dāng)且僅當(dāng)36000025(x 20)時(shí)等號(hào)成立，x 2018000 此時(shí)有(x 20)2 = 14400(x>20)，解得 x=140,代入 丫

29、二+鳥(niǎo)厶,得 y = 175，x 20即當(dāng)x=140, y = 175時(shí)，S取得最小值24500,故當(dāng)廣告的高為140cm寬為175cm時(shí)，可使廣告的面積最小.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。以及函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式證明的根本方法。題型6:指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)例11 有一個(gè)湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量?，F(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合r用g(t) p g(0)衛(wèi)evlp 0)，表示某一時(shí)刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)(我們r(jià)r稱(chēng)其湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù))，g(0)表示湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)。(1) 當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)

30、時(shí)，求湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；(2) 分析g(0)衛(wèi)時(shí)，湖水的污染程度如何。r解析：(1)設(shè) 0 t1 t2 ,因?yàn)?g(t)為常數(shù)，g(tj g(t2)，即g(0) -eItv2e v 0，那么 g(0)-；r(2)設(shè) 0t1 t2，=g(o)-rtrtJ2 J1 e ert1 12ev因?yàn)?g(0)-0， 0 t1 t2， g(tj g(t2)。r污染越來(lái)越嚴(yán)重。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實(shí)際問(wèn)題。我們要掌握底數(shù)0 a 1,a 1兩種基本情況下函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和值域的差異，它能幫我們解釋具體問(wèn)題。譬如向題目 中出現(xiàn)的“污染越來(lái)越嚴(yán)重還是“污染越來(lái)越輕即由1個(gè)細(xì)胞例12 現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè)，其中有占總數(shù)1的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，2分裂成2個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律開(kāi)展下去,經(jīng)過(guò)多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過(guò)io10個(gè)？(參考數(shù)據(jù)：lg3 0.477,lg 20.301).可見(jiàn)，細(xì)胞總數(shù)y與時(shí)間x (小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為:y 100由100 21010，得8108，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù),得