第05章漩理論

1、1第五章 第五章：旋渦理論第五章：旋渦理論( (vortex theory) )本章僅討論旋渦運(yùn)動(dòng)，不涉及力，屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)容。本章僅討論旋渦運(yùn)動(dòng)，不涉及力，屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)容。 旋渦場(chǎng)的特性不同于一般流場(chǎng)，需要專門進(jìn)行研究旋渦場(chǎng)的特性不同于一般流場(chǎng)，需要專門進(jìn)行研究存在旋渦運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)存在旋渦運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)旋渦場(chǎng)旋渦場(chǎng): :0即流場(chǎng)中即流場(chǎng)中課堂提問：為什么處于龍卷風(fēng)中心會(huì)是風(fēng)平浪靜？課堂提問：為什么處于龍卷風(fēng)中心會(huì)是風(fēng)平浪靜？ 為什么游泳時(shí)應(yīng)避開旋渦區(qū)？為什么游泳時(shí)應(yīng)避開旋渦區(qū)？ 21.1.漩渦場(chǎng)的基本概念（渦線，渦管，漩渦強(qiáng)漩渦場(chǎng)的基本概念（渦線，渦管，漩渦強(qiáng) 度速度環(huán)量）度速度環(huán)量）2.2.斯托克斯定

2、理斯托克斯定理3.3.湯姆遜定理湯姆遜定理4.4.海姆霍茲定理海姆霍茲定理5.5.畢奧沙伐爾定理畢奧沙伐爾定理6.6.蘭金組合渦蘭金組合渦 本章討論內(nèi)容：本章討論內(nèi)容：3 一般，整個(gè)流場(chǎng)中某些區(qū)域?yàn)樾郎u區(qū)，其余一般，整個(gè)流場(chǎng)中某些區(qū)域?yàn)樾郎u區(qū)，其余的地方則為無旋區(qū)域。的地方則為無旋區(qū)域。 自然界中如龍卷風(fēng)自然界中如龍卷風(fēng), ,橋墩后面規(guī)則的雙排渦橋墩后面規(guī)則的雙排渦列等等是經(jīng)常能觀察到的旋渦運(yùn)動(dòng)的例子。但列等等是經(jīng)常能觀察到的旋渦運(yùn)動(dòng)的例子。但在大多數(shù)情況下流動(dòng)中的旋渦肉眼難于察覺。在大多數(shù)情況下流動(dòng)中的旋渦肉眼難于察覺。有旋運(yùn)動(dòng)：有旋運(yùn)動(dòng)：x x,y y,z z在流場(chǎng)中不全為零的流動(dòng)在流場(chǎng)中

3、不全為零的流動(dòng)5-1旋渦運(yùn)動(dòng)的基本概念旋渦運(yùn)動(dòng)的基本概念4龍卷風(fēng)龍卷風(fēng)1 15龍卷風(fēng)龍卷風(fēng)2 26海上漩渦海上漩渦7海上漩渦海上漩渦8飛機(jī)漩渦飛機(jī)漩渦9氣旋氣旋10氣旋氣旋11氣旋氣旋12園盤繞流尾流場(chǎng)中的旋渦園盤繞流尾流場(chǎng)中的旋渦園盤形阻園盤形阻13園球繞流尾流場(chǎng)中的旋渦園球繞流尾流場(chǎng)中的旋渦圓球形阻圓球形阻14園柱繞流尾流場(chǎng)中的旋渦園柱繞流尾流場(chǎng)中的旋渦圓圓柱柱繞繞流流（交交替替渦）渦）15有攻角機(jī)翼繞流尾流場(chǎng)中的旋渦有攻角機(jī)翼繞流尾流場(chǎng)中的旋渦機(jī)機(jī)翼翼失失速速(有有攻攻角角)16彎曲槽道內(nèi)的二次流彎曲槽道內(nèi)的二次流彎彎管管二二次次流流17 流體流過固體壁面時(shí)，除壁面附近粘性影響嚴(yán)流體流過

4、固體壁面時(shí)，除壁面附近粘性影響嚴(yán)重的一薄層外，其余區(qū)域的流動(dòng)可視為理想流體重的一薄層外，其余區(qū)域的流動(dòng)可視為理想流體的無旋運(yùn)動(dòng)。的無旋運(yùn)動(dòng)。 旋渦運(yùn)動(dòng)理論廣泛地應(yīng)用于工程實(shí)際旋渦運(yùn)動(dòng)理論廣泛地應(yīng)用于工程實(shí)際: 機(jī)翼、機(jī)翼、螺旋槳理論等。旋渦與船體的阻力、振動(dòng)、噪螺旋槳理論等。旋渦與船體的阻力、振動(dòng)、噪聲等問題密切相關(guān)。聲等問題密切相關(guān)。與壓力差、質(zhì)量力和粘性力等與壓力差、質(zhì)量力和粘性力等因素有關(guān)。因素有關(guān)。旋渦的產(chǎn)生：旋渦的產(chǎn)生：18旋渦場(chǎng)的幾個(gè)基本概念：旋渦場(chǎng)的幾個(gè)基本概念： 渦線上所有流體質(zhì)點(diǎn)在渦線上所有流體質(zhì)點(diǎn)在同瞬時(shí)的旋轉(zhuǎn)角速度矢量同瞬時(shí)的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與此線相切。與此線相切。渦線渦線

5、(vortex line)(vortex line)：一、渦線一、渦線, ,渦管渦管, ,旋渦強(qiáng)度旋渦強(qiáng)度渦線微分方程：渦線微分方程：dsdxidyjdzk取渦線上一段微弧長(zhǎng)取渦線上一段微弧長(zhǎng)xyzijk該處的旋轉(zhuǎn)角速度該處的旋轉(zhuǎn)角速度123ds19 由渦線的定義（渦矢量與渦線相切：由渦線的定義（渦矢量與渦線相切：叉積為零叉積為零），得渦線微分方程式：），得渦線微分方程式：( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzx y z tx y z tx y z t(5-1)(5-1) 若已知若已知 ，積分上式可得渦線。積分上式可得渦線。與流線的積分一樣，將與流線的積分一樣

6、，將看成參數(shù)?？闯蓞?shù)。取定取定值就得到該瞬時(shí)的渦線。值就得到該瞬時(shí)的渦線。,xyz 20渦管渦管渦管渦管（ vortex tube vortex tube ）：）： 在旋渦場(chǎng)中任取一微小封閉曲線在旋渦場(chǎng)中任取一微小封閉曲線c c（不是（不是渦線），過渦線），過c c上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成的管狀曲面稱渦管。的管狀曲面稱渦管。 渦管中充滿著作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的渦管中充滿著作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體，稱為流體，稱為渦束渦束。截面積為無。截面積為無限小的渦束稱為限小的渦束稱為渦索（渦絲）渦索（渦絲）。渦絲渦絲（vortex filamentvortex filament）：）：21龍

7、卷風(fēng)龍卷風(fēng)- -渦線渦線渦線渦線22則則 d dn nd=2d=2n nd d (5-2)為為dd上的上的旋渦強(qiáng)度旋渦強(qiáng)度- -渦通量渦通量若若是渦管的截面，則稱為是渦管的截面，則稱為渦管強(qiáng)度渦管強(qiáng)度, ,或渦通量或渦通量。問題：式問題：式（5-35-3）與前面學(xué)過的什么公式類似？）與前面學(xué)過的什么公式類似？任取微分面積任取微分面積dd， 法線分量為法線分量為沿沿面積分得旋渦強(qiáng)度：面積分得旋渦強(qiáng)度：表征流場(chǎng)中旋渦強(qiáng)弱和分布面積大小的物理量表征流場(chǎng)中旋渦強(qiáng)弱和分布面積大小的物理量nd dnj(5-3)23二、速度環(huán)量二、速度環(huán)量二、速度環(huán)量（二、速度環(huán)量（velocity circulation

8、velocity circulation）某瞬時(shí)在流場(chǎng)中任取曲線某瞬時(shí)在流場(chǎng)中任取曲線abab ：速度矢在積分路徑方向的分量沿該：速度矢在積分路徑方向的分量沿該 路徑的線積分。路徑的線積分。速度環(huán)量速度環(huán)量定義定義sababv ds（5 54 4）sv:v在在 向的投影向的投影d svsvds微元弧微元弧dsa bbaabsdv24 速度環(huán)量是速度環(huán)量是標(biāo)量標(biāo)量，速度方向與積分，速度方向與積分abab曲線方曲線方向相同時(shí)（成銳角）為正向相同時(shí)（成銳角）為正, ,反之為負(fù)。反之為負(fù)。 線積分方向相反的速度環(huán)量相差一負(fù)號(hào)，即線積分方向相反的速度環(huán)量相差一負(fù)號(hào)，即ababbaba （5 55)5)速

9、度環(huán)量的其他表示形式：速度環(huán)量的其他表示形式：cos( ,)xyzababababv dsvv ds dsv dx v dy v dz25沿封閉周線沿封閉周線c c的速度環(huán)量的速度環(huán)量xyzcscccdxv dyv dzv dsvdsvc cdssvv26速度環(huán)量的計(jì)算速度環(huán)量的計(jì)算對(duì)于無旋流場(chǎng)對(duì)于無旋流場(chǎng):對(duì)于有旋場(chǎng)對(duì)于有旋場(chǎng):abxyzababbbaav dxv dyv dzdxdydzxyzd1) 1) 已知速度場(chǎng)，求沿一條開曲線的速度環(huán)量已知速度場(chǎng)，求沿一條開曲線的速度環(huán)量由公式由公式 計(jì)算計(jì)算abxyzababv dsvdx vdy vdz272. 2. 若已知速度場(chǎng)，求沿一條閉曲線

10、的速度環(huán)量若已知速度場(chǎng)，求沿一條閉曲線的速度環(huán)量對(duì)于無旋場(chǎng)對(duì)于無旋場(chǎng):對(duì)于有旋場(chǎng)對(duì)于有旋場(chǎng):0cxyzcccv dxv dyv dzdxdydzxyzd 2csncv dsd （5 51111）此式稱為斯托克斯定理此式稱為斯托克斯定理 28三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理沿任意閉曲線的速度環(huán)量等于沿任意閉曲線的速度環(huán)量等于該曲線為邊界的曲面內(nèi)的旋渦該曲線為邊界的曲面內(nèi)的旋渦強(qiáng)度強(qiáng)度, ,即即 cj2csncv dsd （5 51111）或或斯托克斯定理：斯托克斯定理：環(huán)量與旋渦強(qiáng)度通過線積分環(huán)量與旋渦強(qiáng)度通過線積分與面積分聯(lián)系起來了。與面積分聯(lián)系起來了。cndjn d29證證 明明: :略略上

11、述斯托克斯定理只適用于上述斯托克斯定理只適用于“單連通區(qū)域單連通區(qū)域” c c 所包圍的區(qū)域所包圍的區(qū)域內(nèi)全部是流內(nèi)全部是流體，沒有固體或空洞。體，沒有固體或空洞。單連通區(qū)域：?jiǎn)芜B通區(qū)域：2csncv dsd （5 51111）jn d30復(fù)連通域復(fù)連通域c c的內(nèi)部有空洞或者包的內(nèi)部有空洞或者包含其他的物體含其他的物體。復(fù)連通域復(fù)連通域( (多連通域多連通域) )：abab線將線將切開，則沿周線切開，則沿周線abbabb，a a，eaea前進(jìn)所圍的區(qū)域前進(jìn)所圍的區(qū)域?yàn)閱芜B通域。為單連通域。2abb a eand用斯托克斯定理有用斯托克斯定理有: :cc abdbaeaabcbal 區(qū)域在走向

12、的左側(cè)區(qū)域在走向的左側(cè)31c積分路線相反，抵消掉了。積分路線相反，抵消掉了。：沿外邊界逆時(shí)針的環(huán)量：沿外邊界逆時(shí)針的環(huán)量l l ：沿內(nèi)邊界順時(shí)針的環(huán)量：沿內(nèi)邊界順時(shí)針的環(huán)量abba 2clnd 最后有最后有(5-13)(5-13)這就是雙連通域的斯托克斯定理。這就是雙連通域的斯托克斯定理。32 反之，若沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于反之，若沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于零，可得處處零，可得處處為零的結(jié)論。為零的結(jié)論。單連域內(nèi)的無旋運(yùn)動(dòng)，流場(chǎng)中單連域內(nèi)的無旋運(yùn)動(dòng)，流場(chǎng)中處處處處 為為零零，則沿任意封閉周線的速度環(huán)量為零，則沿任意封閉周線的速度環(huán)量為零 但沿某閉周線的速度環(huán)量為零，并不一定無但沿某閉周

13、線的速度環(huán)量為零，并不一定無旋（可能包圍強(qiáng)度相同轉(zhuǎn)向相反的旋渦）。旋（可能包圍強(qiáng)度相同轉(zhuǎn)向相反的旋渦）。2200cndd 推論一推論一33推論二推論二 對(duì)于包含一固體在內(nèi)的雙連通域，若流對(duì)于包含一固體在內(nèi)的雙連通域，若流動(dòng)無旋，則沿包含固體在內(nèi)的任意兩動(dòng)無旋，則沿包含固體在內(nèi)的任意兩個(gè)封閉周線的環(huán)量彼此相等。個(gè)封閉周線的環(huán)量彼此相等。則則 有：有：2clnd 即即即即 (與積分路徑方向一致時(shí)與積分路徑方向一致時(shí))c34（3 3）正壓流體（流體密度僅為壓力的函數(shù)）正壓流體（流體密度僅為壓力的函數(shù)）假設(shè)：假設(shè)：（1）理想流體；）理想流體；（2）質(zhì)量力有勢(shì)；）質(zhì)量力有勢(shì)；沿流體質(zhì)點(diǎn)組成的任一封閉流體

14、沿流體質(zhì)點(diǎn)組成的任一封閉流體周線的速度環(huán)量周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間不隨時(shí)間而變而變. . 湯姆遜定理湯姆遜定理: :（5 51414）即即0ddt5-2 湯姆遜定理湯姆遜定理351)1)在理想正壓流體中在理想正壓流體中, ,速度環(huán)量和旋渦不生不速度環(huán)量和旋渦不生不滅。因?yàn)椴淮嬖谇邢驊?yīng)力，不能傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)滅。因?yàn)椴淮嬖谇邢驊?yīng)力，不能傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。動(dòng)。湯姆遜定理和斯托克斯定理說明：湯姆遜定理和斯托克斯定理說明： 2) 推論推論: 流場(chǎng)中原來有旋渦和速度環(huán)量的，永流場(chǎng)中原來有旋渦和速度環(huán)量的，永 遠(yuǎn)有旋渦并保持環(huán)量不變，原來沒有旋渦和遠(yuǎn)有旋渦并保持環(huán)量不變，原來沒有旋渦和 速度環(huán)量的速度環(huán)量的, 就永遠(yuǎn)

15、無旋渦和速度環(huán)量。就永遠(yuǎn)無旋渦和速度環(huán)量。 例如，從靜止開始的波浪運(yùn)動(dòng)，由于流例如，從靜止開始的波浪運(yùn)動(dòng)，由于流體靜止時(shí)是無旋的，因此產(chǎn)生波浪以后，波體靜止時(shí)是無旋的，因此產(chǎn)生波浪以后，波浪運(yùn)動(dòng)是無旋運(yùn)動(dòng)。浪運(yùn)動(dòng)是無旋運(yùn)動(dòng)。36注意注意: 貼近物體表面極薄一層要除外，由于粘性貼近物體表面極薄一層要除外，由于粘性的存在，這極薄一層為有旋運(yùn)動(dòng)。的存在，這極薄一層為有旋運(yùn)動(dòng)。 又如繞流物體的流動(dòng)，遠(yuǎn)前方流動(dòng)對(duì)物體又如繞流物體的流動(dòng)，遠(yuǎn)前方流動(dòng)對(duì)物體無擾動(dòng)，該處流動(dòng)無旋，接近物體時(shí)流動(dòng)不再無擾動(dòng)，該處流動(dòng)無旋，接近物體時(shí)流動(dòng)不再是均勻流，根據(jù)湯姆遜定理和斯托克斯定理，是均勻流，根據(jù)湯姆遜定理和斯托克斯

16、定理，流動(dòng)仍保持為無旋運(yùn)動(dòng)。流動(dòng)仍保持為無旋運(yùn)動(dòng)。37- 海姆霍茲定理海姆霍茲定理海姆霍茲第一定理海姆霍茲第一定理 渦管強(qiáng)度守恒定理渦管強(qiáng)度守恒定理（同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度都相同）（同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度都相同） 海姆霍茲第一定理海姆霍茲第一定理說明渦管各截面上的旋說明渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度都相同。渦強(qiáng)度都相同。若渦管很小，若渦管很小， 垂直于垂直于 d ，則上式可寫成，則上式可寫成d const.38結(jié)論：結(jié)論： 渦管不能在流體中以尖端形式終止或渦管不能在流體中以尖端形式終止或開始，否則開始，否則時(shí)有時(shí)有。不可能的情況constdn因?yàn)橐驗(yàn)闇u管存在的形式渦管存在的形式：要么終止：要么

17、終止于流體邊界或固體邊界，要于流體邊界或固體邊界，要么自行封閉形成渦環(huán)。么自行封閉形成渦環(huán)。39海姆霍茲第二定理海姆霍茲第二定理海姆霍茲第二定理海姆霍茲第二定理渦管保持定理渦管保持定理 正壓、理想流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下，正壓、理想流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)由相同的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。渦管永遠(yuǎn)由相同的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。證明：證明：渦管表面上取封閉流體周線渦管表面上取封閉流體周線c由斯托克斯定理知沿周線由斯托克斯定理知沿周線c c的的 =0=0= =j j( (渦通量渦通量) )渦管渦管由湯姆遜定理該速度環(huán)量永遠(yuǎn)為零由湯姆遜定理該速度環(huán)量永遠(yuǎn)為零即即c c所圍的區(qū)域永遠(yuǎn)沒有渦線通過。所圍的區(qū)域永遠(yuǎn)

18、沒有渦線通過。 即渦管永遠(yuǎn)由相同的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。即渦管永遠(yuǎn)由相同的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。但渦管的形狀和位置可能隨時(shí)間變化。但渦管的形狀和位置可能隨時(shí)間變化。40海姆霍茲第三定理海姆霍茲第三定理海姆霍茲第三定理海姆霍茲第三定理渦管旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變渦管旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變 正壓、理想流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下，渦管正壓、理想流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下，渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變。的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變。 由斯托克斯定理知由斯托克斯定理知繞渦管的速度環(huán)量等于渦繞渦管的速度環(huán)量等于渦管的旋渦強(qiáng)度管的旋渦強(qiáng)度，又湯姆遜定理知該，又湯姆遜定理知該速度環(huán)量不隨速度環(huán)量不隨時(shí)間變時(shí)間變，因而渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變

19、。，因而渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變。41海姆霍茲第一定理既適用于理想流體又適用于海姆霍茲第一定理既適用于理想流體又適用于粘性流體。粘性流體。海姆霍茲第二、三定理只適用于理想流體。海姆霍茲第二、三定理只適用于理想流體。因?yàn)榱黧w的粘性將導(dǎo)致剪切、速度等因?yàn)榱黧w的粘性將導(dǎo)致剪切、速度等參數(shù)脈動(dòng)以及能量耗散，旋渦強(qiáng)度將隨時(shí)參數(shù)脈動(dòng)以及能量耗散，旋渦強(qiáng)度將隨時(shí)間衰減。間衰減。425-4 畢奧一沙伐爾定理畢奧一沙伐爾定理問題問題 已知速度場(chǎng)可由式（已知速度場(chǎng)可由式（3-393-39）和（）和（3-403-40）求偏導(dǎo)來確定旋渦場(chǎng)。求偏導(dǎo)來確定旋渦場(chǎng)。已知旋渦場(chǎng)，能否確定速度場(chǎng)？這是本節(jié)已知旋渦場(chǎng)，能否確定

20、速度場(chǎng)？這是本節(jié)要討論的問題要討論的問題問題的前提：?jiǎn)栴}的前提： 流場(chǎng)中只存在一部分旋渦，其流場(chǎng)中只存在一部分旋渦，其 它區(qū)域全為無旋區(qū)。它區(qū)域全為無旋區(qū)。例如流場(chǎng)中有若干弧立渦絲，必然影響周例如流場(chǎng)中有若干弧立渦絲，必然影響周圍無旋區(qū)的速度分布。由渦絲引起的速度稱為圍無旋區(qū)的速度分布。由渦絲引起的速度稱為旋渦誘導(dǎo)速度場(chǎng)旋渦誘導(dǎo)速度場(chǎng)。43 為了求為了求渦絲渦絲誘導(dǎo)速度場(chǎng)，現(xiàn)將電磁場(chǎng)中誘導(dǎo)速度場(chǎng)，現(xiàn)將電磁場(chǎng)中的畢奧的畢奧沙伐爾定理引用過來。沙伐爾定理引用過來。誘導(dǎo)速度場(chǎng)與電磁場(chǎng)的類比誘導(dǎo)速度場(chǎng)與電磁場(chǎng)的類比帶電導(dǎo)線帶電導(dǎo)線 渦絲渦絲(線線)電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度 旋渦強(qiáng)度旋渦強(qiáng)度 誘導(dǎo)磁場(chǎng)強(qiáng)度誘導(dǎo)磁

21、場(chǎng)強(qiáng)度 誘導(dǎo)速度場(chǎng)誘導(dǎo)速度場(chǎng)磁磁 場(chǎng)場(chǎng)誘導(dǎo)速度場(chǎng)誘導(dǎo)速度場(chǎng)dhdv渦絲誘導(dǎo)的速度場(chǎng)的計(jì)算渦絲誘導(dǎo)的速度場(chǎng)的計(jì)算:44電磁場(chǎng)與誘導(dǎo)速度場(chǎng)的類比電磁場(chǎng)與誘導(dǎo)速度場(chǎng)的類比場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)2sinrdsidh452sinrdsidh 電磁學(xué)中，電流強(qiáng)度為的導(dǎo)線，微元導(dǎo)電磁學(xué)中，電流強(qiáng)度為的導(dǎo)線，微元導(dǎo)線線dsds對(duì)場(chǎng)點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度由對(duì)場(chǎng)點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度由畢奧畢奧沙沙伐爾公式伐爾公式得得: :垂直于垂直于dsds和所在的平面，按右手法則確定。和所在的平面，按右手法則確定。: ds離場(chǎng)點(diǎn)離場(chǎng)點(diǎn)p的矢徑的矢徑式中：式中：: 是是ds與的夾角與的夾角dh的方向的方向:46畢奧畢奧沙伐爾公式的形式沙伐爾公式的形式

22、流體力學(xué)中流體力學(xué)中畢奧畢奧沙伐爾公式沙伐爾公式的形式的形式 旋渦強(qiáng)度為（環(huán)量旋渦強(qiáng)度為（環(huán)量）的）的dsds段渦絲段渦絲對(duì)于點(diǎn)所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度：對(duì)于點(diǎn)所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度：2sin4rdsdv 流場(chǎng)中單一有限長(zhǎng)渦絲在流場(chǎng)中單一有限長(zhǎng)渦絲在p p點(diǎn)的誘導(dǎo)速度沿點(diǎn)的誘導(dǎo)速度沿整個(gè)渦絲積分：整個(gè)渦絲積分：srdsv2sin4該式可算出任意單一渦絲所引起的誘導(dǎo)速度場(chǎng)該式可算出任意單一渦絲所引起的誘導(dǎo)速度場(chǎng)47 流場(chǎng)中多條渦絲可組成一渦面流場(chǎng)中多條渦絲可組成一渦面, , 每條每條渦絲的誘導(dǎo)速度求得后，沿渦面積分就可渦絲的誘導(dǎo)速度求得后，沿渦面積分就可求得整個(gè)渦面上的誘導(dǎo)速度。流體力學(xué)中求得整個(gè)渦面上的誘導(dǎo)

23、速度。流體力學(xué)中速度場(chǎng)可以看成是渦絲誘導(dǎo)出來的。速度場(chǎng)可以看成是渦絲誘導(dǎo)出來的。48典型實(shí)例：典型實(shí)例：dxrdvsin42典型實(shí)例：無限長(zhǎng)直渦絲典型實(shí)例：無限長(zhǎng)直渦絲dxdx段對(duì)點(diǎn)的誘段對(duì)點(diǎn)的誘導(dǎo)速度是：導(dǎo)速度是：直渦絲直渦絲段對(duì)點(diǎn)的段對(duì)點(diǎn)的誘導(dǎo)速度：誘導(dǎo)速度：方向垂直于紙面向外方向垂直于紙面向外2112sin(coscos)44vdrrrv 49= =1801.1.對(duì)于無限長(zhǎng)直渦對(duì)于無限長(zhǎng)直渦絲：絲：2.2.對(duì)于半無限長(zhǎng)直渦絲：對(duì)于半無限長(zhǎng)直渦絲：=90 =18012(coscos)1 ( 1)442vrrr 12(coscos)0 ( 1)444vrrr 50 在垂直于無限長(zhǎng)直渦絲的任何

24、平面內(nèi)在垂直于無限長(zhǎng)直渦絲的任何平面內(nèi), 流動(dòng)流動(dòng)都是相同的，可視為二維流動(dòng)都是相同的，可視為二維流動(dòng), 相當(dāng)于一個(gè)平面相當(dāng)于一個(gè)平面點(diǎn)渦。如環(huán)量為點(diǎn)渦。如環(huán)量為，則在平面極坐標(biāo)內(nèi)的誘導(dǎo)速，則在平面極坐標(biāo)內(nèi)的誘導(dǎo)速度為度為:02rvvrr為點(diǎn)渦至場(chǎng)點(diǎn)的距離為點(diǎn)渦至場(chǎng)點(diǎn)的距離例例3.4中已證明這種速度場(chǎng)是無旋的。中已證明這種速度場(chǎng)是無旋的。51例例5.15.1例例5.15.1如圖強(qiáng)度相等的兩點(diǎn)渦的初始位置，試如圖強(qiáng)度相等的兩點(diǎn)渦的初始位置，試就就(a)(a)和和(b)(b)兩種情況決定此兩點(diǎn)渦的運(yùn)動(dòng)。兩種情況決定此兩點(diǎn)渦的運(yùn)動(dòng)。解解: (a)(a)：0axadxvdt點(diǎn)：點(diǎn)：1224ayadyv

25、dtaa 由由bs定律定律- -520bxbdxvdtb點(diǎn)：點(diǎn)：1224bybdyvdtaa 34,4bbxcytca 12,4aaxcytca 積分得積分得:,0,0,aabbxayxay 令時(shí)令時(shí)代入方程得代入方程得: 1= 2= 3=- - 4=- -53故，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為故，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為: :點(diǎn)：點(diǎn)：,4bbxayta 在在(a)(a)中，兩點(diǎn)渦大小相等，中，兩點(diǎn)渦大小相等，方向相反。方向相反。,4aaxayta 點(diǎn)：點(diǎn)： 兩點(diǎn)渦相對(duì)位置保持不變，它們同時(shí)沿兩點(diǎn)渦相對(duì)位置保持不變，它們同時(shí)沿方向等速向下移動(dòng)。方向等速向下移動(dòng)。540axadxvdt點(diǎn)：點(diǎn)：4ayadyvdta0b

26、xbdxvdt4bybdyvdtab點(diǎn)：點(diǎn)： 開始點(diǎn)向上，點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，形成圍繞開始點(diǎn)向上，點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，形成圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)，沿半徑為的圓周的等速轉(zhuǎn)動(dòng)。坐標(biāo)原點(diǎn)，沿半徑為的圓周的等速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為:24 a情況情況 ( b )55旋渦中心點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：旋渦中心點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：2,4bbrata 對(duì)于：對(duì)于：2,4aarata對(duì)于：對(duì)于：565-6 蘭金組合渦蘭金組合渦 設(shè)流場(chǎng)中有一半徑為的無限長(zhǎng)圓柱形設(shè)流場(chǎng)中有一半徑為的無限長(zhǎng)圓柱形流體象剛體一樣繞其軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為流體象剛體一樣繞其軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為。 例例3.33.3已證明，圓柱內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)有旋，且已證明，圓柱內(nèi)的

27、流體運(yùn)動(dòng)有旋，且旋渦角速度就是旋渦角速度就是。 這樣的旋渦以及它的誘導(dǎo)速度場(chǎng)可作為平這樣的旋渦以及它的誘導(dǎo)速度場(chǎng)可作為平面渦處理。由于旋渦誘導(dǎo)的速度場(chǎng)是無旋的，面渦處理。由于旋渦誘導(dǎo)的速度場(chǎng)是無旋的，在討論整個(gè)流場(chǎng)的速度和壓力分布時(shí)，亦須將在討論整個(gè)流場(chǎng)的速度和壓力分布時(shí)，亦須將旋渦內(nèi)部和外部分開。旋渦內(nèi)部和外部分開。57（1 1）旋渦內(nèi)部：）旋渦內(nèi)部：流體象剛體一樣繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)流體象剛體一樣繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)0,rvvr（r r）一、速度分布一、速度分布58式中：式中：2222.rrconst 外部流速與成反比。外部流速與成反比。59二、壓力分布二、壓力分布（1 1）旋渦外部：）旋渦外部：流動(dòng)定常且無

28、旋流動(dòng)定常且無旋由拉格朗日積分式確定速度和壓力的關(guān)由拉格朗日積分式確定速度和壓力的關(guān)系。略去質(zhì)量力有：系。略去質(zhì)量力有：212pvc由邊界條件由邊界條件，02vr該處該處0 0，則有，則有0 0 壓力分布?jí)毫Ψ植紴椋簽椋?012ppv（rr）601.1.愈靠近中心，速度值愈大，壓力愈小。愈靠近中心，速度值愈大，壓力愈小。2.在旋渦邊界上，在旋渦邊界上，r=rr=r，v v v vr r，如相應(yīng)，如相應(yīng) 的壓力為的壓力為p p 則則2012rrppv即在邊緣即在邊緣r r上，壓力較無窮遠(yuǎn)處下降了上，壓力較無窮遠(yuǎn)處下降了 212rv結(jié)論：結(jié)論：vr=vr |r=r角標(biāo)是角標(biāo)是r而不是而不是r61（

29、2 2）旋渦內(nèi)部）旋渦內(nèi)部: :定常有旋流動(dòng)定常有旋流動(dòng)因有離心力，伯努利方程因有離心力，伯努利方程212lpvc流線為同心圓族，流線為同心圓族，不同流線上壓力不同不同流線上壓力不同。由歐拉方程（給定邊界條件，略去質(zhì)量力）由歐拉方程（給定邊界條件，略去質(zhì)量力）求解：求解：1xxxyvvpvvxxx 1yyxyvvpvvxxy 拉格朗日積分不適用拉格朗日積分不適用也不適用也不適用62因因 v vx xyy，v vy y，代入上式得：，代入上式得：21pxx21pyy將以上兩式分別乘將以上兩式分別乘 的的dx dx 和和 dydy，再相加得：，再相加得：2()ppxdxydydxdydpxy222

30、()2xydpd或或積分得：積分得：22221()22xypcvc63在旋渦邊緣上：在旋渦邊緣上：201,2rrrrrvvpppv旋渦內(nèi)部壓力分布：旋渦內(nèi)部壓力分布：22012rppvv代入代入212pvc20rcpv得得 旋渦中心旋渦中心0,0rv旋渦中心的相對(duì)壓力為旋渦中心的相對(duì)壓力為20rppv 旋渦外部旋渦外部:速度越大壓力越小速度越大壓力越小旋渦內(nèi)部旋渦內(nèi)部:速度越小壓力越小速度越小壓力越小2021rrvppp6465蘭金（蘭金（rankinerankine）渦）渦: :具有自由表面流場(chǎng)中的鉛具有自由表面流場(chǎng)中的鉛 直方向的圓柱形渦。直方向的圓柱形渦。壓力分布：壓力分布：240222

31、22022rpgzrpprrgz( 0) r( 0) r重力的影響重力的影響- -+ +66r rr r r區(qū)域，水面凹區(qū)域，水面凹陷與陷與2 2成反比成反比 )()2(2)()(22222222rrrrgrrrrrgrz 67 水面旋渦的渦量在中心附近為最大，向水面旋渦的渦量在中心附近為最大，向外逐漸減少，作為一種近似，可認(rèn)為是由渦外逐漸減少，作為一種近似，可認(rèn)為是由渦量均勻分布的核心部分（稱強(qiáng)迫渦）和其外量均勻分布的核心部分（稱強(qiáng)迫渦）和其外部的無旋流動(dòng)（稱自由渦）兩部分所組成。部的無旋流動(dòng)（稱自由渦）兩部分所組成?？芍苯討?yīng)用本節(jié)的結(jié)果?？芍苯討?yīng)用本節(jié)的結(jié)果。實(shí)際情況：實(shí)際情況： 蘭金組合

32、渦在氣象學(xué)中常被用作臺(tái)風(fēng)中心蘭金組合渦在氣象學(xué)中常被用作臺(tái)風(fēng)中心的物理模型。的物理模型。 68氣旋氣旋69討論1.1.由伯努利方程知不計(jì)重力影響下，速度大則由伯努利方程知不計(jì)重力影響下，速度大則壓力小。對(duì)于蘭金組合渦，為什么旋渦中心速壓力小。對(duì)于蘭金組合渦，為什么旋渦中心速度小壓力最低？而在旋渦邊緣速度大壓力反而度小壓力最低？而在旋渦邊緣速度大壓力反而比旋渦中心大比旋渦中心大, ,能否從物理上解釋能否從物理上解釋? ? 討論討論70例例5.2例例5.2 設(shè)流場(chǎng)的速度分布為設(shè)流場(chǎng)的速度分布為v vr r， v v= r= r， constconst，求渦線方程。，求渦線方程。解：解：1()2yx

33、zvvxysinsinxvvry容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證: : x xy yxyzdxdydz渦線方程渦線方程:積分得積分得: : = =1 1 = =2 2 垂直于垂直于xoyxoy平面的直線平面的直線coscosyvvrx71例例5.3 5.3 在大圓內(nèi)包含了在大圓內(nèi)包含了a a、bcbc、d d四個(gè)旋渦四個(gè)旋渦, , 其強(qiáng)度分別為其強(qiáng)度分別為: : a = b = c = d = 求求: :沿周線沿周線s s的速度環(huán)量的速度環(huán)量解解: 由斯托克斯定理由斯托克斯定理 ssabcdsv ds s s所圍區(qū)域內(nèi)速度環(huán)量為零，但該區(qū)域內(nèi)并所圍區(qū)域內(nèi)速度環(huán)量為零，但該區(qū)域內(nèi)并非處處無旋。非處處無旋。例例5.35.372求求: :繞圓心的速度環(huán)量繞圓心的速度環(huán)量例例5.4 已知速度場(chǎng)已知速度場(chǎng)22xyvxy22yxvxysin