二項式系數(shù)的性質導學案

1、課 題 二項式系數(shù)的性質導學案自主預習案一、 預習目標：了解“楊輝三角”，認識“楊輝三角”中行、列數(shù)字的特點及其組合數(shù)的性質、二項式系數(shù)之間的聯(lián)系。二、 預習內容：閱讀P.26-27內容，了解二項式系數(shù)表及楊輝三角，探索歸納出二項式系數(shù)的性質。導入新課1二項式定理及其特例：（1） （2） 2二項展開式的通項公式： 新課探究1二項式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項式系數(shù)，當依次取時，如下表所示： 圖1 圖2上表叫 表，表中每行兩端都是 ，除以外的每一個數(shù)都等于 早在1621年，我國南宋數(shù)學家楊輝的著作詳解九章算法中就有類似的表（如上圖2），這個表稱為 。利用這一性質，可根據(jù)相應于的各項二項式系數(shù)寫

2、出相應于的各項二項式系數(shù)。 展開式的二項式系數(shù)，當依次取時，二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和。 2二項式系數(shù)的性質：展開式的二項式系數(shù)是，可以看成以為自變量的函數(shù)定義域是，例當時，其圖象是個孤立的點（如圖）（1）、每一行兩端都是1，其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即，這實際上是由組合數(shù)的性質得到的（2）、對稱性，在二項展開式的每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即：，這個性質實際上也是由組合數(shù)的性質得到的。直線是圖象的對稱軸（3）、增減性與最大值 二項式系數(shù)先增大，到達某一值后又逐漸減小，并且二項式系數(shù)最大的項必在 位置上，也就是說，

3、二項式系數(shù)先從1開始遞增，達到中間位置取最大值，然后又逐漸遞減到1.當是偶數(shù)時，展開式共有（n+1）項，所以展開式的中間一項，即 項的二項式系數(shù)最大，最大值為 ；當是奇數(shù)時，展開式共有（n+1）項，所以展開式的中間兩項，即第 項，和第 項的二項式系數(shù)相等且最大，最大值為=。（4）、二項展開式中各項系數(shù)的和等于 ，即在中，令，則有 探究展示案一、學習目標：結合楊輝三角掌握二項式系數(shù)的概念和性質，并能利用這些性質計算和證明一些與二項式展開有關的簡單問題。二、合作學習例1：（自主學習）根據(jù)“楊輝三角”寫出：（1）的二項式系數(shù)； （2）展開式中的第3項的系數(shù).例2：（小組合作）寫出的展開式中：（1）通

4、項；（2）二項式系數(shù)最大的項；（3）各項的系數(shù)絕對值最大的項；(4)各項的系數(shù)最大的項；（5）各項的系數(shù)最小的項；（6）二項式系數(shù)的和；（7）各項的系數(shù)的和。例3：運用二項式定理證明：（1）；（2）（3）結論（1）、（2）分別表示什么意思？點評：和是兩個重要的結論，大家要熟練掌握。例4：利用賦值法求證：.合作提高1.已知，求：（1）； （2）； （）；（）2. 設的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M-N=240，則展開式中的系數(shù)為（ ）A、-150 B、150 C、300 D、-3003.已知，則等于（）A、 B、 C、D、4. 在的展開式中，各項系數(shù)的和是.5.已知：的展開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中系數(shù)最大的項6 證明：能被7整除。7今天是星期一，則過2102天后是星期幾？課堂小結 ：1性質是組合數(shù)公式的再現(xiàn)，性質是從函數(shù)的角度研究的二項式系數(shù)的單調性，性質是利用賦值法得出的二項展開式中所有二項式系數(shù)的和；2因為二項式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項展開式各項系數(shù)和的一種重要方法。二、當堂檢測.若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為（）A、 B、 C、D、.設，則中奇數(shù)的個數(shù)為（）A、 B、 C、 D、.展開式中，所有項的系數(shù)之和為；展開式中的系數(shù)為.