系統(tǒng)辨識PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)12 結(jié)束第1頁/共259頁3第2頁/共259頁4一、建模的必要性一、建模的必要性課程的核心問題是建模，主要是建模。系統(tǒng)辨識是研究辨識建模的理論和方法。 數(shù)學(xué)模型的主要用途： 控制理論與控制工程就一直圍繞著 建立模型和控制器設(shè)計這兩個主題來發(fā)展， 它們相互依賴、相互滲透并相互發(fā)展。1.用來預(yù)報實(shí)際系統(tǒng)物理量 研究實(shí)際系統(tǒng)往往需要事先知道一些物理量的數(shù)值，而其中有些量可能無法直接測量或測不準(zhǔn)，所以需要建立數(shù)學(xué)模型來預(yù)報。 第3頁/共259頁53.為了設(shè)計控制系統(tǒng) 目前,對被控系統(tǒng)的控制器的設(shè)計方法的選取,以及如何進(jìn)行具體的控制結(jié)構(gòu)和參數(shù)的設(shè)計都廣泛依賴于對被控系統(tǒng)的理解及所建立的被控系統(tǒng)數(shù)

2、學(xué)模型。2.用于分析實(shí)際系統(tǒng) 工程上在分析一個新系統(tǒng)時，通常先進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真，仿真的前提必須有數(shù)學(xué)模型。 建模問題在控制器設(shè)計中起著非常重要的作用,是設(shè)計中首先需要解決的問題；是成功地進(jìn)行控制器設(shè)計的關(guān)鍵之一。第4頁/共259頁系統(tǒng)的模型一般分物理模型與數(shù)學(xué)模型物理模型：指用物理、化學(xué)、生物等材料構(gòu)成的用于 描述系統(tǒng)中的關(guān)系和特征的實(shí)體模型。 模型：就是把系統(tǒng)實(shí)體的本質(zhì)信息簡縮成有用的描述形式，數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)中一些關(guān)系和特征的數(shù)據(jù)模型。 控制領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型就是指能用來描述系統(tǒng)的動態(tài)或靜態(tài)特性和行為的數(shù)學(xué)表達(dá)式或方程。是進(jìn)行系統(tǒng)分析、預(yù)報、優(yōu)化及控制系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)。二、模型二、模型是一種簡化描

3、述。第5頁/共259頁71、理論建模法： 通過對系統(tǒng)內(nèi)在機(jī)理的分析，按照已知的一些物理定律導(dǎo)出各物理量關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型。 理論建模法建立的模型稱為機(jī)理模型。 一般在理論建模中,根據(jù)模型應(yīng)用的目的和精度要求,僅考慮系統(tǒng)中起主導(dǎo)作用的有限的幾個因素即可。缺陷：當(dāng)驗(yàn)前信息不足時，用理論建模法會遇到很大困難。對于比較復(fù)雜的過程，必須對機(jī)理模型簡化，這就使得機(jī)理建模與實(shí)際過程間有一定的誤差。 三、建模方法三、建模方法第6頁/共259頁8 理論建模通常只能用以建立比較簡單系統(tǒng)的模型（白箱問題）。由于許多系統(tǒng)的機(jī)理和所處的環(huán)境越來越復(fù)雜，因此，理論建模法的運(yùn)用亦越來越困難，其局限性越來越大, 需要建立新的

4、建模方法。 在被建模的裝置尚不存在（設(shè)計階段）或雖存在但無法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時，理論建模是取得模型的唯一途徑，是驗(yàn)前問題中唯一可行的方法。 理論建模的難點(diǎn)在于對有關(guān)學(xué)科知識及實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的掌握，故不屬于課程的討論范圍。 在理論建模方法難以進(jìn)行或難以達(dá)到要求的情況下，系統(tǒng)辨識建模方法就幸運(yùn)而生。第7頁/共259頁92、辨識建模法： 對被控系統(tǒng)進(jìn)行測試，利用觀測數(shù)據(jù)，通過辨識技術(shù)去構(gòu)造系統(tǒng)模型的方法。系統(tǒng)辯識是研究怎樣利用對未知系統(tǒng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)或在線運(yùn)行數(shù)據(jù)(輸入/輸出數(shù)據(jù))建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的科學(xué)。系統(tǒng)辯識亦稱為實(shí)驗(yàn)建模方法,它是“系統(tǒng)分析”和“控制系統(tǒng)設(shè)計”的逆問題。是現(xiàn)代控制理論的一個分支。第8頁/共

5、259頁1）完全辨識問題： 完全不了解系統(tǒng)的任何基本特性（定常時變；線性非線性；確定隨機(jī)等）。 這類問題稱為黑箱問題。這是一個極難解決的問題，通常需要對系統(tǒng)作某些主觀的先驗(yàn)假設(shè)。2）部分辨識問題： 系統(tǒng)的某些基本特性假定是已知的，但不知動態(tài)模型的階次或有關(guān)的系數(shù)。 這類問題稱為灰箱問題。顯然比黑箱問題容易解決。 根據(jù)對系統(tǒng)事先了解的程度（先驗(yàn)知識）可將辨識問題分成二類：完全辨識問題和部分辨識問題。第9頁/共259頁11 大部分工程系統(tǒng)及工業(yè)過程都屬于灰箱問題。通常對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)會有很多了解，因此可推導(dǎo)得系統(tǒng)特定的數(shù)學(xué)模型。在這種情況下只要定階和確定模型中的一組參數(shù)。從而模型化問題簡化為參數(shù)估計。

6、因此參數(shù)估計是一個最重要的問題。 有效的辨識策略：u盡可能地掌握系統(tǒng)的先驗(yàn)知識，即盡可能地使系統(tǒng)“白化”；有效的辨識方法：“灰箱”方法。將兩種方法結(jié)合起來，互為補(bǔ)充。u對依然“黑”的部分，用理論建模方法不能確定的部分和參數(shù)，采用系統(tǒng)辨識方法。第10頁/共259頁12系統(tǒng)辨識的框圖 對象 輸入u(k) 測量 測量 測量噪聲 測量噪聲 輸出y(k) 輸出測量值 輸入測量值 過程噪聲 系統(tǒng)辨識 第11頁/共259頁13模糊數(shù)學(xué)創(chuàng)始人L.A. Zadeh1962年 Zadeh從數(shù)學(xué)的角度定義:辨識就是在輸入輸出數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，從一組給定的模型類中，確定一個與所測系統(tǒng)等價的模型。1978年瑞典的李龍(Lj

7、ung)提出 :系統(tǒng)辯識的三個要素數(shù)據(jù)、模型類和準(zhǔn)則。系統(tǒng)辯識是按照一個準(zhǔn)則，在模型類中選擇一個與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。擬合的好壞是一個不定的概念，所以要用準(zhǔn)則來判別。 3、系統(tǒng)辨識的定義 所謂辨識建模是從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，根據(jù)辨識的目的以及對過程已有的驗(yàn)前知識，預(yù)先給出一個模型類（線性的、非線性的、定常的、時變的、連續(xù)的、離散的 ）進(jìn)行擬合。 第12頁/共259頁14它是一個迭代過程。大致包括：試驗(yàn)設(shè)計，模型結(jié)構(gòu)確定，參數(shù)估計和模型驗(yàn)證。四、系統(tǒng)辨識的內(nèi)容（或步驟）四、系統(tǒng)辨識的內(nèi)容（或步驟）滿意辨識目的及先驗(yàn)知識確定模型結(jié)構(gòu)和準(zhǔn)則模型的參數(shù)估計模型驗(yàn)證最終模型不滿意數(shù)據(jù)預(yù)處理輸入輸出數(shù)據(jù)檢測試

8、驗(yàn)試驗(yàn)設(shè)計辨識的一般步驟第13頁/共259頁15 大致包括：試驗(yàn)設(shè)計，模型結(jié)構(gòu)確定，參數(shù)估計和模型驗(yàn)證。1、試驗(yàn)設(shè)計 1）選擇變量：以提取有效的信息（數(shù)據(jù)）為目的。首先根據(jù)試驗(yàn)對象，確定所要觀測的變量。 （u是人為給定的，y是觀測的，y的選取不同會改變輸出矩陣C的結(jié)構(gòu)和數(shù)值。） 通常為得到試驗(yàn)設(shè)計前的必要的知識，必須進(jìn)行一些預(yù)備性試驗(yàn)（摸底）。四、系統(tǒng)辨識的內(nèi)容（或步驟）第14頁/共259頁16預(yù)備性試驗(yàn)：可用一些簡單方法（階躍響應(yīng)，頻率響應(yīng)等）獲得系統(tǒng)的如下信息：主要時間常數(shù)（系統(tǒng)頻寬，與試驗(yàn)長度有關(guān)）允許的輸入信號幅度（系統(tǒng)的線性范圍）過程的非線性與時變性（有助于模型類的選擇）噪聲水平（以

9、便用多大的輸入，使得觀測量有多大的信噪比）變量之間的延遲（滯后環(huán)節(jié)參數(shù)）2）輸入信號的選擇（階躍、方波、脈沖、PRBS）。 第15頁/共259頁17 3）采樣速度的選擇（要采集數(shù)據(jù)就有采樣速度選擇問題）。實(shí)際上先采用較短的采樣間隔，在數(shù)據(jù)分析時，可根據(jù)需要隔幾個取一個數(shù)據(jù)。 4）試驗(yàn)長度的確定（試驗(yàn)時間問題）。辨識精度與試驗(yàn)時間的長短有關(guān)。 2、模型結(jié)構(gòu)確定 根據(jù)辨識的目的及對被辨識系統(tǒng)的先驗(yàn)知識，確定系統(tǒng)所屬的模型類 模型結(jié)構(gòu)的選擇主要取決于應(yīng)用的目的及精度要求。通常模型精度與復(fù)雜性要折衷考慮。第16頁/共259頁18 常用的模型類： 參數(shù)的 或 非參數(shù)的 線性的 或 非線性的 連續(xù)的 或

10、離散的 確定的 或 隨機(jī)的 I/O的 或 狀態(tài)的 時變的 或 定常(時不變)的集中參數(shù)的 或 分布參數(shù)的 頻率域的 或 時間域的 等等。第17頁/共259頁19 根據(jù)系統(tǒng)的空間、時間的離散化情況，模型可分為三類：1）集中參數(shù)的連續(xù)時間模型：空間變量是離散的， 時間變量連續(xù)。如常微分方程，代數(shù)方程。2）集中參數(shù)的離散時間模型：時、空變量均離散。 如差分方程，代數(shù)方程。3）分布參數(shù)模型：時、空變量均連續(xù)，如偏微分方程。 它可以在空間上離散化，簡化成分塊集中參數(shù)，所以對它的辨識不介紹。 a第18頁/共259頁203、參數(shù)估計 模型結(jié)構(gòu)確定后，其中未知部分就要通過觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計。通常未知部分是以未知

11、參數(shù)出現(xiàn)，故辨識工作就成了參數(shù)估計。4、模型驗(yàn)證 一個模型辨出來后，是否可靠必須進(jìn)行多次驗(yàn)證。 參數(shù)估計的要求就是要辨識出來的模型與實(shí)際過程在某種意義下最“接近”。 所以必須有個準(zhǔn)則衡量。 通常一個模型用一套數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識，然后用另一套數(shù)據(jù)來驗(yàn)證和修改。 第19頁/共259頁21第20頁/共259頁22模型可以有不同的形式，不同的模型適于不同的系統(tǒng)。古典辨識方法：采用時域法和頻率法來辨識線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。原則上只適用于SISO線性系統(tǒng)。 SISO系統(tǒng)通常采用傳遞函數(shù)。 MIMO系統(tǒng)通常采用狀態(tài)空間表達(dá)式。 由實(shí)驗(yàn)來建立數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)，可以為更復(fù)雜的系統(tǒng)辨識做預(yù)備性實(shí)驗(yàn)，它是現(xiàn)代系統(tǒng)辨識的基礎(chǔ)

12、，屬于連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的辨識領(lǐng)域。 第21頁/共259頁23試驗(yàn)信號的選用： 對系統(tǒng)模型的研究方法不同，輸入試驗(yàn)信號也相應(yīng)分成非周期的和周期的兩種。用時域法建模：輸入信號為非周期的。 主要采用階躍和方波（近似脈沖）函數(shù)。用頻域法建模：輸入信號用周期的。 主要用正弦波，二進(jìn)制周期函數(shù)。它們又分為單頻和多頻（組合正弦波及周期方波） 第22頁/共259頁242 2 1 1 過渡響應(yīng)法（時域法）過渡響應(yīng)法（時域法） 采用非周期試驗(yàn)信號，通過系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)研究系統(tǒng)的模型。 一、非參數(shù)模型的辨識 在時域中建立線性系統(tǒng)非參數(shù)模型時，用很簡便的方法就可得到脈沖響應(yīng)曲線，階躍響應(yīng)曲線、方波響應(yīng)曲線或它們的離散

13、采樣數(shù)據(jù)表。 對于線性系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)，階躍響應(yīng)和方波響應(yīng)之間是可以相互轉(zhuǎn)換的。 脈沖響應(yīng)：可以采用幅值相當(dāng)大，寬度很窄的方波來近似函數(shù) 。 第23頁/共259頁25二、由階躍響應(yīng)曲線辨識傳函1、試探法 工業(yè)中常用的模型類：（即便是高階系統(tǒng)也用低階模型去逼近） 由非參數(shù)模型轉(zhuǎn)變成參數(shù)模型，包括確定傳函的結(jié)構(gòu)及參數(shù)。 1TsK) s (Gse1TsK) s (G1Ts2sTK) s (G22s22e1Ts2sTK) s (G 先觀察試驗(yàn)所得響應(yīng)曲線的形狀特征，據(jù)此判斷，從模型類中確定一種結(jié)構(gòu)。然后進(jìn)行參數(shù)估計，最后驗(yàn)證數(shù)據(jù)擬合程度，反復(fù)多次，直至誤差e(t)最?。?yàn)證數(shù)據(jù)擬合可只取若干點(diǎn)）。 第2

14、4頁/共259頁261）若階躍響應(yīng)曲線特征為：0)t (ymax)0(yconst)(y曲線逐漸上升到穩(wěn)態(tài)值：1TsK) s (G可采用結(jié)構(gòu)： 待估參數(shù)為：K，T穩(wěn)態(tài)增益： 0U)(yK)(y) t (y) t (y1)(y將試驗(yàn)曲線標(biāo)么化，即 , 第25頁/共259頁27要確定 T ，只要一對觀測數(shù)據(jù)：y*(t1)，t1 則標(biāo)么化后響應(yīng)：Tte1) t (y可得： )t (y1 ntT11Tte1) t (y由若取 y*(t1) = 0.63 ，則 T = t1驗(yàn)證數(shù)據(jù)擬合如何， 可在 t=T/2 和 t=2T 二點(diǎn)進(jìn)行：39. 0)2T(y87. 0)T2(y若擬合不好，則應(yīng)另選模型結(jié)構(gòu)類

15、。1第26頁/共259頁28待估參數(shù)為：K，T， 穩(wěn)態(tài)增益： 0U)(yK將試驗(yàn)曲線標(biāo)么化，即)(y) t (y) t (y1)(y2）實(shí)驗(yàn)曲線是一條S形非周期曲線 ）可選用模型類： se1TsK) s (G te1t 0) t (yTt則為了確定 T 和，必須將兩個坐標(biāo)值（觀測值）代入，122Tt21Tt1tt y e1)t (yy e1)t (y21則第27頁/共259頁29兩邊同取對數(shù)得：)t (y1 nTt)t (y1 nTt2211)t (y1n)t (y1n)t (y1nt)t (y1nt)t (y1n)t (y1nttT2121122112根據(jù)兩對觀測值 y*(t1) 和 y*(

16、t2) ，可求出 T 和 。 122Tt21Tt1tt y e1)t (yy e1)t (y21第28頁/共259頁30若選y*(t1) = 0.39，y*(t2) = 0.63，則Tt2Tt21模型驗(yàn)證：0.87)(ty T2t0.55)(ty T8 . 0t0)(ty t554433tT/20.8TT2Ty*(t)0.390.550.630.87Tte1) t (y由則2112tt2)tt (2T122Tt21Tt1tt y e1)t (yy e1)t (y21第29頁/共259頁31待估參數(shù)為：K，T， 究竟選一階慣性帶延時的模型結(jié)構(gòu)，還是選二階模型，事先無法確定，完全看兩種模型與試驗(yàn)曲

17、線擬合程度，哪個精度高，選哪個。 由于大多數(shù)工業(yè)過程的試驗(yàn)曲線是過阻尼的，即1， 只討論此種情況，而1的傳函辨識比較麻煩。 ）也可選用模型類： 1Ts2sTK) s (G22 S形曲線本身就說明是過阻尼（ 1）。 若 0 且為實(shí)數(shù)。 21212121T第31頁/共259頁33)s)(s()s(G2121代入可得： t121t12221ee1) t (y它的單位階躍響應(yīng)為： 改寫為：t121t12221ee) t (y1令 2 = 1 ( 1 ) ，代入上式得：e11 e1e11e1) t (y1t)1(ttt1111兩邊同取對數(shù)得：e11 nt1n)t (y1 nt)1(11211T第32頁/

18、共259頁bktt1n)t (y1 n 1可見，當(dāng)t 時，是一條直線。斜率：k = 1 ，截距： 1nb 在坐標(biāo)紙上，根據(jù)數(shù)據(jù)y*(t)，畫出t較大時)t (y1 n的圖形，作其漸進(jìn)線，即可得斜率 k 和截距 b 。bbb1e111eek則可得： 2 T， 當(dāng)t 時,0 e11 nt)1(1第33頁/共259頁35若用常用對數(shù)，則當(dāng)t 時：t4343.01gtge1g)t (y1 g11則：1gb4343. 0k1bbb1101111010k303. 2缺點(diǎn)：計算G(s)時采用的點(diǎn)都是 t 較大時的點(diǎn)，而當(dāng) t 較大時，往往 1y*(t) 的值較小，這就會產(chǎn)生較大的誤差。bbtk第34頁/共2

19、59頁362、Laplace 變換的極限定理法（終值定理法） 利用 Laplace 變換的極限定理，由非參數(shù)模型的單位階躍響應(yīng)，求參數(shù)模型傳遞函數(shù)。它克服了試探法需選擇模型類的不足，但它僅適用于下述一種模型類。 設(shè)線性SISO定常系統(tǒng)的傳函結(jié)構(gòu)為： 1sasasaK) s (G11n1nnn特點(diǎn)：系統(tǒng)只有極點(diǎn)、無零點(diǎn)。 第35頁/共259頁37當(dāng)輸入u(t) = 1(t) 時，輸出 y(t)為：終值定理為：) s (Ysim) t (yim0sts1)s (G)s (U)s (G)s (Y對于階躍響應(yīng): 代入上式得： )(yK)s (Gim) t (yimK0st0 K0 第36頁/共259頁

20、38 在已存在的系統(tǒng)G(s)的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個新系統(tǒng)G1(s)，當(dāng)輸入 u(t) = 1(t) 時，其單位階躍響應(yīng)為： t001d)(yK)t(y（y1(t)與 y(t)的關(guān)系） 求G1(s)的穩(wěn)態(tài)增益K1 :0011dt)t (yK)(yK K1 當(dāng)輸入u(t) = 1(t) 時，輸出 y(t)為：第37頁/共259頁39 G1(s) 求拉氏變換：s1) s (G) s (Ys) s (GsKs1 )(yKLs1d)(yKL)t (yL1100t001)s(GKs1)t (1L)t (yL)s(G011求得 G1(s) 與 G(s) 的關(guān)系: 當(dāng)輸入u(t) = 1(t) 時，輸出 y(t)為

21、：t001d)(yK)t(y第38頁/共259頁40再利用終值定理可求得G1(s)的穩(wěn)態(tài)增益K1：) s (Ysim) t (yimK10s1t1 a1 )s (GK(s1im) s (Gim00s10s1sasasaKKs1im11n1nnn00s1sasasaKKsaKsaKs1im11n1nnn010nn00s10aK當(dāng)輸入u(t) = 1(t) 時，輸出 y(t)為： 把y1(t)定義成與y(t)有聯(lián)系，當(dāng)然G1(s)也與G(s)有聯(lián)系，而輸入均為u(t)=1(t)，再利用終值定理求G1(s)中的參數(shù)，從而也就求出G(s)中的參數(shù)。 求得G1(s)的穩(wěn)態(tài)增益K1與G(s)中的參數(shù)關(guān)系。

22、第39頁/共259頁41 K2 同理，在系統(tǒng)G1(s)基礎(chǔ)上構(gòu)造一個新系統(tǒng)G2(s) 。t0112d)(yK) t (yG2(s)的單位階躍響應(yīng)為： 01122dt)t (yK)(yK求拉氏變換：)(yKLs1d)(yKL)t (yL11t0112s) s (GsKs111s1) s (G) s (Y22當(dāng)輸入u(t) = 1(t) 時，輸出 y(t)為：第40頁/共259頁42再利用終值定理可得：20112aKaKK a2 ) s (Ysim) t (yimK20s2t2)s (GK(s1im) s (Gim110s20s G2(s) )s(GKs1)s(G112求得 G2(s) 與 G1(

23、s) 的關(guān)系: 當(dāng)輸入u(t) = 1(t) 時，輸出 y(t)為：第41頁/共259頁43當(dāng)輸入u(t) = 1(t) 時，輸出 y(t)為： Kr 同理，在系統(tǒng)Gr-1(s)基礎(chǔ)上構(gòu)造一個新系統(tǒng)Gr(s) 。t01r1rrd)(yK) t (yGr(s)的單位階躍響應(yīng)為： 01r1rrrdt)t (yK)(yK再用終值定理，由數(shù)學(xué)歸納法可得： KKn),1,2,(r aK) 1(aKaKK0r01r22r11rr ar 第42頁/共259頁44KKn),1,2,(r aK) 1(aKaKK0r01r22r11rr特點(diǎn)：）每求一次Ki，要計算一次面積，所以計算量大，而且誤差隨著積分次數(shù)增大而

24、增大。 故僅適用于低階模型的辨識。 ）使用過程受到一定的限制，僅適用于特定的模型結(jié)構(gòu)（即傳函G(s)只有極點(diǎn)，而沒有零點(diǎn)的情況）。 由上述（n+1）個方程可求出（n+1）個待估參數(shù)： K，a1， ，an第43頁/共259頁45K1的物理意義：由 可知，001dt)t (yKKK1為陰影部分的面積。 （幾何意義）0001dt)t (y) t (y dt)t (yKK將 G(s) 改寫成極點(diǎn)形式：n1ii)1sT(K)s (G顯然： n1ii1Tan1ii101TKaKK所有時間常數(shù)之和系統(tǒng)增益1K （物理意義） 1第44頁/共259頁46三、由脈沖響應(yīng)曲線辨識傳函 1、矩法 脈沖響應(yīng)g(t)可由

25、單位階躍響應(yīng)微分后求得，也可用窄方波響應(yīng)來近似。（方波寬度 T 時， g() 0 02T)g(T)g( 對于第一個周期的激勵而言， （時間 在 0T 區(qū)間）有： )(RK1)(g uy第86頁/共259頁88 采用具有上述二性質(zhì)的輸入信號后，即可保持采用白噪聲信號所具有的優(yōu)越性，又可以解決 Ruy() 的積分時間太長的問題，理論上只要在一個周期 T 內(nèi)積分就可以了。 )(RK1)(g uy 思路： 維納霍甫方程 解決了抗干擾問題 引出了解積分方程難的問題 采用白噪聲作為u(t)解決之，使得Ruy()與 成比例 尚存在求Ruy()積分時間長問題 采用周期性，近似白噪聲偽隨機(jī)信號解決之，并仍保持R

26、uy()與 成比例)(g )(g 第87頁/共259頁89一、M序列產(chǎn)生的方法及性質(zhì)：隨機(jī)地擲一枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)，結(jié)果：正面：+1 ；反面：1 反復(fù)試驗(yàn) 得到以+1，1兩元素組成的隨機(jī)序列u(k)。 當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)N相當(dāng)大時，該序列u(k)具有以下兩性質(zhì)： 序列中+1與1出現(xiàn)的次數(shù)幾乎相等；（ Eu=0 ） 隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù) Ruu(0) = max， 離開原點(diǎn)時， Ruu() = 0 。（Ruu ） 顯然該序列接近于白噪聲，最好它還應(yīng)該是一個周期序列，在一個周期內(nèi)具有上述白噪聲性質(zhì)。它在一個周期內(nèi)觀測時是一個隨機(jī)信號；若觀測時間很長時是一個周期信號。 由于序列只有+1，1兩元素，稱為偽隨機(jī)二

27、位式序列 PRBS（Pseudo Random Binary Signal）序列 (它有規(guī)律性，故稱偽隨機(jī)，且可以人為產(chǎn)生和復(fù)制。)第88頁/共259頁90n = 4 ，k = 2 （初態(tài)為：1111）時， 碼數(shù) NP = 6n = 4 ，k = 3 （初態(tài)為：1111）時，M序列 最大長度的偽隨機(jī)二位式序列。 由 n 個雙穩(wěn)態(tài)觸發(fā)器順序組成 n 級移位寄存器，將第 k 級與第 n 級狀態(tài)“異或”后，反饋到第一級輸入端。 究竟k選哪一級呢？它將影響輸出的性質(zhì)。若k選擇合適，將得到一個M序列。（初態(tài)不能為全零，否則輸出總是零） 碼數(shù) NP = 151、M序列的產(chǎn)生第89頁/共259頁91一個 n

28、 級移位寄存器的輸出序列的最大長度 = ？ 除各級全0的狀態(tài)外，共有（2n 1）種不同的組合狀態(tài)。 若 NP = 2n 1，則該序列為最大長度序列或M序列。 當(dāng) n 12 時，大約半數(shù)序列要用二級反饋產(chǎn)生，其他的則要用 4 級反饋來產(chǎn)生M序列。2、M序列的性質(zhì)1）是一個確定的周期性序列，它的周期長度 NP = 2n 1 2）一個周期內(nèi)?！?”狀態(tài)比“1”狀態(tài)少1個。 （避免出現(xiàn)全“0”狀態(tài)） “1”狀態(tài)： 21N222p1nn“0”狀態(tài)： 21N12122p1nn第90頁/共259頁923）若將序列中相鄰狀態(tài)不變的那一部分長度稱“游程”（或“段”），則在一個周期內(nèi)的游程總數(shù)為 m 。 不允許

29、n 個全零狀態(tài)， 只有一個 n 個碼為全“1”1)2m(m1n1ii 游程總數(shù) 21N2mp1n1211)211(21m1n12mm1n 如：n = 4 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0m = 8根據(jù)概率論可知，若游程總數(shù)為 m ，則： 個個 1 ) 1n(i1 2m i游程長度為 i 的為： 游程長度為 n 的為： 第91頁/共259頁934）移位相加性： 若將一個M序列與將其延遲了r個碼以后的序列，按模2加法原則相加，所得的新序列還是M序列，不過延遲了q個碼，r、q均為整數(shù)，且1 r，q Np 1 。， 1 r，q Np 1 )qk(u) rk(u)k(u例：5）

30、M序列具有近似離散的白噪聲性質(zhì)。下面將詳細(xì)討論M序列的自相關(guān)函數(shù)和功率密度譜。 b第92頁/共259頁943、M序列的相關(guān)函數(shù)和功率密度譜：1）相關(guān)函數(shù)： 定義:“1”狀態(tài)的邏輯電平為“a”，“0”狀態(tài)的邏輯 電平為“+a”（為負(fù)邏輯關(guān)系，反之結(jié)論一樣）。 由Ruu()定義可知：T0Tuudt)t (u) t (uT1im)(RpT0pndt)t (u) t (unTnimTp=Np ppnT0pnTdt)t (u) t (unT1impT0pdt)t (u) t (uT1第93頁/共259頁95(1) 離散情況( = / ): 其中： = / , 設(shè) 是 的整數(shù)倍，此時 Ruu() 取值于

31、= 0，1，2，Np1Ruu()寫成離散形式為： 1N0kpuup)k(u)k(uN1)(R 2a)k(u)k(u 顯然模2乘法的結(jié)果與模2加法的結(jié)果在邏輯上是完全一樣的，都為異或關(guān)系。 即： )k(u)k(u同號碼 +a2（0） u(k)與u(k + )碼的電平符號相同。異號碼 a2（1） u(k)與u(k + )碼的電平符號相異。 （同號碼個數(shù)）（異號碼個數(shù)）p2uuNa)(R1N0kpp)k(u)k(uN1第94頁/共259頁96 Na21N21NNa)(Rp2ppp2uu =1，2，Np1 當(dāng) =1，2，Np1 時： u(k)u(k + )在邏輯狀態(tài)上相當(dāng)于原序列u(k)與另一延遲序列

32、u(k+)按摸2加法原則相加。根據(jù)M序列的移位相加性質(zhì)可知，所得的結(jié)果在邏輯狀態(tài)上仍是一個M序列。 同號碼個數(shù) = 新序列“0”狀態(tài)個數(shù) =異號碼個數(shù) = 新序列“1”狀態(tài)個數(shù) =21Np21Np當(dāng)新的序列為“0”狀態(tài)時，說明u(k)與u(k + )是同號當(dāng)新的序列為“1”狀態(tài)時，說明u(k)與u(k + )是異號第95頁/共259頁97)Na(N1)k(u)k(uN1)0(Rp2p1N0kpuup 當(dāng) = 0 時： ( 同一個M序列自乘 ) p2uuNa)(R =1，2，Np1 2uua)0(R第96頁/共259頁98（2）連續(xù)情況（ 不是 的整數(shù)倍）：) 1N,1, 0 ( ) 1( pp

33、T0puudt)t (u) t (uN1)(R（為平均面積值） 為一個周期內(nèi)曲線 u(t)u(t+) 所圍成的面積。pT0dt)t (u) t (u即：一個周期內(nèi)曲線 u(t)u(t+)所圍成的： 正面積 負(fù)面積第97頁/共259頁99 當(dāng) = 0 時： ( 0 )M序列每出現(xiàn)一次狀態(tài)轉(zhuǎn)換，積分將出現(xiàn)一個負(fù)面積( a2)2a 由M序列的性質(zhì)3可知，在一個周期內(nèi)：狀態(tài)轉(zhuǎn)換的次數(shù) M序列游程總數(shù) 21Np負(fù)面積)a(21N2p正面積)a (21NNa2pp2第98頁/共259頁100負(fù)面積 )a(21N2p正面積 )a(21NNa2pp2pT0puudt)t (u) t (uN1)(R )a(21

34、N)a(21NNa N12p2pp2p N1N1 a)(Rpp2uu 負(fù)面積正面 積 N1p第99頁/共259頁101 N1N1 a)(Rpp2uu它是 的線性函數(shù)，因此可確定其兩點(diǎn)：當(dāng)= 0 時，Ruu()= a2 ; 當(dāng) = 時，Ruu()= p2Na Ruu() = Ruu(-) 為偶函數(shù)， 在 內(nèi)，Ruu() 為一個 波 。 第100頁/共259頁102 當(dāng) Ts（系統(tǒng)的過渡過程時間），即： 當(dāng) t (Np - 1) 時， g(t) 0 維納霍甫方程的離散形式為： 1N0kuuuyp)k(R)k(g)(R1N0puup)(u)k(uN1)k(R1N0kpuyp)k(u)k(yN1)(R

35、其中：3 3 用用M序列序列第122頁/共259頁124在離散情況下M序列的Ruu()為： 1N0k2uu1N0k1uu1N0kuuuyppp)k(R)k(g)k(R)k(g )k(R)k(g)(R) 1N( ,1,2,k Na 0k a )k(RPp22uu1N0kp2pp2p)k(gNa)(gN)1N(a 它是由Ruu2()產(chǎn)生的 令1N0kp2p)k(gNaC第123頁/共259頁125 脈沖響應(yīng)函數(shù) g(k) 有界， C 為有界常數(shù)，且 C 0 1、作圖法C)(R 0)(g uy則時，當(dāng))(gN) 1N(app2)(gN) 1N(app2將 Ruy() 上移C 就可以得到： - C 一

36、般可以通過對Ruy() 的穩(wěn)態(tài)值的目測得到。)(g 從而得到： )k(gNa)(R)1N(aN 1N0kp2uyp2pp )C)(R()1N(aN)(guyp2p第124頁/共259頁1262、解析法)(g 通過精確計算公式得到：C)(gN)1N(a)(Rpp2uy1N01N0pp21N0uypppC)(gN)1N(a)(RC)k(gNa1N0kp2p )k(R)(R)1N(aN)(g 1N0kuyuyp2pp方程兩邊同求和，可得：1N0kp2p)k(gNaC1N0kp2p1N0pp2pp)k(gNaN)(gN)1N(a 第125頁/共259頁127二、估計量 的統(tǒng)計特征)(g )(R)k(g

37、Na)(gN)1N(auy1N0kp2pp2p1、 是無偏的，即)(g )(g)(g E方程兩邊同取均值，可得：)(RE)k(gENa)(gEN)1N(auy1N0kp2pp2p)k(u)k(yN1E1N0kpp)k(u)k(n)k(zN1E1N0kpp)(R)(REunuz第126頁/共259頁128)(R)(RE)(REunuzuy )k(u )k(u)(gN1E1N0k1N0ppp 此時，又回到理論的維納霍甫方程，所以： )k(gNa)(gN)1N(aE)(RE1N0kp2pp2uyp=01N0kp2pp2p)k(gNa)(gN)1N(a此時g()已經(jīng)是一個確定的量了！)k(u )k(u

38、N1)(gE1N0kp1N0pp)(R)(gE1N0uup )k(u)k(zN1E1N0kpp第127頁/共259頁1291N0kp2pp2uy1N0kp2pp2pp)k(gNa)(gN) 1N(a )(RE )k(gENa)(gEN) 1N(a )(g)(gE 2、 是一致估計量，即)(g 1)(g E)(g P)(R)k(gNa)(gN)1N(auy1N0kp2pp2p方程兩邊同取二階原點(diǎn)矩，可得：)(RE )k(gNa)(gN) 1N(aE2uy21N0kp2pp2p0)(g D第128頁/共259頁130)(g)(gE 22同證明無偏性一樣，可得：)(RE )k(gNa)(gN)1N(

39、aE2uy21N0kp2pp2p)(g)(gE 無偏性 ：)(g)(g)(g 2)(g E)(g E)(g E)(g D222可得 的方差為:)(g 0)(g)(g2)(g222自然說明了估計量 的有效性。0)(g D)(g )k(gNa)(gN)1N(aE21N0kp2pp2p21N0kp2pp2 )k(gNa)(gN)1N(ap是一致估計量。)(g 第129頁/共259頁131三、提高估計精度的方法的估計精度取決于Ruy()的精度。)(g 1、提高采樣速率提高Ruy()的精度：取采樣周期To= / (=14),用更多的y(t)數(shù)據(jù)計算Ruy()。2、采用多個周期的M序列輸入r+1個周期的M

40、序列，測得r個周期的y(t)計算Ruy()。1N,0,1,2, )k(u)k(yNr1)(Rp1Nr0kpuyp通常取 r = 144第130頁/共259頁132四、計算 的方法（采用多個周期）)(g 1、一次完成法（離線計算法）定義：) 1N(g ) 1 (g ) 0 (g gp) 1N(R ) 1 (R ) 0 (R Rpuyuyuyuy1N,0,1,2, )k(R)(R)1N(aN)(g p1N0kuyuyp2pp1N,0,1,2, )k(u)k(yNr1)(Rp1Nr0kpuyp )k(R)(R2)k(R)1N(aN1N1kuyuy10kuyp2ppuyp2pR 211121112)

41、1N(aNg上式寫出向量矩陣形式：第131頁/共259頁133) 1rN(y ) 1 (y ) 0(y )NrN(u) 2N(u) 1N(u) 2rN(u) 0(u) 1(u) 1rN(u) 1 (u) 0(uNr1R ppppppppuyUNp x r NpYr Np x 1YUNr1p R 211121112) 1N(aNguyp2pYU 211121112) 1N(ar1p2 1N,0,1, )k(u)k(yNr1)(R ) 1N(R ) 1 (R )0(R R p1Nr0kpuypuyuyuyuyp第132頁/共259頁1342）需要輸入r+1個周期的u(k)：u(-Np+1) u(r

42、 Np-1) 。特點(diǎn)： 1）一次離線求出 （=0,1，Np-1)。)(g 3）精度要求較高時，Ruy()的計算精度要高，r的數(shù)目要大， 所以數(shù)據(jù)存儲量大。4）不是遞推公式，無法在線辨識。 YU 211121112) 1N(ar1g p2第133頁/共259頁1352、遞推算法 設(shè)已獲得M對I/O數(shù)據(jù)，且M （ = 0,1，Np-1 ， M Np-1），即必須先觀測至少一個周期。 1N,0,1,2, )k(u)k(y1M1)M,(RpM0kuyu(My(M) )k(u)k(yM1M1M11M0k）uyuypM1 R( ,M)R( ,M1) y(M) u(M M1M1 (0,1,2,N1) ） R

43、uy()的遞推公式，即全部的M對I/O數(shù)據(jù)的Ruy(,M) 可以用過去的(M-1)對I/O數(shù)據(jù)算得的Ruy(,M-1)和第M次觀測的最新數(shù)據(jù)y(M)和u(M)遞推地計算出。 第134頁/共259頁136可得向量矩陣形式：令)M, 1N(R )M, 1 (R)M, 0(R RpuyuyuyM,uy) 1NM(u ) 1M(u)M(u UpMM,uyp2pMR 211121112)1N(aNg Uy(M)1M1R1MMR M1Muy,M,uyuyuypM1 R( ,M)R( ,M1) y(M) u(M M1M1 (0,1,2,N1) ）第135頁/共259頁137M,uyp2pMR 2111211

44、12) 1N(aNgUy(M)1M1 R1MM 211121112) 1N(aNM1Muy,p2p 可以通過過去的 和最新的數(shù)據(jù)y(M)和u(M)在線求得，隨著I/O數(shù)據(jù)的增加， 的精度不斷地提高。Mg 1Mg Mg Uy(M)211121112) 1N(aN1M1 g1MM g Mp2p1MM遞推公式第136頁/共259頁138 用逆重復(fù)M序列辨識線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，比采用M序列所得的算式更簡單。 pT0l ly ldt) t(R) t (g)(RpT02 l l1 l ldt)t(R) t(R)t (gpT02 l ldt) t(R) t (gC 對于周期為2Tp的逆重復(fù)M序列，仍要求

45、Tp滿足 (Tp- ) Ts 。可得維納霍甫方程為： Cdt) t(R) t (gpT01 l l第137頁/共259頁139 Ts（系統(tǒng)的過渡過程時間）。工程上一般?。?Np = (1.21.5) Ts / 在理論推導(dǎo)時，假設(shè)：當(dāng) t (Np-1) 時，g(t) 0 一般?。杭缺ＷC系統(tǒng)的線性，又不超出設(shè)備允許公差的最大幅值 a 。第144頁/共259頁146五、計算Ruy() 在生產(chǎn)現(xiàn)場做試驗(yàn)，一般是在系統(tǒng)的正常工作狀態(tài) uo上再附加一個PRBS 輸入 u(t) 。 當(dāng) t Ts 后，系統(tǒng)的非零初始條件將消失， y(t) 中的零輸入響應(yīng)消失了，只剩下由 u(t) 激起的強(qiáng)制響應(yīng)，此時 y(t

46、) 已經(jīng)是一個平穩(wěn)隨機(jī)過程了。 所以，必須對系統(tǒng)先加一個周期 u(t) 的預(yù)激勵，從第二周期開始再量測 I/O 數(shù)據(jù)，用以計算Ruy() 。b系統(tǒng)的實(shí)際輸入： u*(t) = uo+ u(t) 系統(tǒng)的實(shí)際輸出： y*(t) = yo+ y(t) 所以，計算 Ruy() 時必須從實(shí)際輸出 y*(t) 中將穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù) yo 除去。第145頁/共259頁147 設(shè)MIMO系統(tǒng):輸入:u1(t),u2(t),uJ(t) 輸出:y1(t),y2(t),yI(t)JIIJ1IJ221J111)(g)(g)(g)(g)(g)(g)(G) t (u) t (u) t (u) t (UJ21G() t (y) t

47、 (y) t (y) t (YI21為了辨識多變量系統(tǒng) G() ，需要辨識IJ個子系統(tǒng)： gij() (i=1,2,I ; j=1,2,J)第146頁/共259頁148式中T1 是所有子系統(tǒng) gij()中最大的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間，即： 0)(g T T maxTijssj , i1時，J1jT0jiji1d)t (u)(g) t (y第i個輸出：顯然，yi(t) 與 J 個子系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)有關(guān)。 設(shè)uj(t) (j=1,2,J) 均為周期性試驗(yàn)信號，且周期T T1 ,與SISO系統(tǒng)相似，可得MIMO系統(tǒng)的維納霍甫方程：多變量系統(tǒng)卷積公式為向量矩陣形式:1T00d)t (U)(Gd)t (U)(G)

48、t (Y1T0uuuydt) t(R) t (G)(RIJ IJ JJ第147頁/共259頁149JIyuyuyuyuyuyuT0J1I1)(R)(R)(R)(R)(R)(Rdt)t (u)t (u) t (y) t (yT1IJI12J211J11T0Tuudt)t (U) t (UT1)(R式中:T0Tuydt)t (U) t (YT1)(RJJuuuuuuuuuuuuT0J1J1)(R)(R)(R)(R)(R)(Rdt)t (u)t (u) t (u) t (uT1JJJ12J211J11第148頁/共259頁150第j個輸入、第i個輸出的維納霍甫方程：1Jj1jijT0uuuuiJ1

49、iyudt) t(R) t(R) t (g) t (g)(Rdt) t(R) t (gdt) t(R) t (g11mjjjT0Jjm1mT0uuimuuij 第 j 列、第 i 行自相關(guān)函數(shù)若uj(t)（j=1,2,J）為互不相關(guān)，即：)J, 2 , 1m , jm( 0)(Rmjuu 且 uj(t) 又最好都是 M 序列或逆重復(fù) M 序列 ,則可以用類似前面 SISO 系統(tǒng)的相關(guān)法求得：)()(Rjjuu) t (gj i由于存在第二項(xiàng)互相關(guān)函數(shù)，使得求 產(chǎn)生困難。) t (gj i=0互相關(guān)函數(shù)第149頁/共259頁151 取 uj(t) = M 序列， um(t) = Um = Con

50、st ( m j )1、逐個試驗(yàn)法) J , 2 , 1m , jm( C)a(TUdt)t (uTU)(RmpmT0jpmuupmjI),1,2,(i C dt) t(R) t (g)(R 1jjijT0uuijyu缺點(diǎn)： 1）若輸入多，J 較大時，則試驗(yàn)時間較長。 2）各個輸入之間的交叉作用不能充分反映出來，誤差較大。根據(jù) uj(t) 和 y1(t), y2(t),yI(t) 可求得 G() 的第 j 列：)(g, )(g, )(gIjijj1 繼續(xù)改變 uj(t) , 讓 j = 1, 2,J ，可求得 G() 的全部 IJ 個元素：J),2, 1j I;,2, 1i ( )(gij“1

51、”比“0”的狀態(tài)多1個第150頁/共259頁1522、聯(lián)合試驗(yàn)法 為了消除式中的第二項(xiàng)互相關(guān)函數(shù)，最好的辦法是使得: uj(t) (j=1,2,J) 為互不相關(guān)，即在一個T周期內(nèi)：) jm( 0)(R)(K)(Rmjjjuuuu2）當(dāng) J 2 時： 利用 M 序列的移位相加性質(zhì)，可以從一個 M 序列得到J 個 M 序列，它們的相位依次后移了Np J 個碼。1）當(dāng) J = 2 時： 在 2Tp 內(nèi)：M序列與逆重復(fù)M序列是不相關(guān)的。 所以，兩個輸入可以分別采用M序列和逆重復(fù)M序列。同時可求得 G() 的全部 IJ 個元素：J),2, 1j I;,2, 1i ( )(gij第151頁/共259頁15

52、3)T 1J t (u)JN 1J t (u) t (u JT JN T其中： )T2t (u)JN2t (u) t (u )Tt (u)JNt (u) t (u ) t (u) t (u JpJppJJp3Jp21pjT01jjp1juudt)t (u) t (uT1)(RpT0Jjjpdt)Tt (u) t (uT1對于 M 序列：) 1N( ,2 0Na 0 a )(RPp22uu第152頁/共259頁154ppjT0JjjpT01jjp1juudt)Tt (u) t (uT1dt)t (u) t (uT1)(R 取 0)(g T T maxTTijssj , i1J時，在小于一個 TJ

53、 內(nèi)：uj(t) 與 uj+1(t) 以及其它的 um(t) 都不相關(guān)。第153頁/共259頁155 上述兩種方法僅適合 J 4 時的系統(tǒng)，否則試驗(yàn) 時間會太長，可能破壞 y(t) 為平穩(wěn)過程的假設(shè)。 只需要一個Tp 就可求得 G() 的全部 IJ 個元素：J),2, 1j I;,2, 1i ( )(gij J 試驗(yàn)時間增長 。 逐個試驗(yàn)法：每個 uj(t) 都要試驗(yàn)兩個 Tp（預(yù)激勵 + 試驗(yàn)） 0)(g T T maxJTJTijssj , i1p時，聯(lián)合試驗(yàn)法：求 Ruu 和 Ruy 時要試驗(yàn)兩個 Tp ，而且：5第154頁/共259頁156第155頁/共259頁)nk( C) 1k(

54、C)k( )nk(uB) 1k(uB )k(uB )nk(y a) 1k(y a)k(y n1n10n1)k( e)nk(uB)k(uB)nk(y a) 1k(y a)k(y n0n1（過程噪聲） R)k( e )nk( C) 1k( C)k()k( e mn1令：mmin1iiim1rmjn0jjj111in1iii1RC zCI)z(CRB zB)z(BRa za1)z(a )k()C(ze(k) 1)k()z(C)k(u)z(B)k(e)k(u)z(B)k(y)z(a 1111引入延遲算子 z-1 ： ) 1k(x z)k(x 1)白噪聲 (R)k( ,R)k(y ,R)k(u其中：mm

55、r157第156頁/共259頁158CARMA模型（可控自回歸滑動平均模型） 1、CARMA： （Controlled Auto-Regression Moving Average）對于SISO系統(tǒng)：)k()z(C)k(u)z(b)k(y)z(a 1112、CAR（可控自回歸）： )n,1,2,i ( 0Ci)k()k(u)z(b)k(y)z(a 113、ARMA（自回歸滑動平均）： )n,1,2, 0j ( 0bj)k()z(C)k(y)z(a 11第157頁/共259頁1596、靜態(tài)自回歸：n = 0 （回歸分析）5、MA（滑動平均）： )n,1,2, 0j ( 0bj)n,1,2,i (

56、 0ai)k()z(C)k(y1)k()k(ub)k(ub )k(y r14、AR（自回歸）： )n,1,2,0j ( 0bj)n,1,2,i ( 0Ci)k()k(y)z(a 1第158頁/共259頁160一、最小二乘法（ L S ） SISO的隨機(jī)差分方程描述（CAR模型可控自回歸 ）： )n,1,2,i ( 0c , 0bi0（白噪聲）)k()k(e )k( e)nk(ub) 1k(ub)nk( y a) 1k( y a)k( y n1n1其中 u(k) 和 y(k) 為實(shí)際測量的 I/O 序列， e(k) 為過程噪聲（觀測噪聲）。 假設(shè) e(k) 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，具有零均值

57、和方差2 。 上述方程可寫成：)k( e)nk(ub) 1k(ub)nk( y a) 1k( y a)k( y n1n1待估未知參數(shù) 2n 個： b,b,a,a n1n1T第159頁/共259頁161 為了估計 2n 個參數(shù)，必須觀測 N+n 次，N 2n，從而得到 N 個方程組。定義：1Nx)Nn(y)2n(y) 1n(yY1Nx)Nn( e)2n( e) 1n( een2NxTTT)N(u) 1Nn(u)N(y) 1Nn(y) 2(u) 1n(u) 2(y) 1n(y) 1 (u)n(u) 1 (y)n(y)Nn() 2n() 1n()nk(u ) 1k(u )nk(y ) 1k(y )k

58、(T每一個觀測方程：Nn,1,nk )k(e)k()k(yT)k( e)nk(ub) 1k(ub)nk( y a) 1k( y a)k( y n1n1第160頁/共259頁162每一個觀測方程：Nn,1,nk )k(e)k()k(yT可得觀測方程組的向量矩陣方程：eY最小二乘的標(biāo)準(zhǔn)格式 特點(diǎn)：輸出關(guān)于參數(shù)是線性的。 最小二乘估計準(zhǔn)則： 在最小二乘模型類（CAR模型）中，找出這樣一個模型，在這個模型中，系統(tǒng)參數(shù)向量 的估計量 ，使得性能指標(biāo)函數(shù)（標(biāo)量函數(shù)）： )Y()Y( ee ) in(eJTTN1i2因?yàn)?J 是 的二次函數(shù)，所以 J 存在極值。 min第161頁/共259頁163 極小化估

59、計準(zhǔn)則 J 的必要條件：正規(guī)方程式 T eeJT)Y()Y(0)Y(2T從而得：YTTYT1T）（解的表達(dá)式 T)Y(J)Y(T)Y(2)(0Ja估計量 的解： 第162頁/共259頁164 極小化估計準(zhǔn)則 J 的充分條件： TJ為正定的。 T TT )Y(2(J為實(shí)對稱陣為實(shí)矩陣 T 若T是正則的(非奇異)， 則0)(Ti 0(A)中至少有一個(A)為奇異陣A iiT是準(zhǔn)正定的0)(Ti0)(TiT是正定的滿足 J 極小的充分條件。T2)Y(2)(JT第163頁/共259頁165 因?yàn)?T 與 無關(guān)（為常矩陣），所以 J 只有一個局部極小值存在，當(dāng)然也是全局極小值。 故最小二乘估計量 是唯一

60、的。 Y 殘差： LS 的估計準(zhǔn)則實(shí)際上是: 使得殘差平方和為觀測誤差平方和的極小值。)Y()Y()(JTT)J(min eemin)Y()Ymin(TT 由于在 中， 是在取好足夠數(shù)據(jù)后一次計算出來的，所以稱之為一次完成估計式。Y)(T1T第164頁/共259頁166二、遞推最小二乘法 遞推算法可以減少內(nèi)存存貯量和計算量，同時還可以實(shí)現(xiàn)在線辨識。在一次完成法中： I/O數(shù)據(jù)越多 結(jié)果精度越高 存貯量增大，計算量增大 設(shè)觀測 N+n 對 I/O 數(shù)據(jù)后，獲得參數(shù)最小二乘估計為)N()N(Y)N()N()N()N(T1T其中：n2NTTT)Nn()2n() 1n()N(1N)Nn(y)2n(y)