二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、 (),1,2,3kkXP Xxpk定定義義 設(shè)設(shè) 為為離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量，其其概概率率分分布布律律為為11kkkkkkx px pX若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，則則稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的( (或或數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望均均值值) )，記記作作1()kkkE XEXx p ,) (,),1,2,3ijijX YP Xx Yypij定定義義 設(shè)設(shè)( (為為離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量，其其概概率率分分布布律律為為11()()iijijE XEXxp11( )()iijiiE YEYypXp1234 . 02 . 04 . 0解解XY1231 0120.10.10.1

2、0.10.10.0030.例例1 設(shè)設(shè) ( X , Y ) 的分布律為的分布律為(),( ).E XE Y求求. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得. 03 . 014 . 003 . 01)( YE得得Yp1 013 . 04 . 03 . 0的分布律為的分布律為Y( ),( )Xf xxf x dxX 定定義義 設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為如如果果積積分分絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，則則稱稱該該積積分分值值為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望( (均均值值) )，即即( )EXxf x dx ( )x f x dxX 若若積積分分發(fā)發(fā)散散，則則稱

3、稱 的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望不不存存在在. .()( )XE Xxfx dx 設(shè)設(shè)(X, Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則( , )xf x y dxdy ( )( )YE Yyfy dy ( , )yf x y dxdy 例例2 設(shè)設(shè)(X, Y)服從服從G上的均勻分布，其中上的均勻分布，其中G為為xoy平平面內(nèi)由面內(nèi)由x軸、軸、y軸及軸及 圍城的三角區(qū)域圍城的三角區(qū)域.12yx 求求 E(X)，E(Y).解解1, ( , )( , )0, ( , )x yGf x yx yG 2(1)yxxy012G()( , )GE Xxf x y dxdy 13 12(1)00 xdxx

4、dy ( )( , )GE Yyf x y dxdy 12(1)00 xdxydy 23 1(),( ) ()( ) ( ),kkkg xpXE YE g Xg x f x dxX 離離散散型型連連續(xù)續(xù)型型 該公式的重要性在于，當(dāng)我們求該公式的重要性在于，當(dāng)我們求Eg(X)時(shí)時(shí), 不不必知道必知道g(X)的分布，只需知道的分布，只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 這這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便. dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()( 定理定理2 設(shè)設(shè)g (X,Y) 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X、Y的函數(shù)，且的函數(shù)，且Eg(X,Y)存在

5、存在 (2) 如果如果X、Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度是連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度為為 f(x, y)，則，則 (1) 如果如果X、Y是離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率分是離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率分布為布為 pij , i,j=1,2, ，則，則 11( ) (, )(,)ijijjiE ZE g X Yg x yp 解解XY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.2(),() .E Y XEXY 例例3 設(shè)設(shè) ( X , Y ) 的分布律為的分布律為求求1 0121 21031p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1,

6、2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 0p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得. 5 1 . 0313 . 001 . 0211 . 0211 . 011 . 002 . 01 XYE于于是是.151 . , 0, 10 ,2)(. , 0, 10 ,3)(,00:1300:12 2時(shí)間的數(shù)學(xué)期望時(shí)間的數(shù)學(xué)期望

7、求先到達(dá)者需要等待的求先到達(dá)者需要等待的其他其他其他其他的概率密度分別為的概率密度分別為已知已知立立相互獨(dú)相互獨(dú)和和且設(shè)且設(shè)間間分別是甲、乙到達(dá)的時(shí)分別是甲、乙到達(dá)的時(shí)設(shè)設(shè)會(huì)面會(huì)面在在甲、乙兩人相約于某地甲、乙兩人相約于某地 yyyfxxxfYXYXYXYX例例11解解的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為和和 YX . , 0, 10 , 10 ,6),(2其他其他yxyxyxf112006d dxyx y x y 21dd6)(dd6)(22DDyxyxyxyxyxyx61121 ).(41小時(shí)小時(shí) ()E XY 1200d()6dxxxyx y y1120d()6dxxxyx y y方差的定義

8、方差的定義2()()DXVar XE XEX21()kkkDXxEXp 2()( )DXxEXf x dx .)()()(22XEXEXD 二維隨機(jī)變量方差的計(jì)算方法與一維類似，但二維隨機(jī)變量方差的計(jì)算方法與一維類似，但需要先根據(jù)聯(lián)合分布計(jì)算邊緣分布，再根據(jù)具體公需要先根據(jù)聯(lián)合分布計(jì)算邊緣分布，再根據(jù)具體公式求解方差。式求解方差。(1) 01( )0 cxxxXf x其他c(21)DX (1) 01( )0 cxxxXf x其他4 01,01(, )( , ) 0 (23 )xyxyX Yf x yDXY隨機(jī)變量其他求：).()()(YDXDYXD )()()(2YXEYXEYXD 2)()(

9、YEYXEXE 22( )( )2 ( )( )E XE XEYE YE XE XYE Y 2 ()( )2 ()EXE XYE YE XYXEYYEXEXEY 2 ()2 ()E XYEXEYEYEXEXEYE XYEXEY 1. 定義定義 任意兩個(gè)隨機(jī)變量任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和和Y的協(xié)方差的協(xié)方差,記為記為Cov(X,Y), 定義為定義為 2. 性質(zhì)性質(zhì)(1) Cov(X,C)= 0, C為常數(shù)為常數(shù)(2) Cov(X,X)= D(X)(3) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) (6) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov

10、(X2,Y) (5) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常數(shù)是常數(shù)(7) D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)(4) Cov(aX+b, Y) = a Cov(X,Y) a,b 是常數(shù)是常數(shù)Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可見可見，若若X 與與 Y 獨(dú)立，獨(dú)立， 則則Cov(X,Y)= 0 .3. 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(

11、Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即即例例1 已知離散型隨機(jī)變量已知離散型隨機(jī)變量(X, Y)的概率分布如下：的概率分布如下：(,).Cov X Y求求XY20120.10.0.1510.10.0.05030.1 020解解 易求得易求得X，Y的概率分布分別為的概率分布分別為(0)0.3, (1)0.45, (2)0.25P XP XP X(1)0.55, (0)0.25, (2)0.2P YP YP Y ()0.95, ( )0.15E XE Y 從而從而例例1 已知離散型隨機(jī)變量已知離散型隨機(jī)變量(X, Y)的概率分布如下：的概率分布如下：(,).Cov X Y

12、求求XY20120.10.0.1510.10.0.05030.1 020()E XY 于是于是0 ( 1) 0.10 0 0.20 2 02 2 0.10 0.95 0.150.1425(,)Cov X Y ()() ( )E XYE X E Y 解解 1(), 01, 02, ( , )30, xyxyf x y 其其他他例例2 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為求求Cov(X, Y).解解 yxyxfxXEdd),()( 21001d()d3yx xyx2011+d332yy 59 1(), 01, 02, ( , )30, xyxyf x y 其

13、其他他例例2 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為求求Cov(X, Y).解解 2100111( )d()d39E Yyy xyx210012()d()d33E XYyxy xyx(,)Cov X Y ()() ( )E XYE X E Y 181 221, 1 ( , )0, xyf x y 其其他他例例3 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為求求Cov(X, Y)，并判斷，并判斷X與與Y是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立.解解 ( )( , )Xfxf x y dy 22111, 10, xxdyx 其其他他22 1,

14、10, xx 其其他他同理，同理，22 1, 1( )0, Yyyfy 其其他他X與與Y不相不相互獨(dú)立互獨(dú)立()( )XE Xxfx dx 1212 10 xxdx ( )( )YE Yyfy dy 1212 10yydy ()( , )d dE XYxyf x yx y 221111d1d0 xxxxyy (,)Cov X Y ()() ( )E XYE X E Y 0 由此可知，由此可知， X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立Cov(X,Y)=0反之不一定成立反之不一定成立 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互間相互間的關(guān)系，但它還受的關(guān)系，但它還受X與與Y本身度量

15、單位的影響本身度量單位的影響. 例如：例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了就引入了相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) .為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 和和 Y 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù) .定義定義 設(shè)設(shè) D(X)0，D(Y)0，稱，稱)()(),(YDXDYXCovXY 在不致引起混淆時(shí)在不致引起混淆時(shí)，記記 為為 .XY 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：11 | . 證證: 由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) b, 有有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b C

16、ov(X,Y )(),(XDYXCovb 令令，則上式為，則上式為 D(Y- bX)= )(),()(2XDYXCovYD)()(),(1)(2YDXDYXCovYD1)(2 YD由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1- 0, 所以所以 | |1 22. 1XY 存在常數(shù)存在常數(shù) a, b (b0)，使使 PY= a + b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 線性相關(guān)線性相關(guān).注：注：相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)XY 刻畫了刻畫了X與與Y的的“線性相關(guān)線性相關(guān)”程度程度.XY 的值越接近的值越接近1，Y與與X的線性相關(guān)程度越高；的線性相關(guān)程度越高；XY 的值越接近的值越接近0，Y

17、與與X的線性相關(guān)程度越弱的線性相關(guān)程度越弱.1XY 時(shí)，時(shí)，Y可完全由可完全由X的線性函數(shù)給出；的線性函數(shù)給出；0XY 時(shí)，時(shí)，Y與與X之間不是線性關(guān)系之間不是線性關(guān)系.由于當(dāng)由于當(dāng)X和和Y獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)= 0.故故(,)0()()Cov X YD XD Y 請(qǐng)看下例請(qǐng)看下例.3. X和和Y獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)， =0，即，即X與與Y不相關(guān)不相關(guān).注：注：0XY 時(shí)，只說明時(shí)，只說明Y與與X之間沒有之間沒有線性關(guān)系，線性關(guān)系，并不能說明并不能說明Y與與X之間沒有之間沒有其他函數(shù)關(guān)系，其他函數(shù)關(guān)系，從而不能推出從而不能推出Y與與X相互獨(dú)立相互獨(dú)立.從而從而0, 即即X與與Y不相關(guān)不相

18、關(guān) .即即X與與Y不獨(dú)立不獨(dú)立 .解解1()sin d02E X 1( )cos d02E Y 1()sincos d02E XY 但但X與與Y滿足滿足221XY例例4 設(shè)設(shè) 服從服從 上的均勻分布，上的均勻分布， ， ，判斷，判斷X與與Y是否相關(guān)，是否獨(dú)立？是否相關(guān)，是否獨(dú)立？ , sinX cosY 定理定理 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X與與Y的方差都存在，且均不的方差都存在，且均不為零；則下列四個(gè)命題等價(jià)為零；則下列四個(gè)命題等價(jià). 0XY （1） ； （2）Cov(X ,Y) = 0； （3）E(XY)=EXEY；（4）D(X Y)=DX+DY. 但可以證明對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)但可以證

19、明對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)前面，我們已經(jīng)看到：前面，我們已經(jīng)看到：若若 X 與與 Y 獨(dú)立，則獨(dú)立，則X與與Y不相關(guān)不相關(guān).但由但由X與與Y不相關(guān)，不一定能推出不相關(guān)，不一定能推出X與與Y獨(dú)立獨(dú)立.若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X與與Y獨(dú)立獨(dú)立X與與Y不相關(guān)不相關(guān)解解yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023 ,75 261(), 01, 02, ( , )720, xxyxyf x y 其其他他例例5 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為求求(X, Y)的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù).yxxyxxXEdd )21(76)(1020222 ,7039 ,49023757039)( 2 XD故故xyxyxyYEdd )21(76)(10202 因?yàn)橐驗(yàn)?78 xyxyxyYEdd )21(76)(1020222 ,2134 ( 2 YD故故xyx