大學(xué)物理質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量

1、教材閱讀指導(dǎo)教材閱讀指導(dǎo)：P79-2326行，行，P87_94:不要求不要求其余要其余要本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)：角動(dòng)量的定義角動(dòng)量的定義;守恒條件及應(yīng)用守恒條件及應(yīng)用本章難點(diǎn)本章難點(diǎn)：矢量運(yùn)算矢量運(yùn)算第五章：角第五章：角動(dòng)量動(dòng)量守恒守恒一一. 質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)的角動(dòng)量二二. 力矩力矩 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理三三. 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律五五. 角動(dòng)量守恒定律應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律應(yīng)用四四. 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律點(diǎn)積的微商點(diǎn)積的微商點(diǎn)積點(diǎn)積abba abba btatbabat dddd)(dd2aaa 0aa 叉積的微商叉積的微商btatb

2、abat dddd)(dd叉積叉積數(shù)學(xué)準(zhǔn)備：矢量運(yùn)算知識復(fù)習(xí)：數(shù)學(xué)準(zhǔn)備：矢量運(yùn)算知識復(fù)習(xí)：kjiikjjik對定點(diǎn)對定點(diǎn)O：LsinmvrL 方向：矢量叉積方向：矢量叉積大?。捍笮。簡挝唬簡挝唬?或或smKg/.2sJ.12 TMLL右手四指從第一個(gè)矢量沿右手四指從第一個(gè)矢量沿 小于小于180度的方向轉(zhuǎn)到第度的方向轉(zhuǎn)到第 二個(gè)矢量時(shí)，拇指的方向。二個(gè)矢量時(shí)，拇指的方向。相對于相對于不同點(diǎn)不同點(diǎn),角動(dòng)量是角動(dòng)量是不同不同的的.一一. 質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)的角動(dòng)量OXYZrvLvrmprLvmr O 與與 同方向同方向L mSunrrvv例例2.行星在繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)的橢圓行星在繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)的

3、橢圓軌道上對軌道上對太陽太陽的角動(dòng)量：的角動(dòng)量：方向：方向：例例1.質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng),對對圓心圓心O點(diǎn)點(diǎn)的角動(dòng)量的角動(dòng)量mrvLOrvmvrLLLvrmprLsinmvrL 例例3.質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)對某定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)對某定點(diǎn)的角動(dòng)量：的角動(dòng)量：大?。捍笮。悍较颍悍较颍?思考思考: 什么情況下什么情況下L=0？Omrdv等于零嗎等于零嗎？sinmvrL mvddtBdABdtAdBAdtd )(* 微分公式微分公式)(vmrdtddtLd考慮：考慮：dtpdrvmrdtd)(vFFr 考慮角動(dòng)量變化的原因考慮角動(dòng)量變化的原因rFFrM zxyO二二.角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理1.力矩：力矩：Fr

4、M 力力 對對O點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩FdtLdM 2.角動(dòng)量角動(dòng)量定理定理：注意注意:(1)用于慣性系用于慣性系(2) 相對于相對于同一點(diǎn)同一點(diǎn)ML,rFa ao大小：大?。篗對對O點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩M關(guān)于力矩：關(guān)于力矩：方向：方向：右手螺旋法則右手螺旋法則a asinrFM 單位單位:N.m22 TMLLFr,取取 所在平面為所在平面為xoy平面平面對比中學(xué)的力矩對比中學(xué)的力矩力臂力臂=r sina ajgtvFrM xo例例4. x軸沿水平向右軸沿水平向右, y軸豎直向下軸豎直向下,在在t =0時(shí)刻將時(shí)刻將質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由的質(zhì)點(diǎn)由a處靜止釋放處靜止釋放,讓它自由下落讓它自由下落.求求在任意

5、時(shí)刻在任意時(shí)刻t ,質(zhì)點(diǎn)所受的質(zhì)點(diǎn)所受的對原點(diǎn)對原點(diǎn)O的力矩的力矩和和對原對原點(diǎn)點(diǎn)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量. 解：解：任意時(shí)刻任意時(shí)刻tjmgj yi a )(yajmgra avkamg )( vmrLjmgtj yi a )(kamgt 例例5.一質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量為一質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量為求質(zhì)點(diǎn)在求質(zhì)點(diǎn)在t = 1 s時(shí)所受力矩時(shí)所受力矩 . kttjtitL)812() 12(6232 kttji t)1636(2122 dtLdM 解：解： kji20212 t=1s 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 M常常矢矢量量 L對于某一定點(diǎn)，如果質(zhì)點(diǎn)所受的對于某一定點(diǎn)，如果質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩合外力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對為零，則質(zhì)點(diǎn)對同一

6、定點(diǎn)同一定點(diǎn)的的角動(dòng)量矢量角動(dòng)量矢量保保持不變。持不變。說明：說明：1.適用對象：適用對象：三三. 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律單個(gè)質(zhì)點(diǎn)；質(zhì)點(diǎn)系單個(gè)質(zhì)點(diǎn)；質(zhì)點(diǎn)系2.條件：條件：0 M0,0 MF0,0 MrF的的延延長長線線力力在在有心力場有心力場dtLdM 對單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：對單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：例例6.質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系在繩的一端的小球系在繩的一端,另一端通過另一端通過圓孔向下圓孔向下,水平面光滑。開始小球作圓周運(yùn)動(dòng)水平面光滑。開始小球作圓周運(yùn)動(dòng)(r1,v1)。然后向下拉繩然后向下拉繩,使小球做半徑為使小球做半徑為r2的圓周的圓周運(yùn)動(dòng)。求：運(yùn)動(dòng)。求：v2=？ v1r1r2FOv2解解:作用在小球的力始

7、終作用在小球的力始終通過通過O點(diǎn)（有心力）點(diǎn)（有心力）對對O點(diǎn)力矩點(diǎn)力矩=0質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒：角動(dòng)量守恒：2211rmvrmv)v(vv112)(21rr例例7.證明證明開普勒第二定律開普勒第二定律(Keplers laws )：行星對行星對太陽的太陽的徑矢徑矢,在在相等相等的時(shí)間內(nèi)掃過的時(shí)間內(nèi)掃過相等相等的面積。的面積。CdtdS 證明什么？證明什么？tSdtdSt 三三角角形形0lima a sinrrS21a asinlim210trrdtdSt a asin21dtrdr mLvrmL2 sin r21vma aLvrra asin21rr 行星對太陽的行星對太陽的徑矢徑矢掃過的面積

8、：掃過的面積：tSdtdSt 三三角角形形0lim 三三角角形形S討論：討論：行星行星受力受力方向方向與與矢徑矢徑在一條直線上在一條直線上(中心力中心力), 總總是與是與矢徑矢徑反平行的。反平行的。故對故對力心力心,質(zhì)點(diǎn)所受的質(zhì)點(diǎn)所受的力矩力矩為零為零,角動(dòng)量守恒！角動(dòng)量守恒！1.行星受力嗎行星受力嗎?常常量量 LmLvr力心力心F2.行星的行星的動(dòng)量動(dòng)量時(shí)刻在變嗎時(shí)刻在變嗎? 其其角動(dòng)量角動(dòng)量在變嗎在變嗎?CmLdtdS 20FrM解：解：1v1r2r2v2211rmvrmvf太陽對水星的引力指向日心太陽對水星的引力指向日心0 FrM對日心對日心,衛(wèi)星的衛(wèi)星的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒Fr例例8.

9、水星繞太陽運(yùn)行軌道的水星繞太陽運(yùn)行軌道的近日點(diǎn)近日點(diǎn)和和遠(yuǎn)日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)到太到太陽的距離分別為陽的距離分別為kmr711059. 4 kmr721098. 6 求水星越過近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的求水星越過近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速率速率。太陽水星系統(tǒng)太陽水星系統(tǒng),只有萬有引力作用只有萬有引力作用,機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒222121rGMmmv21rGMmvm21問題問題:能由水星在軌道上任意一點(diǎn)到日心的能由水星在軌道上任意一點(diǎn)到日心的 距離求出這點(diǎn)的速率嗎距離求出這點(diǎn)的速率嗎? iiLL1. 質(zhì)點(diǎn)系對定點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系對定點(diǎn)的角動(dòng)量 jFi jipiFijfjifOirjr Niiipr12. 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定

10、理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理 )(外iijijiiFfrdtLd 外)iiijijiiiFrfrdtLdLdtddtLdiiii()(合外力矩合外力矩 M外外合內(nèi)力矩合內(nèi)力矩 =0外外MFrdtLdiii 四四. 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理和和角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律0 iiifr易易證證：222frM 221121frfrMM 21ff 0)(2212222121 frfrrfrfrMM o2r1rr2f1f111frM 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)外外0 M常常矢矢量量 L對于某一定點(diǎn)，如果質(zhì)點(diǎn)系所受的對于某一定點(diǎn)，如果質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩外力矩的矢量和的矢量和為零，則質(zhì)點(diǎn)系對為零，則質(zhì)點(diǎn)系對同一定點(diǎn)同

11、一定點(diǎn)的的角角動(dòng)量矢量動(dòng)量矢量保持不變。保持不變。注意：注意： 對質(zhì)點(diǎn)系：對質(zhì)點(diǎn)系：是是不不同同的的條條件件與與0, 0 MF1F2FMOm3. 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 例例9.半徑為半徑為r的輕滑輪的中心軸的輕滑輪的中心軸O水平地固定在高處水平地固定在高處,其上穿過一條輕繩其上穿過一條輕繩,質(zhì)量相同質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子的兩個(gè)孩子,在在同一高同一高度從靜止開始度從靜止開始同時(shí)向上爬同時(shí)向上爬.任何時(shí)刻任何時(shí)刻,相對繩子相對繩子,甲甲的的速率是速率是乙乙的的2倍倍.試問誰先到達(dá)滑輪處？忽略摩擦試問誰先到達(dá)滑輪處？忽略摩擦. 解：以解：以二小孩二小孩為系統(tǒng)：為系統(tǒng)：外力：重力外力：重力內(nèi)力：二

12、質(zhì)點(diǎn)與繩子間的張力內(nèi)力：二質(zhì)點(diǎn)與繩子間的張力A. 甲甲 C. 同時(shí)到達(dá)同時(shí)到達(dá)B. 乙乙 D. 誰先到達(dá)不能確定誰先到達(dá)不能確定0外 imgrimgrM質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)點(diǎn)系對O角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒例例9.半徑為半徑為r的輕滑輪的中心軸的輕滑輪的中心軸O水平地固定在高處，水平地固定在高處，其上穿過一條輕繩，其上穿過一條輕繩，質(zhì)量相同質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子。在的兩個(gè)孩子。在同同一高度從靜止開始一高度從靜止開始同時(shí)向上爬，任何時(shí)刻，同時(shí)向上爬，任何時(shí)刻，相對相對繩子繩子，甲的速率是乙的，甲的速率是乙的2倍，試問誰先到達(dá)滑輪處？倍，試問誰先到達(dá)滑輪處？忽略摩擦。忽略摩擦。 解：以解：以二小孩二小孩為系統(tǒng)：為系統(tǒng)

13、：質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)點(diǎn)系對O角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒0 ivrmivrm乙乙對對地地乙乙甲甲對對地地甲甲乙乙對對地地甲甲對對地地vv C. 同時(shí)到達(dá)同時(shí)到達(dá)為什么星系是扁狀，盤型結(jié)構(gòu)？1.孤立系孤立系五五.角動(dòng)量守恒的幾種可能情況：角動(dòng)量守恒的幾種可能情況：(自閱教材自閱教材88頁頁 5-2-4)v1r1r2FOv22.有心力場有心力場,對對力心力心角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒.3.用分量式用分量式 雖然雖然 , 但對某軸外力矩為零但對某軸外力矩為零,則總則總角動(dòng)量不守恒角動(dòng)量不守恒,但對這軸的角動(dòng)量是守恒的但對這軸的角動(dòng)量是守恒的.0 iM xixLM;0常量常量 與剛體一同討論與剛體一同討論1v1r2r2vf

14、vrmprL1.質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量角動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的：質(zhì)點(diǎn)的位矢位矢與與動(dòng)量動(dòng)量的叉積的叉積3.質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)(系系)角動(dòng)量定理：角動(dòng)量定理：FrM 4. 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)(系系)角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律：2.對定點(diǎn)的對定點(diǎn)的力矩力矩：位矢：位矢與與力力的叉積的叉積時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)外外0 M常矢量常矢量 L本章總結(jié)本章總結(jié)：外外MFrdtLdiii 0 M0,0 MF0,0 MrF的的延延長長線線力力在在單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：對質(zhì)點(diǎn)系：對質(zhì)點(diǎn)系：是是不不同同的的條條件件與與0, 0 MF作業(yè)作業(yè): 5.1; 5.6; 5.7; 5.11(用給出量用給出量表示表示); 5.15下次上習(xí)題課，請帶下次上習(xí)題課，請帶書。書

15、。習(xí)題課一（習(xí)題課一（111頁）中，下列題不要頁）中，下列題不要: P54，5； P710； P98，9；2；P105，P12頁開始；頁開始；例例10. 兩個(gè)滑冰運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量各為兩個(gè)滑冰運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量各為70 kg,以以6.5 m/s的速率沿相反方向滑行的速率沿相反方向滑行,滑行路線間的垂直距離滑行路線間的垂直距離為為10 m當(dāng)彼此交錯(cuò)時(shí)各抓住當(dāng)彼此交錯(cuò)時(shí)各抓住10 m繩索的一端，繩索的一端，然后相對旋轉(zhuǎn)求然后相對旋轉(zhuǎn)求.(1)在抓住繩索在抓住繩索前后前后各自對繩各自對繩中心的角動(dòng)量是多少？中心的角動(dòng)量是多少？(2)他們各自收攏繩索他們各自收攏繩索,到到繩長為繩長為5 m時(shí)時(shí),各自的速率是多少？

16、繩子的張力是各自的速率是多少？繩子的張力是多少？多少？(3)在收攏繩索過程中各自做的功為多少？在收攏繩索過程中各自做的功為多少？總動(dòng)能如何變化？總動(dòng)能如何變化？解解.(1)每人對繩中心的角動(dòng)量每人對繩中心的角動(dòng)量 習(xí)題5.15圖0v0vO0r0rmmO2r2r2v2v00 0Lmrv2170 6 5 52275.kg ms(2)牽手過程中無外力矩作用，質(zhì)點(diǎn)系對繩牽手過程中無外力矩作用，質(zhì)點(diǎn)系對繩中心的角動(dòng)量守恒中心的角動(dòng)量守恒 習(xí)題5.15圖0v0vO0r0rmmO2r2r2v2v22112mr v = 2mr v-11212rv =v =13m sr2224732TmNrv22k211A=E =m(v -v )2(3)在收攏繩索過在收攏繩索過 程中各自做功程中各自做功 22