2013高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練-9.8直線與圓錐曲

1、HUOVE9CIANSHIXIJNLIAN 爐活頁(yè)限時(shí)訓(xùn)練 04 執(zhí)學(xué)備選；階拂魂第 A 級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 （時(shí)間：40 分鐘滿分：60 分） 一、選擇題（每小題 5 分，共 25 分） 1. （2012 荊州二檢）過點(diǎn)（0,1）作直線，使它與拋物線 y2= 4x 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這 樣的直線有（）. A. 1 條 B . 2 條 C . 3 條 D . 4 條 解析 結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有 3 條：直線 x= 0,過點(diǎn)（0,1）且 平行于 x 軸的直線以及過點(diǎn)（0,1）且與拋物線相切的直線（非直線 x= 0）. 答案 C 2. （2012 銅川模擬）過拋物線 y2 = 4x 的焦

2、點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn) A（x1，y”，B（x2, y2），若|AB|= 7,則 AB 的中點(diǎn) M 到拋物線準(zhǔn)線的距離為（ ）. 5 7 A.2 B.2 C. 2 D. 3 解析 由題知拋物線的焦點(diǎn)為（1,0），準(zhǔn)線方程為 x= 1由拋物線定義知：AB| P P =AF|+|BF| = X1 + 2+ x2 + 2 = X1 + X2+ p，即 X1 + X2 + 2= 7，得 X1 + x2 = 5，于是弦 5 5 7 AB 的中點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 2，因此 M 到拋物線準(zhǔn)線的距離為 2+ 1= 2. 答案 B 2 2 3設(shè)雙曲線 a2 b2= 1（a0, b0）的一條漸近線與拋物線 y= x

3、2+ 1 只有一個(gè)公 共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）. 5 5 A.4 B. 5 C. 2 D. 5 b 2 2 x_ y_ _ b i i y y=ax x， 解析 雙曲線 a2 b2= 1 的一條漸近線為 y= ax,由方程組 2 消去 y 得, HUOVE9CIANSHIXIJNLIAN 爐活頁(yè)限時(shí)訓(xùn)練 04 執(zhí)學(xué)備選；階拂魂第 Ly=x + 1 x2ax+1=0 有唯一解，所以二 a24= 0,a=2 答案 D4 3 3 A.5 B.5 C. 5 D. 5 y2 解析 設(shè)點(diǎn) A（X1, y”、B（X2, y2）.由題意得點(diǎn) F（1,0）,由4消去 y 得 x2 5x+ 4= 0, x=

4、1 或 x= 4,因此點(diǎn) A(1, 2)、B(4,4), F 云二(0, 2), F 目二 F 只 FE X 3+( 2 2X 4 4 2X 5 = 5,選 D. (3,4), coscosJ JAFBFB= |F云|尸廠答案 D 5. （2011 宜春模擬）已知 A，B 為拋物線 C： y2= 4x 上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，F(xiàn) 為拋物 線 C 的焦點(diǎn)，若 FA= 4FB，貝 U 直線 AB 的斜率為（ ）. 2 3 3 4 A. 3 B. 2 C. 4 D. 3 解析 由題意知焦點(diǎn) F（1,0），直線 AB 的斜率必存在，且不為 0,故可設(shè)直線 AB 的方程為 y= k（x 1）（k 工 0），代

5、入 y2= 4x 中化簡(jiǎn)得 ky2 4y4k= 0，設(shè) A（x1，y1）， B(x2, y2),則 y1 + y2 =4 4,y1y2= 4,又由 社4FB 可得 y1= 4y2, 4 聯(lián)立式解得 k= 3. 答案 D 、填空題（每小題 4 分，共 12 分） 2 2 6. （2011 北京東城檢測(cè)）已知 F1、F2為橢圓 25+ 9 = 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 F1的直線 交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)若|F2A|+ IF2B 匸 12,則|AB|=ca2 + b2 ,e= a= a = 4. （2011 全國(guó)）已知拋物 C： y2 = 4x 的焦點(diǎn)為 F, 直線 y= 2x 4 與 C 交于 A, B

6、 兩點(diǎn)，貝 U cos/ AFB =( ). 2X 5 解析 由題意知(AFi|+ AF2|)+ (|BF1|+ |BF2|)= AB|+ AF2| + |BF2= 2a+ 2a,又由 可得 AB|+ (|BF2|+ AF2|)= 20,即 |AB 匸 8. 答案 7. (2012 東北三校聯(lián)考)已知雙曲線方程是 X2 2 二 1,過定點(diǎn) P(2,1)作直線交雙 曲線于 Pi, P2兩點(diǎn)，并使 P(2,1)為 P1P2的中點(diǎn)，則此直線方程是 _ . 2 y1 2 y2 廠八八 解析 設(shè)點(diǎn) p p1(X1,y1),P2(X2,y2),則由 X1 = 1,血一2 = 1,得 k = X2X1 =

7、y2 + y1 2X 4 二T 二 4,從而所求方程為 4X y 7 二 0將此直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得 14X2 56X+ 51 = 0, A 0,故此直線滿足條件. 答案 4X y 7= 0 8. (2011 河南洛陽(yáng)、安陽(yáng)統(tǒng)考)已知拋物線 C 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F(0, 1)，直線 I 與拋物線 C 相交于 A, B 兩點(diǎn).若 AB 的中點(diǎn)為(2, 2),則直線 I 的方程為 _ . 2 解析 由題意知，拋物線的方程為X = 4y,設(shè) A(X1, y1), B(X2, y2)，且 X1工 X2, X1= 4y1, 2 兩式相減得 X1 X2= 4(y1 y2), y1 y2 X

8、1 + X2 1 X1 X2= 4 = ， 直線 I 的方程為 y+ 2= (X 2),即 y= X. 答案 X+ y= 0 、解答題(共 23 分) 9. ( )(11 分)設(shè) F1, F2分別是橢圓 E： X2+ b2= 1(0v bv 1)的左，右焦點(diǎn)，過 F1 的y2 y1 2 X2 + X1 直線 I 與 E 相交于 A, B 兩點(diǎn)，且 AF2|, AB|, BF2成等差數(shù)列. (1)求 AB|； (2)若直線 I 的斜率為 1,求 b 的值. 思路分析 第(1)問由橢圓定義可求；第(2)問將直線 I 與橢圓聯(lián)立方程組，利用 弦長(zhǎng)公式求解. 解 (1)由橢圓定義知|AF2|+ AB|

9、+ |BF2|= 4, 4 又 2AB= |AF21+ |BF2|,得 AB=3. (2)l 的方程為 y=x+ c, 其中 c= 1- b2. y=x+ c, J 2 設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2)，則 A, B 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 2也“ 化簡(jiǎn)得(1 lx +b2= 1, + b2)x2 + 2cx+ 1-2b2= 0. 2 2c 1 2b 則 X1 + X2= 1 + b2, X1X2= 1 + b2 因?yàn)橹本€ AB 的斜率為 1 , 4 所以 |AB|= 2x2 X1|,即 3 二 2x2 X1|. 8 4(1 b2)4(1 2b2) 8b4 返 則 9= (X1 + X

10、2)2 4x1X2= 1 + b2 2 1 + b2 = 1 + b2 2，解得 b= 2 【點(diǎn)評(píng)】解決直線與圓錐曲線的問題時(shí)，用到最多的是方程思想，即列方程組、 通過判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來研究方程解的情況，進(jìn)一步研究直線與圓錐曲線 的關(guān)系，同時(shí)處理范圍與最值問題時(shí)也要用到函數(shù)思想 10. (12 分)(2011 陜西)設(shè)橢圓 C: (1)求 C 的方程； 4 求過點(diǎn)(3,0)且斜率為 5 的直線被 16 解(1)將(0,4)代入 C 的方程得 R = 1,二 b= 4, c 3 a2 b2 9 16 9 又 e e= a= 5 得 a2 = 25, 即卩 1 1 a2 = 25,- a a

11、 = 5 5, 2 2 C 的方程為 25+ 16= 1. x_ y2 3 a2+ b2= 1(a b 0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為 5. C 所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo). 4 4 (2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為 5 的直線方程為 y=5(x3), 設(shè)直線與 C 的交點(diǎn)為 A(xi, yi), B(X2, y2), 4 將直線方程 y=5(x 3)代入 C 的方程，得 x2 x 32 2 25+ 25 = 1,即 x 一 3x 一 8= 0. 4 4 12 xi + x = 3, yi + y2 = 5(x1 + x2 6) = 5(3 6)= 5 . x + xz 3 yi + y2 6 - 2 =

12、2, 2 = 5. i3 6、 即中點(diǎn)為 2, 5 . B 級(jí)綜合創(chuàng)新備選 (時(shí)間：30 分鐘 滿分：40 分) 一、選擇題(每小題 5 分，共 10 分) 2 X 2 1. ()直線 y= kx+ 1,當(dāng) k 變化時(shí)，此直線被橢圓4 + y2= 1 截得的最大弦長(zhǎng)是 () A 4 B. 3 C. 2 D 不能確定 2 b0） 的左頂點(diǎn) A 且斜率為 1 的直線與橢 圓的另一個(gè)交點(diǎn)為 M，與 y 軸的交點(diǎn)為 B,若|AM|= |MB|，則該橢圓的離心率為 解析 由題意知 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,0）, l 的方程為 y= x+ a,/B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, 2 2 x y_ 一 4. （2012 金

13、華模擬）已知曲線 a b = 1（a 0,且 ab）與直線 x+y- 1 = 0 相交 T T 1 1 于 P、Q 兩點(diǎn)，且 OPOQ= 0（0 為原點(diǎn)），則 a b 的值為 _ - 2 2 4 4 a）,故 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 答案 3 a- 2 a-2, 代入橢圓方程得 a2= 3b2, c2二 2，0 于. 3 2 2 x y 2 解析 將 y= 1 x 代入 a - b = 1，得(b a)x + 2ax (a+ ab) = 0.設(shè) P(xi ,yi),Q(x2, 2xi X2 (X1 + X2) + 1. 2a+ 2ab 2a 所以 a b a b + 1 = 0,即 2a+ 2ab 2

14、a + a b= 0, 1 1 即 b a= 2ab,所以 a b= 2. 答案 2 三、解答題(共 22 分) 5. (10 分)(2012 株洲模擬)已知拋物線 C 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上， ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且厶 ABC 的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若 BC 所在直 線 I 的方程為 4x+ y 20= 0. (1) 求拋物線 C 的方程； (2) 若 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，P, Q 是拋物線 C 上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足 PO 丄 OQ,證明： 直線 PQ 過定點(diǎn). (1)解 設(shè)拋物線 C 的方程為 y2 = 2mx, 4x+ y 20= 0, 由 y2= 2mx, 得 2y2

15、+ my 20m = 0, / A0,. . m0 或 mv 160. m 設(shè) B(xi, yi), C(X2, y2),貝U yi + y? = 2 , r yTi 曲 m -xi + X2 = 5 4 + 5 4 = 10+ 8. 再設(shè) A(X3, y3),由于 ABC 的重心為 F 2，0 , Um X3= 8 10, 解得 m 2a y2)，貝 U xi + X2 二 ， Xix2 = a+ ab a b . OP OQ =X1X2+ yiy2= xix2 + (1 xi)(1 X2)= 匸 X1 + X2 + X3 m = ， yi + y2 + y =0, 3 y3= 2. 11m

16、 =2m 8 - 10 . m= 8,拋物線 C 的方程為 y2 = 16x. (2)證明 當(dāng) PQ 的斜率存在時(shí)，設(shè) PQ 的方程為 y= kx+ b,顯然 0, 0, T PO 丄 0Q,. kpokoQ= 1,設(shè) P(xp, yp), Q(XQ, yo),A XPXQ + ypyo = 0, 將直線 y= kx+ b 代入拋物線方程，得 ky2 16y+ 16b= 0, 2 2 , 2 16b ypyQ b 二 ypyQ= k 從而 XPXQ= 162 = k2, 2 b 迤 k2+ V 二 0, T kM0, bM0, 直線 pQ 的方程為 y= kx 16k, pQ 過點(diǎn)(16,0)

17、； 當(dāng) pQ 的斜率不存在時(shí)，顯然 PQ 丄X軸，又 PO 丄 OQ, y= |X|, POQ 為等腰三角形，由:y2= 16X, 得 P(16,16), Q(16, 16),此時(shí)直線 PQ 過點(diǎn)(16,0), 直線 PQ 恒過定點(diǎn)(16,0). 6. (12 分)(2011 福建)已知直線 I: y= X+ m, m R, (1) 若以點(diǎn) M(2,0)為圓心的圓與直線 I 相切于點(diǎn) P,且點(diǎn) P 在 y 軸上，求該圓的方 程； (2) 若直線 l 關(guān)于 X 軸對(duì)稱的直線為 I,問直線 I與拋物線 C：x2二 4y 是否相切？ 說明理由. 解 法一 (1)依題意，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(0, m). 0 m 因?yàn)?MP 丄 l，所以越X 1 二一 1, 解得 m= 2,即點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(0,2). 從而圓的半徑 r = |MP 匸 2 0 2+ 0 2 2= 2 .2, 故所求圓的方程為(X 2)2 + y2 = 8. (2)因?yàn)橹本€ l 的方程為 y= X+ m, 所以直線 l的方程為 y= X m, y= Xm, 由 x2= 4y 得 X2 + 4X+ 4m= 0. T點(diǎn) A 在拋物線上，二 =