現(xiàn)代控制理論習(xí)題解答

1、現(xiàn)代控制理論第1章習(xí)題解答1.1 線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)的區(qū)別何在？答：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：& Ax Buy Cx Du線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)的區(qū)別在于：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，上述狀態(tài)空間模型中的系數(shù)矩陣A, B, C和D中的各分量均為常數(shù)，而對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)，其系數(shù)矩陣A, B, C和D中有時(shí)變的元素。線性定常系統(tǒng)在物理上代表結(jié)構(gòu)和參數(shù)都不隨時(shí)間變化的一類系統(tǒng)，而線性時(shí)變系統(tǒng)的參數(shù)則隨時(shí)間的變化而變化。1.2 現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間模型與經(jīng)典控制理論中的傳遞函數(shù)有什么區(qū)別?答：傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型的主要區(qū)別如下：傳遞函數(shù)模型（經(jīng)典控制理論）狀態(tài)空間模型（現(xiàn)代控制理論）

2、僅適用于線性定常系統(tǒng)適用于線性、非線性和時(shí)變系統(tǒng)用于系統(tǒng)的外部描述用于系統(tǒng)的內(nèi)部描述基于頻域分析基于時(shí)域分析1.3 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型有哪幾種標(biāo)準(zhǔn)形式？它們分別具有什么特點(diǎn)?答：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型標(biāo)準(zhǔn)形式有能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型。對(duì)于 階傳遞函數(shù)G(s)bn 1Sn 1bn 2Sn 2 Lb1S bonn 1s an 1S Las %分別有能控標(biāo)準(zhǔn)型:能觀標(biāo)準(zhǔn)型:001001LL0000&MMMOM xM000L10%aa2Lan 11y打h lbn2bn1 x du00 L0a。b10 L0a1bi%01 L0a2% MuMM MMMbn 200 L1an 1b

3、n 10 0 L 0 1)% du對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型:p10L00P2L0&xMMOM00Lpny c1 c2 Lcn x du式中的p1, p2,L ,pn和G,c2,L ,cn可由下式給出,bn iSn1 bn 2Sn2 L biS b0G(S)Sn "1 L a1S a。GC2LS pi Sp2-c dS pn能控標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)：狀態(tài)矩陣的最后一行由傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式系數(shù)確定，其余部分具有特定結(jié)構(gòu)，輸出矩陣依賴于分子多項(xiàng)式系數(shù)，輸入矩陣中的元素除了最后一個(gè)元素是1外,其余全為0。能觀標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)：能控標(biāo)準(zhǔn)型的對(duì)偶形式。對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)：狀態(tài)矩陣是對(duì)角型矩陣。1.4 對(duì)于同一

4、個(gè)系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇是否惟一？答：對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)， 狀態(tài)變量的選擇不是惟一的，狀態(tài)變量的不同選擇導(dǎo)致不同的狀態(tài)空間模型。1.5單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在什么情況下，其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)中的直接轉(zhuǎn)移項(xiàng)D不等于零，其參數(shù)如何確定？答：當(dāng)傳遞函數(shù)G(s)的分母與分子的階次相同時(shí)，其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)中的直接轉(zhuǎn)移項(xiàng)D不等轉(zhuǎn)移項(xiàng)D的確定：化簡(jiǎn)下述分母與分子階次相同的傳遞函數(shù)G(s)bn Snbn 1 Sn 1b1s b0nn 1s an 1sa1s a0可得:G(s)n 1Cn 1SGSC0nn 1s an 1SaSa0由此得到的d就是狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)中的直接轉(zhuǎn)移項(xiàng)D。1.6 在仞1.2.2處理一般傳遞函數(shù)的狀態(tài)空

5、間實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，采用了如圖1.12的串聯(lián)分解,試問(wèn)：若將圖1.12中的兩個(gè)環(huán)節(jié)前后調(diào)換，則對(duì)結(jié)果有何影響？答：將圖1.12中的兩個(gè)環(huán)節(jié)調(diào)換后的系統(tǒng)方塊圖為：+ bs)圖中,as)112a(s) sa2sa1s a02,b(s) b2sb1s b0。由于s3y相當(dāng)于對(duì)y作3次積分，故 2 ,可用如下的狀態(tài)變量圖表示： m a(s)2m因?yàn)閟b相當(dāng)于對(duì)b作2次微分，故 一 b(s)可用如下的狀態(tài)變量圖表不 u因此，兩個(gè)環(huán)節(jié)調(diào)換后的系統(tǒng)狀態(tài)變量圖為取y x3, & 溝，&& x，可以得到兩個(gè)環(huán)節(jié)調(diào)換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為ai xbe b b2y兩個(gè)環(huán)節(jié)調(diào)換前的狀態(tài)空間模型是：

6、01xa。aia2a0 a2b2x1.7已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Y(s)U(s)2s 5sbe顯然，調(diào)換前后的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)是互為對(duì)偶的。試求其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形。答:系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形為：系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)形為：1.8考慮由下圖描述的二階水槽裝置,該裝置可以看成是由兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，它的方塊圖是:UiU2b2X2 sa2b1sa1Xi圖1.19二階水槽系統(tǒng)的方塊圖試確定其狀態(tài)空間模型。答：圖1.19中兩個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為X2a2X2b2U2y2又因?yàn)閁U1X2 ,所以X2X1X1adX2a?X26X2b2U2axbuy進(jìn)一步將其寫(xiě)成向量矩陣的形式,X1可得:X1X2b1X1

7、a2X2b10U1b2U2X1X21.9考慮以下單輸入單輸出系統(tǒng)鰥 6&& 11& 6y試求該系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形。6u答：由微分方程可得：G(s)-26s3 6s2 11s 6(s 1)(s 2)(s 3)C1s 1其中,c1Sim1C2Sim2C3lims :故該系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形為X1X2X3(s2)(s63)(s1)(s63)(s1)(s2)00X120X203X33X1X2X31.10已知單輸入單輸出時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為：&&t) 4&(t) 3y(t)&(t) 6U(t) 8u(t)試求：(1)建立此系

8、統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形；(2)根據(jù)所建立的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。答：(1)由微分方程可得2G(s)s 6s 8 / 2s 5-3 1s 4s 3 s 4s 32s 5 2s 5C1C2G 1(s) -,s 4s 3 (s 1)(s 3) s 1 s 3其中,c1.2slim s 1 s_53C2.2slims 3 s51從輸入通道直接到輸出通道上的放大系數(shù)x11x20d 1 ,由此可得0 x11u3 x213Xi2 2 x2101(2)由于 A, B , C031G(s) C(sI A) 1B D13(s 1)(s 2) 21.50.51.11 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s) 2s

9、 5 (s 3)(s 5)(1) 采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖;(2) 采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖。答：(1)將G(s)重新寫(xiě)成下述形式:G(s)1 2s 5s 3 s 5每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為:x13x1 u x25x2 u1和y1x1y5x22u1又因?yàn)閥13,所以x13x1ux2 x1 5x2 y 2x1 5x2因此，若采用串聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:XiX20Xi5 x2XiX2對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為:(2)將G(s)重新寫(xiě)成下述形式:G(S)0.52.5又由于X2每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為:&

10、3xi0.5uyiXiX25x22.5uy2X2Xi3xi0.5uX25x22.5uXiyiy2因此，若采用并聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:XiXiX2X20.5 u2.5XiX2對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為:1.12 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為)& Ax Bu, y Cx ,寫(xiě)出該系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式和傳遞函數(shù)矩陣。答：系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 det(sI A),一, 一一1 一傳遞函數(shù)為G(s) C(sI A) B o1.13 一個(gè)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)是否惟一 ？由狀態(tài)空間模型導(dǎo)出的傳遞函數(shù)是否惟一？ 答：一個(gè)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)不惟一；而由狀態(tài)空間模型導(dǎo)出的傳遞函數(shù)是惟一的。1.14 已知

11、系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為x Ax Bu, y Cx ,寫(xiě)出其對(duì)偶狀態(tài)空間模型。答：其對(duì)偶狀態(tài)空間模型為： AT CTu y BT1.15 兩個(gè)對(duì)偶狀態(tài)空間模型之間的特征多項(xiàng)式和傳遞函數(shù)有什么關(guān)系？xAxBuAT Tn答：對(duì)于互為對(duì)偶的xAxBu與xATxC u,它們對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式分別為yCxyB det(sI A)和det(sI AT)。由于一個(gè)矩陣和其裝置的特征多項(xiàng)式是相同的，故互為對(duì)偶的兩個(gè)狀態(tài)空間模型具有相同的特征多項(xiàng)式。它們對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為G (s) C(sI A) 1 BG2(s)BT (siAT) 1CTC(si A) B det(si A) BT (siAT ) CT由于 de

12、t(sI AT) det(sI A), C(sI A) Bdet(sIT BT(siAT)AT) CT ,故對(duì)偶狀態(tài)空間模型之間的傳遞函數(shù)關(guān)系為G1(s) G2(s)T ,即互為轉(zhuǎn)置。1.16 考慮由以下?tīng)顟B(tài)空間模型描述的系統(tǒng)：2 0106 x u651y 1 1x試求其傳遞函數(shù)。答：由于G(s) C(si(si A)1 _1 _A) B D C(si A) B1 s 5 1s(s 5) 66 s1.17答:(sI因此,1.18答:G(s)s(s 5) 65s 6(s1)給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為sA) 10G(s)C(sI5sG(s)A)1BC(sI1A)由

13、于16s211s1s3 6s2 11s 31s3 6s2 11s 36s6s 11s 233s2 2s3ss 4s 1s2 4ss 230 0s2 2s3s1 0s 12s 4s0 1114s試用MATLAB軟件求出下列傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)210s2 47 s 160執(zhí)行以下的m-文件：num=0 10 47 160;由此可知:G(s)14s256s 160den=1 14 56 160;A,B,C,D=tf2ss(num,den)14561601047160Xi1456160XiXiy 10 47 160 X2X31.19 試用MATLAB 軟件求以下系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ：&010X1

14、X2110x2X3100x3X1y 1 0 0 X2X3答： 執(zhí)行以下m-文件：A=0 1 0;-1 -1 0;1 0 0;B=0；1；0；C=1 0 0;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)可得：num = 001.0000 0den = 1.0000 1.0000 1.0000 0因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)-2s s s1.20 試用MATLAB軟件求以下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：&210X101X2020x2101u2X3013x3012X1y 0 0 1 X2X3答：執(zhí)行以下的m-文件：A=2 1 0;0 2 0;0 1 3;B=0 1;1 0;0 1;C=0 0 1

15、;D=0 0;num,den=ss2tf(A,B,C,D,1)num,den=ss2tf(A,B,C,D,2)可得要求的兩個(gè)傳遞函數(shù)是Y(s)s 2U1(s) S3 7 s2 16s 122Y(s)s2 4s 4U2(s) s3 7s2 16s 121.21已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為& Ax Bu, y Cx ,取線性變換陣為 P,且x寫(xiě)出線性變換后的狀態(tài)空間模型。答：把x Px代入義Ax Bu, y Cx,得 P& APx Bu y CPx 因此，線性變換后的等價(jià)狀態(tài)空間模型為：& P 1APx P 1Buy CPx1.22 線性變換是否改變系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式和極點(diǎn)？簡(jiǎn)單

16、證明之。答：假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 x Ax Bu y Cx Du經(jīng)過(guò)線性變換x Tx后，系統(tǒng)的狀態(tài)模型變?yōu)椋?x Ax Buy Cx Du其中， 11A TAT 1, B TB, C CT 1 , D D由于11_ _ 1det(sI A) det(sI TAT ) det(sTT TAT )1det(T)det(sI A)det(T 1) det(sI A)故線性變換不會(huì)改變系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式和極點(diǎn)。1.23已知以下微分方程描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性：&& 3& 2y u(1) 選擇狀態(tài)變量x1 y, x2&,寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)果，由以下的狀態(tài)變換：XiXix2x2x1 2x2確定新的狀態(tài)變量 X1, X2，試寫(xiě)出關(guān)于新?tīng)顟B(tài)變量 X1, x2的狀態(tài)空間模型。答：(1)由為 y, x2 &可得XiX2x23x2 2x1 uyx1寫(xiě)成矩陣向量形式，可得X1