初中數(shù)學(xué)增長率問題探索

1、增長率問題探索增長率問題是近幾年中考的熱點(diǎn)題型，只有掌握增長率問題的本質(zhì)內(nèi)涵，才能在中考時(shí)以不變應(yīng)萬變。增長率實(shí)質(zhì)是；增加量占起始量的百分比，增加量是終極量減去起始量。設(shè)起始量為q, 終極量為p, 增長率為x 則增長一次為p=q(1+x)l 連續(xù)增長二次為p=q(1+x) 2.若 x 0, 表示增長 ; 若 x 0, 表示降低 .一、平均增長率例 1 ： 某果園今年栽種果樹 200 棵，現(xiàn)計(jì)劃擴(kuò)大栽種面積，使今后兩年的栽種量都比前一年增長一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)，這樣三年（包括今年）的總栽種量為1400 棵，求這個(gè)百分?jǐn)?shù)分析：設(shè)增長率為x 則明年栽種量為200（1+x） ,后年栽種量為 200（1+x

2、)2則三年總栽種量為 200+200（1+x） +200(1+x)2解：設(shè)增長率為 x 則根據(jù)題意得200+200（ 1+x） +200(1+x)2 =1400設(shè) 1+x=y 則 200+200y+200y2=1400解之得y1=2y2=-3即 1+x=2 或 1+x=-3X1=1x2=-4所以這個(gè)百分?jǐn)?shù)為100例 2：某商廈二月份的銷售額為 100 萬元，三月份銷售額下降了 20% 。商廈從四月份起改進(jìn)經(jīng)營措施， 銷售額穩(wěn)步上升，五月份銷售額達(dá)到 135.2 萬元，試求四、五兩個(gè)月的平均增長率 .分析：先算出三月份的銷售額為 100（ 1 20%）萬元 . 設(shè)四、五兩個(gè)月的平均增長率為 x，

3、則四月份銷售額為 100（ 1 20%）（ 1 x）萬元，五月份的銷售額為 100（120%）（1 x ）（1 x ）100（ 120%）(1+x) 2 萬元，于是可列出方程 100（120%） (1+x) 2 135.2.解：設(shè)四、五兩個(gè)月的平均增長率為x ，由題意得方程100（ 1 20%）(1+x) 2 135.2(1+x)2=1.69即 1+x=±1.3故 x1 =0.3，x2=2.3因?yàn)?x2=2.3 不符實(shí)際，舍去，所以 x=0.3=30% ，即四、五兩個(gè)月的平均增長率為 30% .專項(xiàng)練習(xí)：1、某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強(qiáng)了對(duì)教育經(jīng)費(fèi)的投入，2007 年投入 3 000 萬

4、元，預(yù)計(jì) 2009 年投入 5 000 萬元設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x ，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A3000(1+x)2=5000B 3000x2=5000C3000(1+x%) 2=5000D 3000(1+x)+3000(1+x)2=50002、某電動(dòng)自行車廠三月份的產(chǎn)量為1000 輛，由于市場(chǎng)需求量不斷增大， 五月份的產(chǎn)量提高到1210 輛，則該廠四、五月份的月平均增長率為_.3、某商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價(jià)，每件售價(jià)由原來的55 元降到了 35 元設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為 x，則下列方程中正確的是（）x2=35 B 35(1+x255 (1 x)2=35D35(1A 55 (1+

5、)=55 C x) 2=554、某種商品零售價(jià)經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為降價(jià)前的81，則平均每次降價(jià)（）A10%B19%C9.5%D20%二、變化的增長率例 3 ： K 國某種商品今年2 月份的進(jìn)口量比上年末減少了20，由于該種商品價(jià)格上漲，進(jìn)口該種商品的費(fèi)用反而比上年末 增加了 30， 2 月份的漲幅比 1 月份的漲幅多 5，求 1 月份該種商品價(jià)格相對(duì)上年末的增長率。分析： 設(shè)上年末該種商品的進(jìn)口量為 a, 該種商品價(jià)格為 b, 今年 1 月份的價(jià)格增長率為 x, 則今年 2 月份該種商品的進(jìn)口量為 （ 1-20 ）a,1 月份的價(jià)格為 b(1+x)2 月份 價(jià)格 為 b(1+x)(1+x+5

6、 ), 今 年 2 月 份 的費(fèi) 用為 （ 1-20 ） a × b(1+x)(1+x+5 )解：今年 1 月份的價(jià)格增長率為 x 則根據(jù)題意得（1-20 ） a×b(1+x)(1+x+5 )=ab(1+30 ) 化簡(jiǎn)整理 得 8（1+x）2+0.4(1+x)-13=0令 1+x=y則 8y2+0.4y-13=0解之得1y2=-1.3y =1.25即 1+x=1.25或 1+x=-2.3 x1=0.25=252舍去 )x =-2.3(所以 1 月份該種商品價(jià)格相對(duì)上年末的增長率為25點(diǎn)評(píng) :本題是一個(gè)變化的增長率問題 .如果設(shè)增長前的值為 a, 第一次增長率為 x, 第二次

7、增長率比第一次增長率多 m, 那么第二次增長率為 (x+m),增長后的結(jié)果為b,由題意列出方程的方法可以概括為公式 a (1+x) ( 1+x+m) b.當(dāng) m =0 時(shí),變化的增長率問題就成為平均增長率問題專項(xiàng)練習(xí)： 1（ 陜西省中考題）有一商場(chǎng)在第一季度內(nèi)將某種家電商品連續(xù)降價(jià)，其中 3 月份的降幅比 2 月份的降幅要多2 個(gè)百分點(diǎn)（一個(gè)百分點(diǎn) =1% ），結(jié)果 3 月份的銷售臺(tái)數(shù)比 1 月份增加 4 倍，銷售收入增加 296%. 問 2 月份在 1 月份的基礎(chǔ)上降價(jià)百分之幾 ?三、相關(guān)的增長率例 3、如圖所示，某幼兒園有一道長為16 米的墻，計(jì)劃用 32 米長的圍欄靠墻圍成一個(gè)面積為 1

8、20 平方米的矩形草坪ABCD求 1. 矩形草坪 BC 邊的長2在第 1 問的條件下，若去掉墻長為 16米的 限制條件，擴(kuò)大矩形草坪 ABCD 的面積為 216 平方米，其中ADBC 的增長率是 AB 增長率的 2.5 倍，求 AB 邊的增長率。解：1 . 設(shè) AB 的長為 x 米則 BC 邊的長為（ 32-2x）米根據(jù)題意得CX(32-2x)=120解之得 :x 1 =10 x 2=6當(dāng) x=10 時(shí) AB 為 10 米， BC 為 12 米當(dāng) x=6 時(shí) AB 為 6 米， BC 為 20 米 16 米，不合題意根據(jù)題意得所以矩形草坪 BC 邊的長為 12 米2.設(shè) AB 邊的增長率為 y 則 BC 邊的增長率為 2.5y,根據(jù)題意得10(1+y)×12(1+2.5y)=216解之得y1=0.2=20y 2=-1.6( 舍去 )所以 AB 邊的增長率為 20專項(xiàng)練習(xí)：