高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點與題型總結(jié).

1、 人和教育內(nèi)部資料三角函數(shù)典型考題歸類高一數(shù)學(xué)知識總結(jié)必修一一、集合一、集合有關(guān)概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：(1) 元素的確定性如：世界上最高的山(2) 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y(3) 元素的無序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一個集合3.集合的表示： 如：我校的籃球隊員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。u 注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R1）

2、列舉法：a,b,c2） 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。xÎR| x-3>2 ,x| x-3>23） 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn圖:4、集合的分類：(1) 有限集 含有有限個元素的集合(2) 無限集 含有無限個元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2“相等”關(guān)系：A=B (55，且55，則5=5)實例：設(shè) A=x|x2-1

3、=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等”即： 任何一個集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同時 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集二、函數(shù)1、函數(shù)定義域、值域求法綜合2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問題的解題策略 3、恒成立問題的求解策略 4、反函數(shù)的幾種題型及方法5

4、、二次函數(shù)根的問題一題多解&指數(shù)函數(shù)y=axaa*ab=aa+b(a>0,a、b屬于Q)(aa)b=aab(a>0,a、b屬于Q)(ab)a=aa*ba(a>0,a、b屬于Q)指數(shù)函數(shù)對稱規(guī)律：1、函數(shù)y=ax與y=a-x關(guān)于y軸對稱2、函數(shù)y=ax與y=-ax關(guān)于x軸對稱3、函數(shù)y=ax與y=-a-x關(guān)于坐標(biāo)原點對稱&對數(shù)函數(shù)y=logax如果，且，那么： ·； ； 注意：換底公式（，且；，且；）冪函數(shù)y=xa(a屬于R)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過點（

5、1，1）；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸 方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點3、函數(shù)零點的求法： （代數(shù)法）求方程的實數(shù)根； （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)

6、找出零點4、二次函數(shù)的零點：二次函數(shù)（1），方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點（2），方程有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點（3），方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點三、平面向量向量：既有大小，又有方向的量數(shù)量：只有大小，沒有方向的量有向線段的三要素：起點、方向、長度零向量：長度為的向量單位向量：長度等于個單位的向量相等向量：長度相等且方向相同的向量&向量的運算加法運算ABBCAC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。已知兩個從同一點O出發(fā)的兩個向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形O

7、ACB，則以O(shè)為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對于零向量和任意向量a，有：0aa0a。|ab|a|b|。向量的加法滿足所有的加法運算定律。減法運算與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，(a)a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a(a)(a)a0（2）aba(b)。數(shù)乘運算實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a，|a|a|，當(dāng) > 0時，a的方向和a的方向相同，當(dāng) < 0時，a的方向和a的方向相反，當(dāng) = 0時，a = 0。設(shè)、是實數(shù)，那么：（1）()a = (a)（2）( )a = a a（3）(

8、a ± b) = a ± b（4）()a =(a) = (a)。向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a、b，那么|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，是a與b的夾角，|a|cos （|b|cos ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積。兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。四、三角函數(shù)1、善于用“1“巧解題2、三角問題的非三角化解題策略3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法4、三角函數(shù)向量綜

9、合題例析5、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當(dāng)時，；當(dāng) 時，當(dāng)時， ；當(dāng)時，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸必修四角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、已知是第幾象限角，確定所

10、在象限的方法：先把各象限均分等份，再從軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為終邊所落在的區(qū)域5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度口訣：奇變偶不變，符號看象限公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：設(shè)為任意角， 的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三

11、可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：/2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sint

12、an（3/2）cotcot（3/2）tan(以上kZ)其他三角函數(shù)知識：同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:tan cot1sin csc1cos sec1商的關(guān)系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方關(guān)系：sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsin tantantan（） 1tan tan tantantan（） 1tan tan倍角

13、公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）sin22sincoscos2cos2()sin2()2cos2()112sin2() 2tantan2 1tan2()半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式） 1cossin2(/2) 2 1coscos2(/2) 2 1costan2(/2) 1cos萬能公式萬能公式 2tan(/2)sin 1tan2(/2) 1tan2(/2)cos 1tan2(/2) 2tan(/2)tan 1tan2(/2)三角函數(shù)的積化和差公式sin cos0.5sin（）sin（）cos sin0.5sin（）sin（）cos cos0.5cos（）co

14、s（）sin sin 0.5cos（）cos（）判別式b2-4ac=0 注：方程有兩個相等的實根b2-4ac>0 注：方程有兩個不等的實根b2-4ac<0 注：方程沒有實根，有共軛復(fù)數(shù)根兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(

15、ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2)cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2)tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1-cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A

16、/2)=-(1+cosA)/(1-cosA)和差化積2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A

17、+B)/sinAsinB某些數(shù)列前n項和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a

18、和邊c的夾角圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo)圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱側(cè)面積 S=c*h 斜棱柱側(cè)面積 S=c'*h正棱錐側(cè)面積 S=1/2c*h' 正棱臺側(cè)面積 S=1/2(c+c')h'圓臺側(cè)面積 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi*r2圓柱側(cè)面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 S=1/2*c*l=pi*r*l弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧

19、度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱體積 V=S'L 注：其中,S'是直截面面積， L是側(cè)棱長柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2hsin30:二分之一 sin45:二分之根二 sin60:二分之根三cos30:二分之根三 cos45:二分之根二 cos60:二分之一tan30:三分之根三 cos45:一 tan60:根三等比數(shù)列：若q1 則S=n*a1若q1推倒過程：S=a1+a1*q+a1*q2+a1*q(n-1)等式兩邊同時乘qS*q=a1*q+a1*q2+a1*q

20、3+a1*q1式2式 有S=a1*(1-qn)/(1-q)等差數(shù)列推導(dǎo)過程：S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+(n-1)*d)把這個公式倒著寫一遍S=(a1+(n-1)*d) +(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+a1上兩式相加有S(2a1+(n-1)d)*n/2=n*a1+n*(n-1)*d/21根據(jù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)例1（天津理）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值【相關(guān)高考1】（湖南文）已知函數(shù)求：（I）函數(shù)的最小正周期；（II）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間【相關(guān)高考2】（湖南理）已知函數(shù)，（I）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對稱軸，求的值（II）求函

21、數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間2根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)解析式 例2（江西）如圖，函數(shù)的圖象與軸相交于點，且該函數(shù)的最小正周期為（1）求和的值；（2）已知點，點是該函數(shù)圖象上一點，點是的中點，當(dāng)，時，求的值【相關(guān)高考1】（遼寧）已知函數(shù)（其中），（I）求函數(shù)的值域； （II）（文）若函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點間的距離為，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（理）若對任意的，函數(shù)，的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，試確定的值（不必證明），并求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間【相關(guān)高考2】（全國）在中，已知內(nèi)角，邊設(shè)內(nèi)角，周長為（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求函數(shù)的最大值3三角函數(shù)求值例3（四川）已知cos=,cos(-)，且0<

22、<<,()求tan2的值；（）求.【相關(guān)高考1】（重慶文）已知函數(shù)f(x)=.（）求f(x)的定義域；（）若角a在第一象限，且【相關(guān)高考2】(重慶理)設(shè)f () = （1）求f()的最大值及最小正周期；（2）若銳角滿足，求tan的值.4三角形中的函數(shù)求值例4（全國）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（）求B的大?。唬ㄎ模ǎ┤?，求b（理）（）求的取值范圍【相關(guān)高考1】（天津文）在中，已知，（）求的值；（）求的值【相關(guān)高考2】（福建）在中，（）求角的大??；文（）若邊的長為，求邊的長理（）若最大邊的邊長為，求最小邊的邊長5三角與平面向量例5（湖北理）已知的面積為

23、，且滿足0，設(shè)和的夾角為（I）求的取值范圍；（II）求函數(shù)的最大值與最小值【相關(guān)高考1】（陜西）設(shè)函數(shù)，其中向量，且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點，（）求實數(shù)m的值；（）求函數(shù)f(x)的最小值及此時的值的集合.【相關(guān)高考2】（廣東）已知ABC三個頂點的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)、B(0，0)、C(，0) （文）(1)若，求的值；（理）若A為鈍角，求c的取值范圍；(2)若，求sinA的值6三角函數(shù)中的實際應(yīng)用例6（山東理）如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時，乙船航行到甲船的北偏

24、西方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？北乙甲【相關(guān)高考】（寧夏）如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個側(cè)點與現(xiàn)測得，并在點測得塔頂?shù)难鼋菫?，求塔?三角函數(shù)與不等式例7（湖北文）已知函數(shù)，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍8三角函數(shù)與極值例8（安徽文）設(shè)函數(shù)其中1，將的最小值記為g(t).()求g(t)的表達(dá)式；()討論g(t)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值.三角函數(shù)易錯題解析例題1已知角的終邊上一點的坐標(biāo)為（），則角的最小值為（ ）。A、 B、 C、 D、例題2 A，B，C是ABC的三個內(nèi)角，且是方程的兩個實數(shù)根

25、，則ABC是（ ）A、鈍角三角形 B、銳角三角形 C、等腰三角形 D、等邊三角形例題3已知方程（a為大于1的常數(shù)）的兩根為，且、，則的值是_.例題4函數(shù)的最大值為3，最小值為2，則_，_。例題5函數(shù)f(x)=的值域為_。例題6若2sin2的取值范圍是 例題7已知，求的最小值及最大值。例題8求函數(shù)的最小正周期。例題9求函數(shù)的值域例題10已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點M對稱，且在區(qū)間0，上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。2011三角函數(shù)集及三角形高考題1.（2011年北京高考9）在中，若，則 .2.（2011年浙江高考5）.在中，角所對的邊分.若，則(A)- (B) (C) -1 (D) 13.（20

26、11年全國卷1高考7）設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于（A） （B） （C） （D）5.（2011年江西高考14）已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊上一點，且，則y=_.6（2011年安徽高考9）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（A） （B）（C） （D）7（2011四川高考8）在ABC中，則A的取值范圍是 （A）（B） （C）（D）1.（2011年北京高考17）已知函數(shù)（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值。3. （2011年山東高考17） 在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，（）求的值；（）若，求

27、的面積S。5.（2011年全國卷高考18）ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知. ()求B；（）若.6.（2011年湖南高考17）在中，角所對的邊分別為且滿足（I）求角的大?。唬↖I）求的最大值，并求取得最大值時角的大小7（2011年廣東高考16）已知函數(shù)，（1）求的值；（2）設(shè)，求的值8（2011年廣東高考18）已知函數(shù)，xR（）求的最小正周期和最小值；（）已知，求證：9.（2011年江蘇高考17）在ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊為（1）若 求A的值；（2）若，求的值.10.（2011高考）ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=

28、a。（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B。11. （2011年湖北高考17）設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知(I) 求的周長；(II)求的值。12. （2011年浙江高考18）在ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()當(dāng)a=2， 2sinA=sinC時，求b及c的長2011三角函數(shù)集及三角形高考題答案1.（2011年北京高考9）在中，若，則 .【答案】【解析】：由正弦定理得又所以2.（2011年浙江高考5）.在中，角所對的邊分.若，則(A)- (B) (C) -1 (D) 1【答案】D【解析】，.3.（2011年全國卷1高考7）設(shè)函

29、數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于（A） （B） （C） （D）【解析】由題意將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，說明了是此函數(shù)周期的整數(shù)倍,得,解得,又,令,得.4.（2011全國卷），設(shè)函數(shù)（A）y=在單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線對稱（B）y=在單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線對稱（C）y= f (x) 在（0，）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x = 對稱（D）y= f (x) 在（0，）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x = 對稱解析：解法一：f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x) 在（0，）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x = 對稱。故選D。5.（

30、2011年江西高考14）已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊上一點，且，則y=_.答案：8. 解析：根據(jù)正弦值為負(fù)數(shù)，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標(biāo)為正，斷定該 角為第四象限角。=6（2011年湖南高考9）【解析】若對恒成立，則，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故選C.7（2011四川高考8）解析：由得，即，故，選C1.【解析】：（）因為高考資源網(wǎng)KS5U.COM所以的最小正周期為（）因為于是，當(dāng)時，取得最大值2；當(dāng)取得最小值12.（2011年浙江高考18）已知函數(shù)，.的部分圖像，如圖所示，、分別為該圖像的最高點和最低點，點的坐標(biāo)為.（）求的最小正周期

31、及的值；（）若點的坐標(biāo)為，求的值.2.（）解：由題意得，因為在的圖像上所以又因為，所以（）解：設(shè)點Q的坐標(biāo)為().，由題意可知，得，所以，連接PQ,在PRQ中，PRQ=,由余弦定理得，解得A2=3。又A0，所以A=。3. （2011年山東高考17） 在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，（）求的值；（）若，求的面積S。解：（）在中，由及正弦定理可得，即則，而，則，即。另解1：在中，由可得，由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得。另解2：利用教材習(xí)題結(jié)論解題，在中有結(jié)論由可得即，則，由正弦定理可得。（）由及可得則，S，即。4.（2011年安徽高考16）在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊

32、長，a=，b=，求邊BC上的高.解：ABC180°，所以BCA，又，即，又0°<A<180°，所以A60°.，在ABC中，由正弦定理得，又，所以BA，B45°，C75°，BC邊上的高ADAC·sinC.5.（2011年全國卷高考18）ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知. ()求B；（）若.【解析】(I)由正弦定理得由余弦定理得.故，因此 （II） 故 .6.（2011年安徽高考17）在中，角所對的邊分別為且滿足（I）求角的大??；（II）求的最大值，并求取得最大值時角的大小解析：（I）由正弦定理得因

33、為所以（II）由（I）知于是 ，取最大值2綜上所述，的最大值為2，此時7（2011年廣東高考16）已知函數(shù)，（1）求的值；（2）設(shè)，求的值16解：（1）（2），即，即，8（2011年廣東高考18）已知函數(shù)，xR（）求的最小正周期和最小值；（）已知，求證：（）解析：，的最小正周期，最小值）證明：由已知得，兩式相加得，則9.（2011年江蘇高考17）在ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊為（1）若 求A的值；（2）若，求的值.解析：（1）（2）由正弦定理得：，而。（也可以先推出直角三角形）基本定義定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于一個常數(shù)(常數(shù)為2a)的軌跡稱為雙曲線。（平面

34、內(nèi)到兩定點的距離差的絕對值為定長的點的軌跡叫做雙曲線）即：PF1-PF2=2a定義1： 平面內(nèi)，到兩個定點的距離之差的絕對值為常數(shù)（小于這兩個定點間的距離1）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點。定義2：平面內(nèi)，到給定一點及一直線的距離之比為大于1的常數(shù)的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線。定義3：一平面截一圓錐面，當(dāng)截面與圓錐面的母線不平行，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。定義4：在平面直角坐標(biāo)系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿足以下條件時，其圖像為雙曲線。1.a、b、c不都是零.2.b2 - 4ac &g

35、t; 0.注：第2條可以推出第1條。在高中的解析幾何中，學(xué)到的是雙曲線的中心在原點，圖像關(guān)于x，y軸對稱的情形。這時雙曲線的方程退化為：x2/a2 - y2/b2 = 1.上述的四個定義是等價的，并且根據(jù)建好的前后位置判斷圖像關(guān)于x，y軸對稱。2編輯本段標(biāo)準(zhǔn)方程1、焦點在X軸上時為：x2/a2 - y2/b2 = 12、焦點在Y 軸上時為：y2/a2 - x2/b2 = 1編輯本段概念特征以下從純幾何的角度給出一些雙曲線的相關(guān)概念和性質(zhì)。分支雙曲線有兩個分支。焦點在定義1中提到的兩給定點稱為該雙曲線的焦點，定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。準(zhǔn)線在定義2中提到的給定直線稱

36、為該雙曲線的準(zhǔn)線離心率在定義2中提到的到給定點與給定直線的距離之比，稱為該雙曲線的離心率。離心率e=c/a雙曲線有兩個焦點，兩條準(zhǔn)線。（注意：盡管定義2中只提到了一個焦點和一條準(zhǔn)線。但是給定同側(cè)的一個焦點，一條準(zhǔn)線以及離心率可以根據(jù)定義2同時得到雙曲線的兩支，而兩側(cè)的焦點，準(zhǔn)線和相同離心率得到的雙曲線是相同的。）頂點雙曲線與兩焦點連線的交點，稱為雙曲線的頂點。漸近線雙曲線有兩條漸近線。漸近線的方程求法是：將右邊的常數(shù)設(shè)為0，即可用解二元二次的方法求出漸近線的解，例如：X2/2-Y2/4=1，令1=0，則X2/2=Y2/4，則雙曲線的漸近線為Y=±(2)X編輯本段幾何性質(zhì)軌跡上一點的取

37、值范圍1xa（焦點在x軸上）或者ya（焦點在y軸上）。對稱性關(guān)于坐標(biāo)軸和原點對稱。頂點A(-a,0)，A'(a,0）。同時 AA'叫做雙曲線的實軸且AA'=2a.B(0,-b），B'(0,b）。同時 BB'叫做雙曲線的虛軸且BB'=2b.F1（-c,0）F2（c,0）.F1為雙曲線的左焦點，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點且F1F2=2c對實軸、虛軸、焦點有：a2+b2=c2漸近線焦點在x軸：y=±（b/a)x.焦點在y軸：y=±（a/b)x. 圓錐曲線=ep/1-ecos當(dāng)e>1時，表示雙曲線。其中p為焦點到準(zhǔn)線距離，為弦與x軸夾

38、角。令1-ecos=0可以求出，這個就是漸近線的傾角。=arccos（1/e)令=0，得出=ep/（1-e）,x=cos=ep/（1-e）令=PI，得出=ep/（1+e）,x=cos=-ep/（1+e）這兩個x是雙曲線定點的橫坐標(biāo)。求出它們的中點的橫坐標(biāo)（雙曲線中心橫坐標(biāo)）x=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2（注意化簡一下）直線cos=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2是雙曲線一條對稱軸，注意是不與曲線相交的對稱軸。將這條直線順時針旋轉(zhuǎn)PI/2-arccos（1/e）角度后就得到漸近線方程，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角度是則=-PI/2-arccos（1/e)則=+PI/2-arccos（1/e

39、)代入上式：cos+PI/2-arccos（1/e)=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2即：sinarccos（1/e)-=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2現(xiàn)在可以用取代式中的了得到方程：sinarccos（1/e)-=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2現(xiàn)證明雙曲線x2/a2-y2/b2=1 上的點在漸近線中設(shè)M(x,y）是雙曲線在第一象限的點，則y=(b/a）（x2-a2） (x>a)因為x2-a2<x2，所以y=(b/a）（x2-a2）<b/ax2=bx/a即 y<bx/a所以，雙曲線在第一象限內(nèi)的點都在直線y=bx/a下方根據(jù)對稱性第二、三、四

40、象限亦如此離心率第一定義：e=c/a 且e（1，+）.第二定義：雙曲線上的一點P到定點F的距離PF 與 點P到定直線（相應(yīng)準(zhǔn)線）的距離d 的比等于雙曲線的離心率e.d點PF/d線（點P到定直線（相應(yīng)準(zhǔn)線）的距離）=e雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點P(x,y）到焦點距離）左焦半徑：r=ex+a右焦半徑：r=ex-a等軸雙曲線一雙曲線的實軸與虛軸長相等 即：2a=2b 且 e=2這時漸近線方程為：y=±x（無論焦點在x軸還是y軸）共軛雙曲線雙曲線S'的實軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S'的虛軸是雙曲線S的實軸時，稱雙曲線S'與雙曲線S為共軛雙曲線。幾何表達(dá)：

41、S：（x2/a2）-(y2/b2）=1 S'：（y2/b2）-(x2/a2）=1特點：（1）共漸近線；與漸近線平行得線和雙曲線有且只有一個交點（2）焦距相等（3）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1準(zhǔn)線焦點在x軸上：x=±a2/c焦點在y軸上：y=±a2/c通徑長（圓錐曲線中，過焦點并垂直于軸的弦）d=2b2/a11、過焦點的弦長公式：d=2pe/（1-e2cos2）弦長公式d = （1+k2）|x1-x2|= （1+k2）(x1-x2）2= （1+1/k2）|y1-y2|= （1+1/k2）(y1-y2）2 推導(dǎo)如下：由 直線的斜率公式：k = (y1 - y2

42、） / (x1 - x2）得 y1 - y2 = k(x1 - x2） 或 x1 - x2 = (y1 - y2）/k分別代入兩點間的距離公式：|AB| = (x1 - x2）2; + (y1 - y2）2; 稍加整理即得：|AB| = |x1 - x2|（1 + k2;) 或 |AB| = |y1 - y2|（1 + 1/k2;)·雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)公式與反比例函數(shù)X2/a2 - Y2/b2 = 1(a>0,b>0)而反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型是 xy = c (c 0)但是反比例函數(shù)圖象確實是雙曲線軌跡經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的因為 xy = c的對稱軸是 y=x, y=-x 而X2/a2 -

43、 Y2/b2 = 1的對稱軸是x軸，y軸所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn)45度設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為 a（a0，順時針）（a為雙曲線漸進(jìn)線的傾斜角）則有X = xcosa + ysinaY = - xsina + ycosa取 a = /4則X2 - Y2 = (xcos（/4） + ysin（/4）)2 -(xsin（/4） - ycos（/4）)2= （2/2 x + 2/2 y)2 -（2/2 x - 2/2 y)2= 4 （2/2 x) （2/2 y)= 2xy.而xy=c所以X2/（2c) - Y2/（2c) = 1 (c>0)Y2/(-2c) - X2/(-2c) = 1 (c<0)由此證得，反比例函數(shù)其實就是雙曲線的一種形式，.只不過是雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式.雙曲線內(nèi)、上、外在雙曲線的兩側(cè)的區(qū)域稱為雙曲線內(nèi)，則有x2/a2-y2/b2>1