常微分方程的消元法和首次積分法PPT學習教案

1、會計學1常微分方程的消元法和首次積分法常微分方程的消元法和首次積分法一、一、微分方程組的消元法微分方程組的消元法 將將一階微分方程組：一階微分方程組： ),(dd),(dd212111nnnnyyyxfxyyyyxfxy中的未知函數(shù)中的未知函數(shù)nyyy,21只保留一個，只保留一個，消去消去其他未知函數(shù)，得到其他未知函數(shù)，得到一個未知函數(shù)的高階方程一個未知函數(shù)的高階方程，其他未知函數(shù)其他未知函數(shù). .這種方法常用于二個或三個這種方法常用于二個或三個先求出這個未知函數(shù)，然后再由其他方程求出先求出這個未知函數(shù)，然后再由其他方程求出方程構(gòu)成的方程構(gòu)成的常系數(shù)微分方程組常系數(shù)微分方程組的求解的求解. .

2、第1頁/共22頁例例1 1 求解方程求解方程組組 2122112dd23ddyyxyyyxy解解 保留保留2y, ,消去消去1y. .由第二個方程由第二個方程解解出出1y，得，得)dd(21221yxyy 對上式兩邊關(guān)于對上式兩邊關(guān)于求導求導, ,得得x)dddd(21dd22221xyxyxy 代入原方程組的第一代入原方程組的第一個方程得個方程得:第2頁/共22頁0dd2dd22222 yxyxy二階常系數(shù)線性齊次方程二階常系數(shù)線性齊次方程, ,通解為通解為xexccy)(212 xexcccy)22(212211 故原方程組的通解為故原方程組的通解為 xxexccyexcccy)()22(

3、212122211其其中中21,cc是任意常數(shù)是任意常數(shù). . 2122112dd23ddyyxyyyxy)dd(21221yxyy 第3頁/共22頁一階線性非齊次方程的通解為一階線性非齊次方程的通解為xxecexcccy332211)22(21 出現(xiàn)了三個任意常數(shù)出現(xiàn)了三個任意常數(shù)?,321ccc因此為因此為避免避免出現(xiàn)出現(xiàn)增解增解，在求出一個未知函數(shù)后，在求出一個未知函數(shù)后，03 c是一個多余的任意常數(shù)是一個多余的任意常數(shù). .不要再用求積分的方不要再用求積分的方法來求其他的未知函數(shù)法來求其他的未知函數(shù). . 2122112dd23ddyyxyyyxyxexccy)(212 xexccyx

4、y)(23dd2111 第4頁/共22頁例例2 2 求解方程求解方程組組xytyytx2dd,dd 解解 將第一個方程求導得將第一個方程求導得tytxdddd22 代入第二個方程得代入第二個方程得0)dd(1dd222 txxtx不顯含自變量不顯含自變量t txpptxptxdddd,dd22 設設,ln1ctcx ,12tcecx 再由第一個方程得再由第一個方程得.121tceccy , 0)dd( xpxppxctxp1dd 第5頁/共22頁二二 微分算子與線性微分方程組微分算子與線性微分方程組 這里介紹微分算子這里介紹微分算子D 及其用消元法解線性及其用消元法解線性微分方程組的應用微分方

5、程組的應用. .)(tx設設是定義在某區(qū)間是定義在某區(qū)間I I上的具有上的具有n 階連續(xù)階連續(xù)導數(shù)的函數(shù)，微分算子導數(shù)的函數(shù)，微分算子D 被定義為被定義為.1 ,dd,ddnktxxDtxDxkkk 相應地定義算子多項式：相應地定義算子多項式：第6頁/共22頁,111nnnnaDaDaDL .1)1(1)(xaxaxaxnnnn xaDaDaDLxnnnn)(111 L L是線性算子是線性算子! !例如例如設設, 23, 13221txDLDL 則則)(2121xLLxLL 32291218ttt )29)(1(322ttD )(1212xLLxLL 32291218ttt )6)(23(3t

6、tD 321)1(tDxL ,29322ttxL ,63tt 第7頁/共22頁 )()(2241312211tgxLxLtgxLxL微分算子法求解常系數(shù)線性微分方程組微分算子法求解常系數(shù)線性微分方程組. .)()()(132122341tgLtgLxLLLL 2x僅依賴于變僅依賴于變量量的一個高階微分方程的一個高階微分方程?)()()(122412341tgLtgLxLLLL 第8頁/共22頁解解: :設設,2, 3221DLDL , 2)(,)(21 tgttg例例 3 3 求解方程組求解方程組 283223222121121xxxxtxxxtxtxtx8313dd2dd22222 )()(

7、)(132122341tgLtgLxLLLL 二階線性常系數(shù)非齊次微分方程通解為二階線性常系數(shù)非齊次微分方程通解為12583212 tececxtt82, 3243 DLDL第9頁/共22頁12583212 tececxtt代入原方程組的第一個方程中得代入原方程組的第一個方程中得ttecectxtx3211162413dd2 一階線性非齊次微分方程通解為一階線性非齊次微分方程通解為233321132236113tttececectx 283223222121121xxxxtxxx代入原系統(tǒng)的第二個代入原系統(tǒng)的第二個方程中得方程中得. 03 c第10頁/共22頁積分可以得到未知函數(shù)組合積分可以得

8、到未知函數(shù)組合形式的解，形式的解，三三 微分方程組的首次積分法微分方程組的首次積分法經(jīng)經(jīng)適當組合適當組合化為一個化為一個可積分的微分方程可積分的微分方程. .首次積分法是將方程組首次積分法是將方程組 ),(21niixxxtfx ), 2 , 1(ni 這個方程的未知函數(shù)可能是方程組中這個方程的未知函數(shù)可能是方程組中幾個未知函數(shù)組合形式幾個未知函數(shù)組合形式.該方程為一個原方程組的首次積分該方程為一個原方程組的首次積分. .第11頁/共22頁解解 將將兩個方程相加兩個方程相加得得()d xyxydt以以作為一個未知函數(shù)，對上式積分得作為一個未知函數(shù)，對上式積分得yx 1txyc e原方程組的一個

9、首次積分原方程組的一個首次積分. .再將再將兩個方程相減兩個方程相減得得()()d xyxydt 例例 4 4 求解方程組求解方程組xtyytxdd,dd這這里里21,cc是任意常數(shù)是任意常數(shù). .1212ttttxc ec eyc ec e 解出未知解出未知函數(shù)函數(shù), ,原方程組通解為原方程組通解為2txyc e原方程組的另一個首次積分原方程組的另一個首次積分. .第12頁/共22頁解解 把方程組中的第一個方程乘以把方程組中的第一個方程乘以,x第二個方第二個方程乘程乘以以, y然后兩式相加然后兩式相加得得)1)(dddd2222 yxyxtyytxxtyxyxyxd)1)(2)(d22222

10、2 把把看作未知函數(shù)看作未知函數(shù), ,積分得積分得22yx 1222221ceyxyxt 12222ceeyxtt 例例 5 5 求解方程組求解方程組 )1(dd)1(dd2222yxyxtyyxxytx第13頁/共22頁再利用原方程可得再利用原方程可得)(dddd22yxtxytyx 1)(arctandd xyt )1(dd)1(dd2222yxyxtyyxxytx另一個首次積分另一個首次積分2arctanctxy 采用極坐采用極坐標標,sin,cos ryrx 原微分方程的通解為原微分方程的通解為 ttectcyectcx2222121)sin(1)cos(12222ceeyxtt 第1

11、4頁/共22頁考慮一般考慮一般的的階微分方程組階微分方程組 n),(1niixxtfx ni, 2 , 1 其中其中),(1nixxtf1 nRD對對nxxx,21是連續(xù)可微的是連續(xù)可微的. .設設連續(xù)可連續(xù)可微，微，且不是常數(shù)，且不是常數(shù)，),(21nxxxt 使使),(21nxxxt 成為成為與與t t 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù), ,此常數(shù)與所取解有關(guān)此常數(shù)與所取解有關(guān), ,則則稱稱為方程組為方程組的的一個首次積分一個首次積分.cxxxtn ),(21 把方程組任一把方程組任一解解代入代入)(txxii 第15頁/共22頁設微分方程組有設微分方程組有n個首次積個首次積分分nnnncxxxtcx

12、xxt ),(,),(211211 如果在某區(qū)域內(nèi)它們的如果在某區(qū)域內(nèi)它們的JacobiJacobi行列行列式式0),(),(11 nnxxDD ),(1niixxtfx ni, 2 , 1 則稱它們在區(qū)域則稱它們在區(qū)域G G內(nèi)為內(nèi)為互相獨立互相獨立. .第16頁/共22頁011 nnfxfxt ),(1niixxtfx ni, 2 , 1 定理定理1 1 設函數(shù)設函數(shù)),(21nxxxt D在區(qū)在區(qū)域域內(nèi)內(nèi)是方程組的首次積分的是方程組的首次積分的充要條件充要條件為為連續(xù)可微，且它不是常數(shù)連續(xù)可微，且它不是常數(shù)，則，則cxxxtn ),(21 檢驗一個函數(shù)檢驗一個函數(shù)是否為方程組的是否為方程組

13、的首次積分首次積分? ? 第17頁/共22頁定理定理2 2 若若已知方程組的已知方程組的一個首次積一個首次積分分，則可把方程組求解問題轉(zhuǎn)化為含則可把方程組求解問題轉(zhuǎn)化為含 n -1 -1 個方程個方程的方程組的求解問題的方程組的求解問題. .定理定理3 3 若若方程組有方程組有n個互相獨立的個互相獨立的首次積分首次積分,21n 則可由它們得到則可由它們得到微分方程微分方程組的通解組的通解. .為了求解方程組為了求解方程組, ,只需只需求出它的求出它的n n個互相獨立的首次積分就可以了個互相獨立的首次積分就可以了. .事實事實上上, ,前面例題給出的首次積分是前面例題給出的首次積分是互互相獨立的相獨立的. . 因此由它們確定出的解都是通解因此由它們確定出的解都是通解. .),(1niixxtfx ni, 2 , 1 第18頁/共22頁例例 6 6 利用首次積分求解方程組利用首次積分求解方程組 22)(dd)(ddxyxtyxyytx解解 兩個方程相除兩個方程相除得得xyyx dd得到原方程組的一個首次積分得到原方程組的一個首次積分1221cyx 再利用兩個方程相減