定積分的應(yīng)用體積弧長功PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1定積分的應(yīng)用體積弧長功定積分的應(yīng)用體積弧長功y+dyyoyx)(yx dc曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積:xyo)(xfy abxxx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積:平面圖形的面積平面圖形的面積第1頁/共23頁 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積第2頁/共23頁一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一

2、周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy 第3頁/共23頁y例例 1 1 連連接接坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)O及及點(diǎn)點(diǎn)),(rhP的的直直線線、直直線線hx 及及x軸軸圍圍成成一一個(gè)個(gè)直直角角三三角角形形將將它它繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)底底半半徑徑為為r、高高為為h的的圓圓錐錐體體，計(jì)計(jì)算算圓圓錐錐體體的的

3、體體積積r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP第4頁/共23頁以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為dxxhrdV2 圓錐體的體積圓錐體的體積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoxhry 第5頁/共23頁 類類似似地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(yx 、直直線線cy 、dy 及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx c

4、ddyy2)( dcV第6頁/共23頁解解，此拋物線的方程為此拋物線的方程為hyahx 22:dyayhVaa2222)1( 例例2.,2 得得到到的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)（如如圖圖），求求由由此此邊邊的的正正拋拋物物線線弓弓形形繞繞其其底底高高為為底底長長為為ha21516ah oxyABCha2yox第7頁/共23頁例例3., 12222積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體繞繞求求由由橢橢圓圓xbyax 解解)(22222xaaby 上半橢圓的方程為：上半橢圓的方程為：dxxaabaa)(2222 .342ab .34)(22222badyybbaVybb 體體積積為為

5、軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的同同理理得得橢橢圓圓繞繞第8頁/共23頁解解，如圖，解方程組如圖，解方程組 xyxy2 101042dxxdxxV .152 例例4. 2體體積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的繞繞所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形和和直直線線求求xxyxy ），），（），（，得曲線的交點(diǎn)為（得曲線的交點(diǎn)為（1100oxyABC若繞若繞y軸旋轉(zhuǎn)呢？軸旋轉(zhuǎn)呢？ 10102dyyydyV 第9頁/共23頁xoab二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積x 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定

6、軸的各個(gè)截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.)(xA表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),)(dxxAdV 立體體積立體體積第10頁/共23頁例例 6 6 求求以以半半徑徑為為R的的圓圓為為底底、平平行行且且等等于于底底圓圓直直徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積. 解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x軸的截面為等腰三角形軸的截面為等腰三角形截面面積截面面積22

7、)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 例例5第11頁/共23頁 設(shè)設(shè)曲曲線線弧弧為為)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xoyabxdxx 取取積積分分變變量量為為x，在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長小小切切線線段段的的長長22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念一、直角坐標(biāo)情形一、直角坐標(biāo)情形第12頁/共23頁例例 1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)

8、應(yīng)于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長長度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab第13頁/共23頁),0( )(2 求求懸懸鏈鏈線線aaxacheeayaxax )(21)(411)(122axaxaxaxeeeey aaaxaxaadxeedxys)(21)(12弧長弧長).()(10 eeadxeeaaxax例例2).(如圖如圖這一段的弧長這一段的弧長到到從從axax 解解oxy-aaa第14頁/共23頁曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連

9、續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長二、參數(shù)方程情形二、參數(shù)方程情形第15頁/共23頁例例 3 3 求求星星形形線線323232ayx )0( a的的全全長長.解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對稱根據(jù)對稱性性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a a aoyx第16頁/共23頁曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其中其中)( 在在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長弧

10、長三、極坐標(biāo)情形三、極坐標(biāo)情形第17頁/共23頁解解 drrs )()(22 02cos4da 02 daa2222sin)cos1 ( 02a d)cos1(2 例例4).0()cos1(的弧長的弧長求心形線求心形線aar 02sin24a .8a 第18頁/共23頁01x解解 設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇樵O(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇?)(kxxf 第一次錘擊時(shí)所作的功為第一次錘擊時(shí)所作的功為 101)(dxxfw,2k 例例5 5 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖栌描F錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次力與鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第等，問第 二二 次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？hxx+dx設(shè)二次擊入的總深度為設(shè)二次擊入的總深度為 厘米厘米h第19頁/共23頁依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等122ww 2222kkh ,2 h解得：解得：.12cm 第第 二二 次