多元函數(shù)的基本概念53512PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念535121、n維空間維空間 Rn設(shè)設(shè) n 為為取取定定的的一一個(gè)個(gè)自自然然數(shù)數(shù)，用用 Rn表表示示 n 元元有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)組組),(21nxxx的的全全體體構(gòu)構(gòu)成成的的集集合合. 定定義義了了線線性性運(yùn)運(yùn)算算的的集集合合 Rn稱稱為為 n維維空空間間，而而每每個(gè)個(gè) n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx稱稱為為 n維維空空間間中中的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，數(shù)數(shù) xi 稱稱為為該該點(diǎn)點(diǎn)的的第第 i 個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo). Rn中中的的點(diǎn)點(diǎn)也也可可記記為為),(21nxxxx ， )0 , 0 , 0(0 稱稱為為 Rn的的坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn). 第1頁/共59頁說明：說明：

2、 1) n維空間中的線性運(yùn)算維空間中的線性運(yùn)算 ,),(, ),(2121RRyyyQxxxPnnn 設(shè)設(shè)),(11nnyxyxyx 則則即為即為 x 與與 y 的的線性運(yùn)算線性運(yùn)算 .2) n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 .)()()(|2222211nnxyxyxyyx 當(dāng)當(dāng) n=1 , 2 , 3 時(shí)，時(shí)， 為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離),(21nxxxx ),(21nyyyy 設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為第2頁/共59頁3) x a,),(,),(11的定元的定元為為設(shè)設(shè)nnnnRaaaRxxx ,0|aRxaxn中中趨趨于于定定元元在在則則稱稱變變

3、元元若若 記為記為 x a .x a 的充要條件是的充要條件是 xi ai ( i=1,2,n) .第3頁/共59頁 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)， 是某是某一正數(shù)，與點(diǎn)一正數(shù)，與點(diǎn)),(000yxP距離小于距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn)),(yxP的全體，稱為點(diǎn)的全體，稱為點(diǎn)0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU， 1) 鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx ),(0 PU。 |00PPP.)()(0| ),(2020 yyxxyx0P 點(diǎn)的去心點(diǎn)的去心 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU。2、R2的有關(guān)概念的有關(guān)概念

4、第4頁/共59頁2) 內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)和聚點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)和聚點(diǎn).)(的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)是平面上的是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于EP 第5頁/共59頁的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點(diǎn)（點(diǎn)的點(diǎn)（點(diǎn)也有不屬于也有不屬于的點(diǎn)，的點(diǎn)，于于的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)如果點(diǎn)EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 EE第6頁/共59頁 設(shè)設(shè) E 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)

5、點(diǎn)集集，P 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) P 的的任任何何一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限多多個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn).(1) 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明說明(2) 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)第7頁/共59頁(3) 點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合

6、邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合第8頁/共59頁3) 開集與閉集開集與閉集.,2為開集為開集則稱則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)若點(diǎn)集若點(diǎn)集ERE 41),(221 yxyxE例如：例如：即為開集即為開集.,2為閉集為閉集則稱則稱是開集是開集的余集的余集若點(diǎn)集若點(diǎn)集EEREc 41),(222 yxyxE例如：例如：即為閉集即為閉集41),(223 yxyxE而而既非開集也非閉集既非開集也非閉集第9頁/共59頁0| ),( yxyx是有界點(diǎn)集；是有界點(diǎn)集；是無界點(diǎn)集是無界點(diǎn)集稱為無界點(diǎn)集稱為無界點(diǎn)集否則否則為有界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集則稱則稱成立成立對一切對一切即即不超過不超過間的距離間的距離與某一定點(diǎn)與某

7、一定點(diǎn)使一切點(diǎn)使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對于點(diǎn)集對于點(diǎn)集EEEPKAPKAPAEPKE, 41| ),(22 yxyx例如例如：4) 有界集與無界集有界集與無界集第10頁/共59頁5) 區(qū)域、閉區(qū)域區(qū)域、閉區(qū)域.,是連通的是連通的則稱開集則稱開集點(diǎn)都屬于點(diǎn)都屬于且該折線上的且該折線上的都可用折線連結(jié)起來都可用折線連結(jié)起來內(nèi)任何兩點(diǎn)內(nèi)任何兩點(diǎn)如果對于如果對于是開集是開集設(shè)設(shè)DDDD 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如例如，xyo第11頁/共59頁連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如例如，x

8、yo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如例如，xyo第12頁/共59頁0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如：例如：41| ),(22 yxyx第13頁/共59頁3、 n維空間維空間Rn中鄰域、區(qū)域等概念中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可類似定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可類似定義鄰域：鄰域：第14頁/共59頁4、 直線與線段直線與線段,),(),(2222111Ryxpyxp 設(shè)設(shè)),)(1(),(2211 tyxtyxtL直線：直線

9、：10),)(1(),(2211 tyxtyxtS線段：線段：,21nRpp 設(shè)設(shè))1(21 tpttpL直線：直線：10)1(21 tpttpS線段：線段：第15頁/共59頁 設(shè)設(shè) D 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對于每個(gè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對于每個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，變量，變量 z 按照一定的法則總有確按照一定的法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱定的值和它對應(yīng)，則稱 z 是變量是變量 x , y 的二元函的二元函數(shù)，記為數(shù)，記為),(yxfz （或記為（或記為)(Pfz ）. . 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義二元函數(shù)由二元函數(shù)由對應(yīng)法則對應(yīng)法則 f 和定義域和定義域 D 兩要兩要素素確定確定

10、。 規(guī)定規(guī)定 二元函數(shù)的自然定義域是使算式所表達(dá)的二元函數(shù)的自然定義域是使算式所表達(dá)的函數(shù)有意義的函數(shù)有意義的x,y所對應(yīng)的點(diǎn)所對應(yīng)的點(diǎn)P(x,y)的全體的全體 . . 第16頁/共59頁當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù).類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)多元函數(shù)中也有定義域、值域、自變量、因變量等概念多元函數(shù)中也有定義域、值域、自變量、因變量等概念.例例1 1 (1) 求求 的定義域的定義域)ln(),(yxyxf (2)(2) 求求 的定義域的定義域)ln(1),(yxyxf (3)(3) 求求 的定義域的定義域)ln(1),(yxyxf

11、 第17頁/共59頁例例1 1 (1) 求求 的定義域的定義域)ln(),(yxyxf .0| ),( yxyxD(2)(2) 求求 的定義域的定義域)ln(1),(yxyxf .1, 0| ),( yxyxyxD且且(3)(3) 求求 的定義域的定義域)ln(1),(yxyxf .1| ),( yxyxD第18頁/共59頁例例2 2 求求 的定義的定義域域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 第19頁/共59頁例例3 3 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域解解 00222

12、22222zyxRrzyx22222Rzyxr 所求定義域?yàn)椋核蠖x域?yàn)椋?| ),(22222RzyxrzyxD 222222221),(zyxRrzyxzyxu 第20頁/共59頁例例4 4 設(shè)設(shè)求求解解 000),(222222yxyxyxxyyxf)1,1(yxf)1,1(yxf22)1()1(11yxyx 22yxxy 第21頁/共59頁多元函數(shù)也有單值性與多值性的概念多元函數(shù)也有單值性與多值性的概念. . ),( ),(222RyxyxDyxP 當(dāng)當(dāng)222yxRz 222yxRz 2222Rzyx 例如：例如：單值分支單值分支 第22頁/共59頁 一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

13、等性一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性的定有界性的定義仍適用義仍適用：設(shè)有：設(shè)有n元函數(shù)元函數(shù)y=f(x)，其定義域?yàn)椋涠x域?yàn)镈 Rn，集合，集合X D. .若存在正數(shù)若存在正數(shù)M，使對，使對 x X，有有|f(x)| M，則稱，則稱f(x)在在X上有界，上有界，M稱為稱為f(x)在在X上的一個(gè)界上的一個(gè)界. .第23頁/共59頁二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域?yàn)闉?D，對對于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz ，

14、 這這樣樣，以以 x 為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)、y為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)、z 為為豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)在在空空間間就就確確定定一一點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng) x 取取遍遍 D上上一一切切點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，得得到到一一個(gè)個(gè)空空間間點(diǎn)點(diǎn)集集 ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ， 這這個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形. （如下頁圖）（如下頁圖）第24頁/共59頁二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第25頁/共59頁xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值

15、分支:第26頁/共59頁定義定義 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?D， ),(000yxP是其聚點(diǎn)，如果對任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對任意給定的正數(shù) ，總 存 在 正 數(shù)總 存 在 正 數(shù) ， 使 得 對 于 適 合 不 等 式， 使 得 對 于 適 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點(diǎn)，都有點(diǎn)，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A 為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時(shí)的極限，時(shí)的極限， 記為記為 AyxfPP ),(lim0或或 Ayxfyxyx ),(lim),(),(00 （或（或)0(),( Ay

16、xf這里這里|0PP ）. . 第27頁/共59頁說明說明：(1) 定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP (2) 二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim),(),(00yxfyxyx(3) 二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似一元函數(shù)求極限的許多方法可搬到求二元函數(shù)的極一元函數(shù)求極限的許多方法可搬到求二元函數(shù)的極限上來如四則運(yùn)算法則、無窮小替代、兩個(gè)重要限上來如四則運(yùn)算法則、無窮小替代、兩個(gè)重要極限、夾逼定理等極限、夾逼定理等 .第28頁/共59頁例例1 1 求證求證 01sin)(lim2222)0,0(),(

17、yxyxyx例例2 2 求證求證 0lim22)0,0(),( yxxyyx第29頁/共59頁例例3 3 設(shè)設(shè)),(lim)0,0(),(yxfyx , 00, 0),(222222yxyxyxxyyxf證明證明 不存在不存在解解取取kxy 22)0,0(),(limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在第30頁/共59頁例例4 4 證明證明 不存在不存在 證證263)0,0(),(limyxyxyx 取取,3kxy 263)0,0(),(limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk

18、 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在第31頁/共59頁方法一方法一 令令),(yxP沿沿某某特殊特殊路徑路徑(如如kxy )趨向于趨向于),(000yxP，若極限值，若極限值不不存在存在(與與k有關(guān)有關(guān))，則可斷言極，則可斷言極限不存在；限不存在； 方法方法二二 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim),(),(00yxfyxyx存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP處極限不存在處極限不存在 確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：第32頁/共59頁 從極限定義知，多元函數(shù)的極

19、限與一元函從極限定義知，多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)極限相同，所以可以把一元函數(shù)求極限的許數(shù)極限相同，所以可以把一元函數(shù)求極限的許多方法搬到多元函數(shù)的極限上來多方法搬到多元函數(shù)的極限上來. .yxyyxsinlim)0,0(),(例例5 5、求求22),(),(limyxyxyx 例例6 6、求、求第33頁/共59頁例例7 7 求極求極限限 .)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx 解解222)0 , 0(),()sin(limyxyxyx ,)sin(lim22222)0 , 0(),(yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx22)0 , 0(),()sin(limuuusinli

20、m0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim222)0 , 0(),( yxyxyxyxu2 第34頁/共59頁定義定義 2 設(shè)設(shè) n 元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集 D，0P是其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù) ，總 存 在 正 數(shù)總 存 在 正 數(shù) ， 使 得 對 于 適 合 不 等 式， 使 得 對 于 適 合 不 等 式 |00PP的一切點(diǎn)的一切點(diǎn)DP ，都有，都有 |)(|APf成立， 則稱成立， 則稱 A 為為 n 元函數(shù)元函數(shù))(Pf當(dāng)當(dāng)0PP 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為 APfPP )(lim0. . 利

21、用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有n元函數(shù)的極限元函數(shù)的極限 第35頁/共59頁定義定義3 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集D，0P是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱 n 元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處處連續(xù)連續(xù). . 0P稱為稱為函函數(shù)數(shù))(Pf的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). 如果函數(shù)在如果函數(shù)在D上上各點(diǎn)處各點(diǎn)處都連續(xù)都連續(xù), , 則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在D上連續(xù)上連續(xù).

22、.第36頁/共59頁多元基本初等函數(shù)多元基本初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域由多元函數(shù)極限的四則運(yùn)算可得多元函數(shù)的由多元函數(shù)極限的四則運(yùn)算可得多元函數(shù)的四則運(yùn)算連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性四則運(yùn)算連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù).第37頁

23、/共59頁,arcsin,arcsin,sin,sin,log,log,yxyxyxaayxCaayx 把這些函數(shù)看作多元函數(shù)，叫做把這些函數(shù)看作多元函數(shù)，叫做多元多元基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).第38頁/共59頁例例9 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處連續(xù)，則有處連續(xù)，則有點(diǎn)點(diǎn)在在的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，求xyxyyx11lim)0,0(),( 第39頁/共59頁閉區(qū)域上連

24、續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）有界性定理）有界性定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定上的多元連續(xù)函數(shù)必定在在D上必有界上必有界 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次上取得介于這兩值之間的任何值至少一次（2）最大值和最小值定）最大值和最小值定理理（3）介值定理）介值定理第40頁/共59頁多元函數(shù)極限

25、的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義第41頁/共59頁 若點(diǎn)若點(diǎn)),(yx沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)),(yxf都趨向于都趨向于 A，能否，能否斷定斷定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題第42頁/共59頁一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則

26、則 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 則則 ),(yxf_. .函數(shù)函數(shù))1ln(4222yxyxz 的定義域是的定義域是_. .練練 習(xí)習(xí) 題題第43頁/共59頁 6 6、函數(shù)、函數(shù)yxz 的定義域是的定義域是_. . 7 7、函數(shù)、函數(shù)xyzarcsin 的定義域是的定義域是_. . 8 8、函數(shù)、函數(shù)xyxyz2222 的間斷點(diǎn)是的間斷點(diǎn)是_. .二二、 求求下下列列各各極極限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .第44頁/共59頁三、三、 證明：證