多元函數(shù)的極限與連續(xù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)n維空間中兩點(diǎn)（向量又稱(chēng)為點(diǎn)）間的距離定義為向量x的長(zhǎng)度定義為：22221,|nxxxxxx 與 ),(21nxxxx ),(21nyyyy 2222211)()()( |),(nnyxyxyxyxyx 第1頁(yè)/共29頁(yè)2. Rn中點(diǎn)列的極限。定義1.1 (點(diǎn)列的極限） 設(shè)xk是Rn中的一個(gè)點(diǎn)列，a是Rn中的一點(diǎn)，若當(dāng)k時(shí)，(xk,a) 0,即：, 0 axNkNNk恒有恒有，使得，使得則稱(chēng)點(diǎn)列 xk 的極限存在，且稱(chēng)a為它的極限，記作)( lim kaxaxkkk或或這時(shí)也稱(chēng)點(diǎn)列xk 收斂于a .設(shè) xk(xk,1, xk,2, xk,n),

2、a=(a1, a2,an)第2頁(yè)/共29頁(yè)定理1.1 設(shè)點(diǎn)列xk Rn,點(diǎn)a Rn,則.lim, 2 , 1 limiikkkkaxniax ，都有都有此為向量收斂與數(shù)列收斂之間的橋梁。由此可得：定理1.2 設(shè)xk 是Rn中收斂點(diǎn)列，則：(1) xk的極限是唯一的；(2) xk是有界的,即M(R)0,使得k N,恒有|xk|M;(3)若xk a, yk b,則xk yk a b , xk a ,其中R。(4)若xk收斂于a,則它的任一子列也收斂于a.第3頁(yè)/共29頁(yè)由于向量不能比較大小，也不能相除，所以數(shù)列極限中的單調(diào)性，保序性，確界，商不能推廣。但閉區(qū)間套定理，Bolzano-Weierst

3、rass定理，Cauchy收斂原理在Rn中仍然成立。第4頁(yè)/共29頁(yè)3. Rn中的開(kāi)集與閉集定義1.2 設(shè)A是Rn中的一個(gè)點(diǎn)集，a Rn .若存在A中的點(diǎn)列xk ， xk a(k=1,2,),使得xk a(k),則稱(chēng)a為A 的一個(gè)聚點(diǎn)。A 的所有的聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為A的導(dǎo)集，記作A 集合 AA A稱(chēng)為A的閉包。為閉集。為閉集。則稱(chēng)則稱(chēng)若若的孤立點(diǎn)，的孤立點(diǎn)，為為則稱(chēng)則稱(chēng)但但若若AAAAaAaAa, 第5頁(yè)/共29頁(yè)定義1.3 設(shè)a Rn, 0,稱(chēng)點(diǎn)集|),( axRxaUn為以a為中心， 為半徑的開(kāi)球或點(diǎn)a的鄰域。稱(chēng)：),(),(aaUaU 為點(diǎn)a去心鄰域?？煞謩e簡(jiǎn)記為U(a), (a)U第6

4、頁(yè)/共29頁(yè)定理1.6 設(shè)A是Rn中的一個(gè)點(diǎn)集，a Rn，則a A 的充要條件為： AaU),(, 0 第7頁(yè)/共29頁(yè)定義1.4 設(shè)A Rn,a Rn.AAAAAaAaUint,),(, 0 )1(或或的的內(nèi)內(nèi)部部，記記作作的的集集合合稱(chēng)稱(chēng)為為的的所所有有內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)構(gòu)構(gòu)成成的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，是是集集則則稱(chēng)稱(chēng)使使得得若若 AAAAaAaUext,),(, 0 )2(的外部，記作的外部，記作合稱(chēng)為合稱(chēng)為的所有內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集的所有內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集的外點(diǎn)，的外點(diǎn)，是集是集則稱(chēng)則稱(chēng)使得使得若若 AAAAaAAAaUC ,),(, 0 )3(的邊界，記作的邊界，記作稱(chēng)為稱(chēng)為所有邊界點(diǎn)構(gòu)成的集合所有邊界點(diǎn)構(gòu)成的集合的

5、的的邊界點(diǎn)，的邊界點(diǎn)，是集是集則稱(chēng)則稱(chēng)的余集的余集也含有也含有中的點(diǎn)，中的點(diǎn)，中既含有中既含有使得使得若對(duì)若對(duì) 第8頁(yè)/共29頁(yè)AAARn extint易知：定理1.7 設(shè) A Rn 是開(kāi)集充分必要條件為Ac是閉集。定義1.5 設(shè)A Rn,若Ao=A,即A中的點(diǎn)全是A的 內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)A 為開(kāi)集.第9頁(yè)/共29頁(yè)定理1.8 Rn中開(kāi)集有如下性質(zhì)：(1)和Rn都是開(kāi)集,(2)任意多個(gè)開(kāi)集的并集仍為開(kāi)集，(3)有限多個(gè)開(kāi)集的交集仍為開(kāi)集。4. Rn中的緊集與區(qū)域幾個(gè)概念：(1) 設(shè)A是Rn中的點(diǎn)集, 若M 0, 使得xA ,都有|x|M,則稱(chēng)集合A為的有界集.否則, 稱(chēng)之為無(wú)界集. (2) 若A中任何

6、點(diǎn)列都有收斂的子列，則稱(chēng)A 是列緊的（或相對(duì)緊的），若A是列緊閉集，則稱(chēng)A是緊集。第10頁(yè)/共29頁(yè)(3)設(shè)A是Rn中的點(diǎn)集, 若A中任兩點(diǎn)均可用一條完全含在A中的折線相連接, 則稱(chēng)為連通集.(4) Rn中連通的開(kāi)集稱(chēng)為Rn中的區(qū)域。區(qū)域連同其邊界之并稱(chēng)為閉區(qū)域。(5)若連接A中任意兩點(diǎn)的線段都屬于A,則 稱(chēng)為凸集。第11頁(yè)/共29頁(yè)第二節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性 1.多元函數(shù)的概念定義2.1 設(shè)A Rn是一個(gè)點(diǎn)集，稱(chēng)映射f: AR是定義在A上的n元數(shù)量值函數(shù)。簡(jiǎn)稱(chēng)為n元函數(shù)。記為y = f(x) = f(x1, , xn),其中x = (x1, , xn) A稱(chēng)為自變量, y稱(chēng)為因變量。D(

7、f)=A稱(chēng)為f的定義域，R(f )=y|y=f(x),x D(f )稱(chēng)為f的值域。第12頁(yè)/共29頁(yè)除非特別說(shuō)明, 或有實(shí)際意義, 凡用算式表達(dá)的多元函數(shù), 其定義域都是指自然定義域, 即全體使得算式有意義的自變量所成的點(diǎn)集.(x, y) R2 | |x| 1, |y| 1; 1122 xyz例如: 的定義域?yàn)槎鴝 = ln(x+y)的定義域?yàn)?x, y)R2 |x+y0.第13頁(yè)/共29頁(yè)定義2.2 設(shè)A Rn是一個(gè)點(diǎn)集，稱(chēng)映射 f: ARm (m 2)是定義在A上的n元向量值函數(shù)。也可記為y = f(x) = f(x1, , xn),其中x = (x1, , xn) A稱(chēng)為自變量, y =

8、 (y1, , ym) Rm 稱(chēng)為因變量。 f = (f1, , fn) 其中x=(x1, , xn)A為自變量, y=(y1, , xm)B為因變量. ) , , ,( ) , , ,( ) , , ,( 2121222111nmmnnxxxfyxxxfyxxxfy一個(gè)n元m維向量值函數(shù)y = f(x) 對(duì)應(yīng)于m個(gè)n元數(shù)量值函數(shù)第14頁(yè)/共29頁(yè) ) , , ,() , , ,() , , ,()()()(212122112121nmnnmmxxxfxxxfxxxfxfxfxfyyyy若用列向量表示, 即例1 空間R3中曲線的參數(shù)方程為：x=x(t),y=y(t),z=z(t) t ,R,為

9、一元向量值函數(shù)，可寫(xiě)成：r=r(t)第15頁(yè)/共29頁(yè),),(),(00AyxUyx ,),(lim),(),(00ayxfyxyx .),(lim00ayxfyyxx 2. 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性 定義 2.3 (二重極限） 設(shè)有點(diǎn)集A R2,f :AR是一個(gè)二元數(shù)量值函數(shù)。點(diǎn) (x0, y0)是A的聚點(diǎn), aR是一個(gè)常數(shù).若 0, 0, 使得恒有|f(x,y)a|0, 取 =, 則當(dāng)時(shí), 恒有| f(x, y)0|0, 0, 使得,),(),(00AyxUyx 恒有|f(x,y)f (x0, y0) |2)元數(shù)量值函數(shù)與向量值函數(shù)。第26頁(yè)/共29頁(yè)3. 多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 若函數(shù)f在緊集A上連續(xù),則f在A上有界， 即存在M 0, 使得x A, 有| f(x)| M. : 若函數(shù)f在緊集A上連續(xù),則f 在A上必能 取到最大值M與最小值m。 若函數(shù)f(x)在有界連通閉集A上連續(xù),m與M分別是 f 在A上