中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)16__矩形折疊問題

1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)16矩形折疊問矩形折疊問題一.知識(shí)要點(diǎn)折疊問題實(shí)質(zhì)是軸對稱問題，其主要特征有：1圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。2點(diǎn)的對稱性：對稱點(diǎn)連線被對稱軸（折痕）垂直平分。問題化歸：1 直角三角形的三邊關(guān)系（勾股定理）2 圖形（三角形或四邊形）的面積3 相似三角形的對應(yīng)邊成比例。由以上等量關(guān)系得出方程解決問題。二.例題精選 例1在長方形ABCD中，AB=8，BC=10，將圖形沿著AE對折，使得D點(diǎn)落在BC邊上的F處，試求EC的長. 思路分析：找到由折疊產(chǎn)生的所有等量關(guān)系，其中也需要用到方程思想（設(shè)未知數(shù)，并表示出其他線段長度） 例2在長方形ABCD中，AB=4，BC

2、=8，將圖形沿著AC對折，如圖所示：（1）請說明ABFCFF （2）求 思路分析：在多問設(shè)置的證明題中，前幾問往往是為后面的問題服務(wù)的；所以得到全等之后，也就是得到了多組等量關(guān)系，此時(shí)我們再來設(shè)未知數(shù)，自然可以表示出其他線段了. 例3. 在長方形ABCD中，AB=3，BC=5，將圖形沿著EF對折，使得B點(diǎn)與D點(diǎn)重合。 （1）說明DE=DF （2）求 （3）求EF的長度思路分析：（1）要說明DE=DF，有兩種思路： 可說明全等； 可說明DEF是等腰三角形，DE、DF是兩腰所以這個(gè)題目既要有能力說明全等也要有能力說明等腰 例4 如圖，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊A

3、B、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P， 連接EP(1)如圖，若M為AD邊的中點(diǎn)， ,AEM的周長=_cm； 求證：EP=AE+DP；(2)隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn)M不與A、D重合)，PDM的周長是否發(fā)生變化?請說明理由思路分析：（1）設(shè)AE=x，由折疊的性質(zhì)可知EM=BE=12-x，在RtAEM中，運(yùn)用勾股定理求AE；過點(diǎn)F作FGAB，垂足為G，連接BM，根據(jù)折疊的性質(zhì)得點(diǎn)B和點(diǎn)M關(guān)于EF對稱，即BMEF，又AB=FG，A=EGF=90°，可證ABMGFE，把求EF的問題轉(zhuǎn)化為求BM；（2）設(shè)AE=x，AM=y，則BE=EM=1

4、2-x，MD=12-y，在RtAEM中，由勾股定理得出x、y的關(guān)系式，可證RtAEMRtDMP，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比求DMP的周長 三.能力訓(xùn)練1.如圖所示，如果將矩形紙沿虛線對折后，沿虛線剪開，剪出一個(gè)直角三角形，展開后得到一個(gè)等腰三角形.則展開后三角形的周長是（ ）. A2 B22 C12 D182. 如圖，已知矩形紙片ABCD，點(diǎn)E 是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，BEG>60°，現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點(diǎn)B落在紙片上的點(diǎn)H處，連接AH，則與BEG相等的角的個(gè)數(shù)為( )A4 B3 C2 D13.如圖所示，把一長方形紙片沿MN折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D，C的

5、位置若AMD36°，則NFD等于（ ）（A）144° （B）126° （C）108° （D）72°4.如圖，矩形紙片ABCD中，AB4，AD3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，記與點(diǎn)A重合點(diǎn)為A，則ABG的面積與該矩形的面積比為（ ）A B C D 第4題圖 第5題圖5.如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的處，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為，且=3，則AM的長是（ ） A1.5 B2 C2.25 D2.5 6. 如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，將矩形ABC

6、D沿EF折疊，使點(diǎn)A、D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A，D處，則整個(gè)陰影部分圖形的周長為（ ）A18cm B36cm C40cm D72cm7. 如圖，將邊長為8的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN，則線段CN的長是（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm 8. 小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖，AD>CD）沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖）；再沿過D點(diǎn)的直線折疊，使得C點(diǎn)落在DA邊上的點(diǎn)N處，E點(diǎn)落在AE邊上的點(diǎn)M處，折痕為DG（如圖）如果第二次折疊后，M點(diǎn)正好在NDG的平分線上，那么矩形ABCD長與寬的比值

7、為 9.如圖矩形紙片ABCD，AB5cm，BC10cm，CD上有一點(diǎn)E，ED2cm，AD上有一點(diǎn)P，PD3cm，過P作PFAD交BC于F，將紙片折疊，使P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕與PF交于Q點(diǎn)，則PQ的長是_cm. 10.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B的位置，AB與CD交于點(diǎn)E.（1）試找出一個(gè)與AED全等的三角形，并加以證明.（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PGAE于G，PHEC于H，試求PG+PH的值，并說明理由. 思維拓展：1. 如圖，折疊矩形的一邊AD，折痕為AE，點(diǎn)E在邊CD上，折疊后點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，AD=10cm，

8、求AE的長. 2.如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處已知折痕,且 ，求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)； 3.已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3分別以O(shè)B,OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與AC邊交于點(diǎn)E請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，使得將CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 4.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=，現(xiàn)將紙片折疊，使

9、點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原。（1）當(dāng)時(shí)，折痕EF的長為；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長為；（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當(dāng)時(shí)菱形的邊長；（3）令，當(dāng)點(diǎn)E在AD、點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫出與的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)取最大值時(shí)，判斷與是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請說明理由。 5.問題解決 如圖（1），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），壓平后得到折痕當(dāng)時(shí)，求的值 類比歸納在圖（1）中，若則的值等于 ；若則的值等于 ；若（為整數(shù)），則的值等于 （用含的式子表示）聯(lián)系拓廣 如圖（2），將矩形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上一點(diǎn)（

10、不與點(diǎn)重合），壓平后得到折痕設(shè)則的值等于 （用含的式子表示） 參考答案例1 由題意可得：AD=BC=10，又由折疊可知：AF=AD=10 DE=EF 在RtABF中，根據(jù)勾股定理可得： BF=6， FC=10-6=4。 設(shè)DE=，則，故，在RtCEF中，根據(jù)勾股定理可得：，解得：即：DE=5另解：本題亦可以由長方形的面積S長方形ABCD=SABF+SADE+SAEF+SECF列出方程：解得例2 解：（1）由題意可得：AD=BC=8，CD=AB=4又由折疊可知：AE=AD=8，CE=CD=4，E=D=90° 在ABF與CEF中： B=E=90° AFB=CFE（對頂角相等）

11、AB=CE=4 ABFCFF（AAS）（2） ABFCFF，AF=FC，BF=EF設(shè)EF=，則BF=， 在RtCEF中，由勾股定理可得：解得： 即EF=3 此題中對于ABF，同樣可以通過設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理求解。 例3 解：（1）方法一：由題意可得：CD=AB=3，ADC=90°由折疊可得：DG=CD=3，G=C=90°，GDF=B=90° 1+2=90°，3+2=90° 1=3故在DEG與DCF中：G=C（已證）DG=CD（已證） DEGDCF（ASA）1=3（已證） DE=DF 方法二： 長方形ABCD ADBC 4=6（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

12、角相等）又由折疊可知4=5 5=6（等量代換） DE=DF（等角對等邊）（2）求 解：由折疊可知：EG=AE設(shè)，則，故在RtDEG中，根據(jù)勾股定理可得：解得： 故EG DE= 例4 能力訓(xùn)練答案1.B 2. B 3. B 4. C 5. B 6. B 7. A 8. 9. 10.（1）AEDCEB證明：四邊形ABCD是矩形，BC=BC=AD，B=B=D又BEC=DEAAEDCEB（2）延長HP交AB于M，則PMAB1=2，PGABPM=PGCDAB2=31=3AE=CH=8-3=5在RtADE中，DE=3AD=4PH+PM=ADPG+PH=AD=4. 思維拓展答案：1.52.(16,0)3.

13、設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，將CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB邊上的M點(diǎn)，過點(diǎn)E作ENOB，垂足為N由題意得：EN=AO=3，EM=EC=4-1/3k，MF=CF=3- 1/4k，EMN+FMB=FMB+MFB=90°，EMN=MFB又ENM=MBF=90°，EMNMFB EN/MB=EM/MF， 3/MB=(4-1/3k)/(3-1/4k)=4(1-1/12k)/3(1-1/12k)，MB= 9/4MB²+BF²=MF²， (9/4)²+(k/4)²=(3-1/4k)²，解得k= 21/8BF= k/4=21/32存在符合條件的點(diǎn)F，它的坐標(biāo)為（4， 21/32）4. 解：（1）3， （2）當(dāng)時(shí)，如圖1，連接，為折痕，令為，則，在中，解得，此時(shí)菱形邊長為（3）如圖2，過作，易證，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖3，連接，顯然，函數(shù)的值在軸的右側(cè)隨的增大